Derivadas que Involucran Valor Absoluto
Tutorial sobre cómo encontrar derivadas de funciones en cálculo (Diferenciación) que involucran el valor absoluto.
Se incluye un video sobre ¿Cómo encontrar la derivada de una función con valor absoluto?.
Derivada de una Función con Valor Absoluto
Sea \( f(x) = | u(x) | \).
Observa que \( |u(x)| = \sqrt {u^2(x)} \).
Utiliza la regla de la cadena de diferenciación para encontrar la derivada de \( f = | u(x) | = \sqrt {u^2(x)} \).
\( \dfrac{df}{dx} = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} \)
\( \dfrac{df}{du} = \dfrac{1}{2} \dfrac{2 u }{\sqrt {u^2}} = \dfrac{u}{|u|} \)
Por lo tanto
\[ \large \color{red}{\dfrac{df}{dx} = \dfrac{du}{dx} \dfrac{u}{|u|}} \]
Ejemplos con Soluciones
Ejemplo 1
Encuentra la primera derivada \( f'(x) \), si \( f(x) \) está dada por
\[ f(x) = |x - 1| \]
Solución al Ejemplo 1
Sea \( u = x - 1\) para que \( f(x) \) pueda escribirse como
\( f(x) = |u| = \sqrt{u^2} \)
Utiliza la regla de la cadena
\( f '(x) = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} \)
\( f '(x) = (1/2) \dfrac{2u}{\sqrt{u^2}} \dfrac{du}{dx}\)
\( f '(x) = u \cdot \dfrac{u '}{|u|} \)
\( f '(x) = u \cdot \dfrac{1}{\sqrt{u^2}} = \dfrac{x-1}{|x-1|} \)
Observa lo siguiente:
1) si \( x \gt 1 \), entonces \( |x - 1| = x - 1 \) y \( f '(x) = 1 \).
2) Si \( x \lt 1 \), entonces \( |x - 1| = -(x - 1) \) y \( f '(x) = -1 \).
3) \( f '(x) \) no existe en \( x = 1 \).
Las gráficas de \( f \) y su derivada \( f' \) se muestran a continuación y vemos que no es posible tener una tangente a la gráfica de \( f \) en \( x = 1 \), lo que explica la no existencia de la derivada en \( x = 1 \).
Ejemplo 2
Encuentra la primera derivada de \( f \) dada por
\[ f(x) = - x + 2 + |- x + 2| \]
Solución al Ejemplo 2
\( f(x) \) está compuesta por la suma de dos funciones. Sea \( u = - x + 2 \), entonces
\( f '(x) = -1 + u ' \dfrac {u}{|u|} = -1 + \dfrac{-1(-x+2)}{|-x+2|} \)
Simplifica
\( f '(x) = - 1 - \dfrac{-x+2}{|-x+2|} \)
Observa lo siguiente:
1) Si \( x \lt 2 \), \( |- x + 2 | = - x + 2 \) y \( f '(x) = -2 \).
2) Si \( x \gt 2 \), \( |- x + 2 | = -(- x + 2) \) y \( f '(x) = 0 \).
3) \( f '(x) \) no existe en \( x = 2 \).
Como ejercicio, traza la gráfica de \( f \) y explica los resultados concernientes a \( f'(x) \) obtenidos anteriormente.
Ejemplo 3
Encuentra la primera derivada de \( f \) dada por
\[ f(x) = \dfrac{x+1}{ |x^2 - 1| } \]
Solución al Ejemplo 3
\( f '(x) = \dfrac{1.|x^2 - 1|-(x+1)(2x)\dfrac{x^2 - 1}{|x^2 - 1|}}{|x^2 - 1|^2} \)
Divide la fracción en dos fracciones y simplifica la fracción del lado izquierdo
\( f '(x) = \dfrac{1}{|x^2-1|} - \dfrac{2x(x+1)(x^2-1)}{(x^2-1)^2|x^2-1|} \)
Simplifica la fracción del lado derecho
\( f '(x) = \dfrac{1}{|x^2-1|} - \dfrac{2x}{(x-1)|x^2-1|} \)
Pon las dos fracciones con el mismo denominador
\( f '(x) = \dfrac{x-1}{(x-1)|x^2-1|} - \dfrac{2x}{(x-1)|x^2-1|} \)
Suma las dos fracciones y simplifica
\( f '(x) = - \dfrac{x+1}{(x-1)|x^2-1|} \)
Ejercicios con Respuestas
Encuentra las primeras derivadas de estas funciones
Pista: En algunas de las preguntas a continuación, es posible que debas aplicar la regla de la cadena más de una vez.
1. \( f(x) = |2x - 5| \)
2. \( g(x) = (x - 2)^2 + |x - 2| \)
3. \( h(x) = \left |\dfrac{x+1}{x-3} \right| \)
4. \( i(x) = \left | -2x^2 + 2x -1 \right| \)
5. \( j(x) = e^{|2x-1|} \)
6. \( k(x) = | \ln(-3x+1)| \)
7. \( l(x) = \sin |2x| \)
Respuestas a los ejercicios anteriores:
1. \( f '(x) = 2 \dfrac{2x-5}{|2x-5|} \)
2. \( g '(x) = 2 (x - 2) + \dfrac{x-2}{|x-2|} \)
3. \( h '(x) = -4 \left|\dfrac{x-3}{x+1}\right| \dfrac{x+1}{(x-3)^3} \)
4. \( i '(x) = \dfrac{\left(-2x^2+2x-1\right)\left(-4x+2\right)}{\left|-2x^2+2x-1\right|} \)
5. \( j '(x) = \dfrac{2e^{\left|2x-1\right|}\left(2x-1\right)}{\left|2x-1\right|} \)
6. \( k '(x) = -\dfrac{3\ln \left(-3x+1\right)}{\left|\ln \left(-3x+1\right)\right|\left(-3x+1\right)} \)
7. \( l '(x) = \dfrac{2x\cos \left(2\left|x\right|\right)}{\left|x\right|} \)
Más Enlaces y Referencias
-
Regla de la Cadena
-
Diferenciación y Derivadas