Se presentan fórmulas y ejemplos de las derivadas de las funciones exponenciales, en cálculo. Se examinan varios ejemplos, con soluciones detalladas, que involucran productos, sumas y cocientes de funciones exponenciales.
La derivada de \( f(x) = b^{x} \) viene dada por:
\[ f '(x) = b^{x} \ln b \]Nota: si \( f(x) = e^{x} \), entonces \( f '(x) = e^{x} \).
Encuentra la derivada de \( f(x) = 2^{x} \).
Aplica la fórmula anterior para obtener:
\[ f '(x) = 2^{x} \ln 2 \]Encuentra la derivada de \( f(x) = 3^{x} + 3x^{2} \).
Sean \( g(x) = 3^{x} \) y \( h(x) = 3x^{2} \), la función \( f \) es la suma de las funciones \( g \) y \( h \): \( f(x) = g(x) + h(x) \).
Usa la regla de la suma, \( f '(x) = g '(x) + h '(x) \), para encontrar la derivada de la función \( f \):
\[ f '(x) = 3^{x} \ln 3 + 6x \]Encuentra la derivada de \( f(x) = \dfrac{e^{x}}{1 + x} \).
Sean \( g(x) = e^{x} \) y \( h(x) = 1 + x \), la función \( f \) es el cociente de las funciones \( g \) y \( h \): \( f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)} \). Por lo tanto, usamos la regla del cociente, \(\displaystyle f '(x) = \dfrac{h(x) g '(x) - g(x) h '(x)}{h(x)^{2}} \), para encontrar la derivada de la función \( f \):
\[ g '(x) = e^{x} \] \[ h '(x) = 1 \] \[ f '(x) = \dfrac{(1 + x)(e^{x}) - (e^{x})(1)}{(1 + x)^{2}} \] \[ = \dfrac{xe^{x}}{(1 + x)^{2}} \]Encuentra la derivada de \( f(x) = e^{2x + 1} \).
Sea \( u = 2x + 1 \) y \( y = e^{u} \). Usa la regla de la cadena para encontrar la derivada de la función \( f \) de la siguiente manera:
\[ f '(x) = \dfrac{dy}{du} \dfrac{du}{dx} \] \[ \dfrac{dy}{du} = e^{u} \quad \text{y} \quad \dfrac{du}{dx} = 2 \] \[ f '(x) = 2 e^{2x + 1} \]Encuentra la derivada de cada función.