Se presentan fórmulas y ejemplos de las derivadas de funciones exponenciales, en cálculo. Se examinan varios ejemplos, con soluciones detalladas, que involucran productos, sumas y cocientes de funciones exponenciales.
Derivada de Funciones Exponenciales para cualquier Base
La derivada de \( f(x) = b^{x} \) se da por
\( f '(x) = b^{x} \ln b \)
Nota: si \( f(x) = e^{x} \), entonces \( f '(x) = e^{x} \)
Ejemplos con Soluciones
Ejemplo 1
Encuentra la derivada de \( f(x) = 2^{x} \)
Solución al Ejemplo 1
Aplica la fórmula anterior para obtener
\( f '(x) = 2^{x} \ln 2 \)
Ejemplo 2
Encuentra la derivada de \( f(x) = 3^{x} + 3x^{2} \)
Solución al Ejemplo 2
Sea \( g(x) = 3^{x} \) y \( h(x) = 3x^{2} \), la función \( f \) es la suma de las funciones \( g \) y \( h \): \( f(x) = g(x) + h(x) \).
Usa la regla de la suma, \( f '(x) = g '(x) + h '(x) \), para encontrar la derivada de la función \( f \)
\( f '(x) = 3^{x} \ln 3 + 6x \)
Ejemplo 3
Encuentra la derivada de \( f(x) = \dfrac{e^{x}}{1 + x} \)
Solución al Ejemplo 3
Sea \( g(x) = e^{x} \) y \( h(x) = 1 + x \), la función \( f \) es el cociente de las funciones \( g \) y \( h \): \( f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)} \). Por lo tanto, usamos la regla del cociente, \( f '(x) = \dfrac{h(x) g '(x) - g(x) h '(x)}{h(x)^{2}} \), para encontrar la derivada de la función \( f \).
\( g '(x) = e^{x} \)
\( h '(x) = 1 \)
\( f '(x) = \dfrac{(1 + x)(e^{x}) - (e^{x})(1)}{(1 + x)^{2}} \)
\( = \dfrac{xe^{x}}{(1 + x)^{2}} \)
Ejemplo 4
Encuentra la derivada de \( f(x) = e^{2x + 1} \)
Solución al Ejemplo 4
Sea \( u = 2x + 1 \) e \( y = e^{u} \), usa la regla de la cadena para encontrar la derivada de la función \( f \) de la siguiente manera.
\( f '(x) = \dfrac{dy}{du} \dfrac{du}{dx} \)
\( \dfrac{dy}{du} = e^{u} \) y \( \dfrac{du}{dx} = 2 \)
\( f '(x) = 2 e^{2x + 1} \)
