Tutorial sobre cómo encontrar derivadas de funciones en cálculo (Diferenciación) que involucran el valor absoluto.
Se incluye un video sobre ¿Cómo encontrar la derivada de una función de valor absoluto?
Derivada de una función de valor absoluto
Sea \( f(x) = |u(x)| \). Nota que \( |u(x)| = \sqrt{u^2(x)} \).
Usa la regla de la cadena de la diferenciación para encontrar la derivada de \( f = |u(x)| = \sqrt{u^2(x)} \):
\[ \dfrac{df}{dx} = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} \] \[ \dfrac{df}{du} = \dfrac{1}{2} \dfrac{2u}{\sqrt{u^2}} = \dfrac{u}{|u|} \]Por lo tanto:
Ejemplos con soluciones
Ejemplos resueltos: Soluciones paso a paso
Ejemplo 1
Encuentra la primera derivada \( f'(x) \), si \( f(x) \) está dada por:
\[ f(x) = |x - 1| \]Solución al Ejemplo 1:
Sea \( u = x - 1 \) de modo que \( f(x) \) se puede escribir como \( f(x) = |u| = \sqrt{u^2} \).
Usa la regla de la cadena:
\[ f'(x) = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} = \left(\dfrac{1}{2} \dfrac{2u}{\sqrt{u^2}}\right) \dfrac{du}{dx} = u \cdot \dfrac{u'}{|u|} = \dfrac{x-1}{|x-1|} \]Nota lo siguiente:
- Si \( x > 1 \), entonces \( |x - 1| = x - 1 \) y \( f'(x) = 1 \).
- Si \( x < 1 \), entonces \( |x - 1| = -(x - 1) \) y \( f'(x) = -1 \).
- \( f'(x) \) no existe en \( x = 1 \).
Las gráficas de \( f \) y su derivada \( f' \) muestran que no es posible trazar una única tangente a la gráfica de \( f \) en \( x = 1 \), lo que explica la no existencia de la derivada en \( x = 1 \).
Ejemplo 2
Encuentra la primera derivada de \( f \) dada por:
\[ f(x) = -x + 2 + |-x + 2| \]Solución al Ejemplo 2:
\( f(x) \) se compone de la suma de dos funciones. Sea \( u = -x + 2 \), de modo que:
\[ f'(x) = -1 + u' \dfrac{u}{|u|} = -1 + \dfrac{-1(-x+2)}{|-x+2|} \]Simplifica:
\[ f'(x) = -1 - \dfrac{-x+2}{|-x+2|} \]Nota lo siguiente:
- Si \( x < 2 \), \( |-x + 2| = -x + 2 \) y \( f'(x) = -2 \).
- Si \( x > 2 \), \( |-x + 2| = -(-x + 2) \) y \( f'(x) = 0 \).
- \( f'(x) \) no existe en \( x = 2 \).
Como ejercicio, grafica \( f \) y explica los resultados obtenidos arriba sobre \( f'(x) \).
Ejemplo 3
Encuentra la primera derivada de \( f \) dada por:
\[ f(x) = \dfrac{x+1}{|x^2 - 1|} \]Solución al Ejemplo 3:
Usando la regla del cociente y la fórmula de la derivada del valor absoluto:
\[ f'(x) = \dfrac{1 \cdot |x^2 - 1| - (x+1)(2x)\dfrac{x^2 - 1}{|x^2 - 1|}}{|x^2 - 1|^2} \]Divide la fracción en dos términos y simplifica la fracción del lado izquierdo:
\[ f'(x) = \dfrac{1}{|x^2-1|} - \dfrac{2x(x+1)(x^2-1)}{(x^2-1)^2|x^2-1|} \]Simplifica la fracción del lado derecho:
\[ f'(x) = \dfrac{1}{|x^2-1|} - \dfrac{2x}{(x-1)|x^2-1|} \]Iguala las dos fracciones al mismo denominador:
\[ f'(x) = \dfrac{x-1}{(x-1)|x^2-1|} - \dfrac{2x}{(x-1)|x^2-1|} \]Suma las dos fracciones y simplifica:
\[ f'(x) = -\dfrac{x+1}{(x-1)|x^2-1|} \]Ejercicios con respuestas
Problemas de práctica y soluciones
Encuentra las primeras derivadas de estas funciones:
Sugerencia: En algunas de las siguientes preguntas es posible que tengas que aplicar la regla de la cadena más de una vez.
- \( f(x) = |2x - 5| \)
- \( g(x) = (x - 2)^2 + |x - 2| \)
- \( h(x) = \left|\dfrac{x+1}{x-3}\right| \)
- \( i(x) = |-2x^2 + 2x - 1| \)
- \( j(x) = e^{|2x-1|} \)
- \( k(x) = |\ln(-3x+1)| \)
- \( l(x) = \sin |2x| \)
Respuestas a los ejercicios anteriores:
- \( f'(x) = 2 \dfrac{2x-5}{|2x-5|} \)
- \( g'(x) = 2(x - 2) + \dfrac{x-2}{|x-2|} \)
- \( h'(x) = -4 \left|\dfrac{x-3}{x+1}\right| \dfrac{x+1}{(x-3)^3} \)
- \( i'(x) = \dfrac{(-2x^2+2x-1)(-4x+2)}{|-2x^2+2x-1|} \)
- \( j'(x) = \dfrac{2e^{|2x-1|}(2x-1)}{|2x-1|} \)
- \( k'(x) = -\dfrac{3\ln(-3x+1)}{|\ln(-3x+1)|(-3x+1)} \)
- \( l'(x) = \dfrac{2x\cos(2|x|)}{|x|} \)