Preguntas con respuestas sobre la continuidad de funciones con énfasis en funciones racionales y a trozos. Se discute la continuidad de una función y su derivada en un punto dado. También se incluyen el significado gráfico y la interpretación de la continuidad.
Ejemplo 1: Identificación de Puntos de Discontinuidad
¿Para qué valores de \( x \) es discontinua cada una de las siguientes funciones?
- a) \( f(x) = \dfrac{1}{x} \)
- b) \( g(x) = \dfrac{2}{x-2} \)
- c) \( h(x) = \dfrac{x+1}{x^2-1} \)
- d) \( i(x) = \tan(x) \)
- e) \( j(x) = \dfrac{1}{\cos(x)-1} \)
- f) \( k(x) = \dfrac{x+2}{x^2+5} \)
- g) \( l(x) = \begin{cases} \dfrac{x+4}{x+4} & x \ne -4 \\ 1 & x = -4 \end{cases} \)
Solución del Ejemplo 1
- a) Para \( x = 0 \), el denominador de la función \( f(x) \) es igual a \( 0 \), por lo que \( f(x) \) no está definida y no tiene límite. Por lo tanto, \( f(x) \) es discontinua en \( x = 0 \).
- b) Para \( x = 2 \), el denominador de la función \( g(x) \) es igual a \( 0 \) y no está definida con ningún límite. La función \( g(x) \) no es continua en \( x = 2 \).
- c) El denominador de \( h(x) \) se factoriza como \( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \). El denominador es cero para \( x = 1 \) y \( x = -1 \), donde la función no está definida y no tiene límites. La función \( h \) es discontinua en \( x = 1 \) y \( x = -1 \).
- d) \( \tan(x) \) no está definida para todos los valores de \( x \) tales que \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \) (donde \( k \) es cualquier entero), lo que la hace discontinua en estos valores.
- e) El denominador de \( j(x) \) es igual a cero cuando \( \cos(x) - 1 = 0 \), es decir, \( x = 2k\pi \) donde \( k \) es un entero. La función no está definida y es discontinua en estos puntos.
- f) La función \( k(x) \) es el cociente de dos funciones continuas con un denominador \( x^2 + 5 \) que nunca es igual a \( 0 \). Está definida para todos los valores reales de \( x \) y no tiene puntos de discontinuidad.
- g) \( l(x) = \dfrac{x + 4}{x + 4} = 1 \) para \( x \ne -4 \). Como \( \lim_{x \to -4} l(x) = 1 = l(-4) \), la función \( l(x) \) es continua para todos los valores reales de \( x \) y no tiene ningún punto de discontinuidad.
Ejemplo 2: Hallar Parámetros para la Continuidad a Trozos
Halla \( b \) tal que la función \( f(x) \) dada a continuación sea continua:
\[ f(x) = \begin{cases} 2x^2+b & x \ge -1 \\ -x^3 & x < -1 \end{cases} \]Solución del Ejemplo 2
Para \( x > -1 \), \( f(x) = 2x^2 + b \) es una función polinómica y, por lo tanto, es continua.
Para \( x < -1 \), \( f(x) = -x^3 \) es una función polinómica y, por lo tanto, es continua.
En \( x = -1 \):
\[ f(-1) = 2(-1)^2 + b = 2 + b \]Consideremos los límites por la izquierda y por la derecha:
\[ L_1 = \lim_{x\to -1^{\text{--}}} f(x) = -(-1)^3 = 1 \] \[ L_2 = \lim_{x\to -1^+} f(x) = 2(-1)^2 + b = 2 + b \]Para que la función \( f \) sea continua en \( x = -1 \), requerimos que \( L_2 = L_1 \):
\[ 2 + b = 1 \implies b = -1 \]Sustituyendo \( b = -1 \) en la función se obtiene:
\[ f(x) = \begin{cases} 2x^2-1 & x \ge -1 \\ -x^3 & x < -1 \end{cases} \]La gráfica de \( f \) se muestra a continuación, confirmando la continuidad en \( x = -1 \):
Ejemplo 3: Continuidad de la Función y su Derivada
Halla \( a \) y \( b \) tales que tanto \( g(x) \) dada a continuación como su primera derivada sean continuas:
\[ g(x) = \begin{cases} ax^2+b & x \ge 2 \\ -2x+2 & x < 2 \end{cases} \]Solución del Ejemplo 3
Continuidad de la función \( g \):
- Para \( x > 2 \), \( g(x) = ax^2 + b \) es continua.
- Para \( x < 2 \), \( g(x) = -2x + 2 \) es continua.
Límites en \( x = 2 \):
\[ L_1 = \lim_{x\to 2^+} g(x) = a(2)^2 + b = 4a + b \] \[ L_2 = \lim_{x\to 2^{\text{--}}} g(x) = -2(2) + 2 = -2 \]Para la continuidad en \( x = 2 \), debemos tener \( L_1 = L_2 \):
\[ 4a + b = -2 \]Continuidad de la derivada \( g' \):
- Para \( x > 2 \), \( g'(x) = 2ax \) es continua.
- Para \( x < 2 \), \( g'(x) = -2 \) es continua.
Límites de la derivada en \( x = 2 \):
\[ l_1 = \lim_{x\to 2^+} g'(x) = 2a(2) = 4a \] \[ l_2 = \lim_{x\to 2^{\text{--}}} g'(x) = -2 \]Para la continuidad de \( g' \) en \( x = 2 \), debemos tener \( l_1 = l_2 \):
\[ 4a = -2 \implies a = -\frac{1}{2} \]Sustituyendo \( a = -\frac{1}{2} \) en \( 4a + b = -2 \):
\[ 4\left(-\frac{1}{2}\right) + b = -2 \implies -2 + b = -2 \implies b = 0 \]Por lo tanto, la función es:
\[ g(x) = \begin{cases} -\dfrac{1}{2}x^2 & x \ge 2 \\ -2x+2 & x < 2 \end{cases} \]La función \( g(x) \) se grafica a continuación, mostrando que tanto la función como su derivada (pendiente) son continuas en \( x = 2 \):
