Se presentan fórmulas y ejemplos de las derivadas de las funciones exponenciales, en cálculo. Se examinan varios ejemplos, con soluciones detalladas, que involucran productos, sumas y cocientes de funciones exponenciales.
Derivada de funciones exponenciales a cualquier base
La derivada de \( f(x) = b^{x} \) está dada por:
Nota: si \( f(x) = e^{x} \), entonces \( f'(x) = e^{x} \).
Ejemplos con soluciones
Ejemplo 1
Encuentra la derivada de \( f(x) = 2^{x} \)
Solución al Ejemplo 1
Aplica la fórmula anterior para obtener:
\[ f'(x) = 2^{x} \ln 2 \]Ejemplo 2
Encuentra la derivada de \( f(x) = 3^{x} + 3x^{2} \)
Solución al Ejemplo 2
Sea \( g(x) = 3^{x} \) y \( h(x) = 3x^{2} \). La función \( f \) es la suma de las funciones \( g \) y \( h \): \( f(x) = g(x) + h(x) \).
Utiliza la regla de la suma, \( f'(x) = g'(x) + h'(x) \), para encontrar la derivada de la función \( f \):
\[ f'(x) = 3^{x} \ln 3 + 6x \]Ejemplo 3
Encuentra la derivada de \( f(x) = \dfrac{e^{x}}{1 + x} \)
Solución al Ejemplo 3
Sea \( g(x) = e^{x} \) y \( h(x) = 1 + x \). La función \( f \) es el cociente de las funciones \( g \) y \( h \): \( f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)} \). Por lo tanto, utilizamos la regla del cociente:
\[ f'(x) = \dfrac{h(x)g'(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2} \]Encontramos las derivadas individuales:
\[ g'(x) = e^{x} \] \[ h'(x) = 1 \]Sustituimos en la fórmula de la regla del cociente:
\[ f'(x) = \dfrac{(1 + x)(e^{x}) - (e^{x})(1)}{(1 + x)^{2}} \] \[ = \dfrac{xe^{x}}{(1 + x)^{2}} \]Ejemplo 4
Encuentra la derivada de \( f(x) = e^{2x + 1} \)
Solución al Ejemplo 4
Sea \( u = 2x + 1 \) y \( y = e^{u} \). Utiliza la regla de la cadena para encontrar la derivada de la función \( f \):
\[ f'(x) = \dfrac{dy}{du} \dfrac{du}{dx} \]Dado que \( \dfrac{dy}{du} = e^{u} \) y \( \dfrac{du}{dx} = 2 \):
\[ f'(x) = 2e^{2x + 1} \]Ejercicios
Encuentra la derivada de cada función:
- \( f(x) = e^{x} 2^{x} \)
- \( g(x) = 3^{x} - 3x^{3} \)
- \( h(x) = \dfrac{e^{x}}{2x - 3} \)
- \( j(x) = e^{(x^{2} + 2)} \)
Soluciones a los ejercicios anteriores
- \( f'(x) = e^{x} 2^{x} (\ln 2 + 1) \)
- \( g'(x) = 3^{x} \ln 3 - 9x^{2} \)
- \( h'(x) = \dfrac{e^{x}(2x - 5)}{(2x - 3)^{2}} \)
- \( j'(x) = 2x e^{(x^{2} + 2)} \)