Diferenciación de funciones hiperbólicas
Se presentan fórmulas y ejemplos, con soluciones detalladas, sobre los derivados de las funciones hiperbólicas. Para definiciones y gráficos de funciones hiperbólicas, vaya a Gráficos de funciones hiperbólicas
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función
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derivado
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f(x) = sinh x
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f '(x) = cosh x
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f(x) = cosh x
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f '(x) = sinh x
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f(x) = tanh x
= sinh x / cosh x |
f '(x) = sech 2 x
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f(x) = coth x = 1 / tanh x
= cosh x / sinh x |
f '(x) = - csch 2x
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f(x) = csch x
= 1 / sinh x
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f '(x) = - csch x coth x
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f(x) = sech x
= 1 / cosh x
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f '(x) = - sech x tanh x
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Ejemplo 1: Encuentre la derivada de f (x) = sinh (x 2 )
Solución al Ejemplo 1:
- Deje u = x 2 e y = sinh u e use la regla de la cadena para encontrar la derivada de la función dada f de la siguiente manera.
f '(x) = (dy/du) (du/dx)
- dy/du = cosh u, vea la fórmula anterior, y du/dx = 2 x
f '(x) = 2 x cosh u = 2 x cosh (x 2 )
- Sustituya u = x 2 en f '(x) para obtener
f '(x) = 2 x cosh (x 2 )
Ejemplo 2: Encuentra la derivada de f (x) = 2 sinh x + 4 cosh x
Solución al Ejemplo 2:
- Sea g (x) = 2 sinh x e h (x) = 4 cosh x, la función f es la suma de las funciones g e h: f (x) = g (x ) + h (x). Usa la regla de la suma, f '(x) = g' (x) + h '(x), para encontrar la derivada de la función f
f '(x) = 2 cosh x + 4 sinh x
Ejemplo 3: Encuentre la derivada de f (x) = cosh x / sinh (x 2 )
Solución al Ejemplo 3:
- Sea g (x) = cosh x y h (x) = sinh x 2 , la función f es el cociente de las funciones g e h: f ( x) = g(x) / h(x). Por lo tanto, usamos la regla del cociente, f '(x) = [h (x) g '(x) - g (x) h '(x)]/h(x) 2 , para encontrar la derivada de la función f.
g '(x) = sinh x
h '(x) = 2 x cosh x 2 (ver el ejemplo 2 anterior)
f '(x) = [h (x) g '(x) - g(x) h '(x)] / h(x) 2
= [(sinh x 2 ) (sinh x) - (cosh x) (2 x cosh x 2 )] / (sinh x 2 ) 2
Ejemplo 4: Encuentra la derivada de f (x) = (sinh x) 2
Solución al Ejemplo 4:
- Let u = sinh x e y = u 2 , use la regla de cadena para encontrar la derivada de la función f de la siguiente manera.
f '(x) = (dy / du) (du / dx)
- dy / du = 2 u e du / dx = cosh x
f '(x) = 2 u cosh x
- Poner u = sinh x en f '(x) obtenido anteriormente
f '(x) = 2 sinh x cosh x
Ejercicios Encuentra la derivada de cada función.
1 - f(x) = sinh (x 3)
2 - g(x) = - sinh x + 4 cosh (x + 2)
3 - h(x) = cosh x 2/ sinh x
4 - j(x) = - (cosh x) 2
soluciones a los ejercicios anteriores
1 - f '(x) = (3x 2) cosh (x 3)
2 - g '(x) = - cosh x + 4 sinh (x + 2)
3 - h '(x) = [ (2 x sinh x 2)(sinh x) - (cosh x 2)(cosh x) ] / [sinh x] 2
4 - j '(x) = - 2 (cosh x)(sinh x)
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