Se presentan fórmulas y ejemplos, con soluciones detalladas, sobre las derivadas de las funciones hiperbólicas. Para definiciones y gráficas de funciones hiperbólicas ve a Gráficas de funciones hiperbólicas.
Tabla de funciones hiperbólicas y sus derivadas
| Función | Derivada |
|---|---|
| \( f(x) = \sinh x \) | \( f'(x) = \cosh x \) |
| \( f(x) = \cosh x \) | \( f'(x) = \sinh x \) |
| \( f(x) = \tanh x = \dfrac{\sinh x}{\cosh x} \) | \( f'(x) = \operatorname{sech}^2 x \) |
| \( f(x) = \coth x = \dfrac{1}{\tanh x} = \dfrac{\cosh x}{\sinh x} \) | \( f'(x) = -\operatorname{csch}^2 x \) |
| \( f(x) = \operatorname{csch} x = \dfrac{1}{\sinh x} \) | \( f'(x) = -\operatorname{csch} x \coth x \) |
| \( f(x) = \operatorname{sech} x = \dfrac{1}{\cosh x} \) | \( f'(x) = -\operatorname{sech} x \tanh x \) |
Ejemplos con soluciones
Ejemplo 1
Encuentra la derivada de \( f(x) = \sinh(x^2) \)
Solución al Ejemplo 1
Sea \( u = x^2 \) y \( y = \sinh u \). Utiliza la regla de la cadena para encontrar la derivada de la función dada \( f \):
\[ f'(x) = \dfrac{dy}{du} \dfrac{du}{dx} \]Dado que \( \dfrac{dy}{du} = \cosh u \) (ver fórmula arriba) y \( \dfrac{du}{dx} = 2x \):
\[ f'(x) = 2x \cosh u \]Sustituye \( u = x^2 \) de nuevo:
\[ f'(x) = 2x \cosh(x^2) \]Ejemplo 2
Encuentra la derivada de \( f(x) = 2 \sinh x + 4 \cosh x \)
Solución al Ejemplo 2
Sea \( g(x) = 2 \sinh x \) y \( h(x) = 4 \cosh x \). La función \( f \) es la suma de las funciones \( g \) y \( h \): \( f(x) = g(x) + h(x) \). Utiliza la regla de la suma, \( f'(x) = g'(x) + h'(x) \):
\[ f'(x) = 2 \cosh x + 4 \sinh x \]Ejemplo 3
Encuentra la derivada de \( f(x) = \dfrac{\cosh x}{\sinh(x^2)} \)
Solución al Ejemplo 3
Sea \( g(x) = \cosh x \) y \( h(x) = \sinh(x^2) \). La función \( f \) es el cociente de las funciones \( g \) y \( h \): \( f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)} \). Por lo tanto, utilizamos la regla del cociente:
\[ f'(x) = \dfrac{h(x)g'(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2} \]Encontramos las derivadas individuales:
\[ g'(x) = \sinh x \] \[ h'(x) = 2x \cosh(x^2) \quad \text{(ver Ejemplo 1 arriba)} \]Sustituimos en la fórmula de la regla del cociente:
\[ f'(x) = \dfrac{(\sinh(x^2))(\sinh x) - (\cosh x)(2x \cosh(x^2))}{(\sinh(x^2))^2} \]Ejemplo 4
Encuentra la derivada de \( f(x) = (\sinh x)^2 \)
Solución al Ejemplo 4
Sea \( u = \sinh x \) y \( y = u^2 \). Utiliza la regla de la cadena:
\[ f'(x) = \dfrac{dy}{du} \dfrac{du}{dx} \]Dado que \( \dfrac{dy}{du} = 2u \) y \( \dfrac{du}{dx} = \cosh x \):
\[ f'(x) = 2u \cosh x \]Sustituye \( u = \sinh x \) de nuevo:
\[ f'(x) = 2 \sinh x \cosh x \]Ejercicios
Encuentra la derivada de cada función:
- \( f(x) = \sinh(x^3) \)
- \( g(x) = -\sinh x + 4 \cosh(x + 2) \)
- \( h(x) = \dfrac{\cosh(x^2)}{\sinh x} \)
- \( j(x) = -(\cosh x)^2 \)
Soluciones a los ejercicios anteriores
- \( f'(x) = (3x^2) \cosh(x^3) \)
- \( g'(x) = -\cosh x + 4 \sinh(x + 2) \)
- \( h'(x) = \dfrac{(2x \sinh(x^2))(\sinh x) - (\cosh(x^2))(\cosh x)}{(\sinh x)^2} \)
- \( j'(x) = -2(\cosh x)(\sinh x) \)