Diferenciación de funciones hiperbólicas

Se presentan fórmulas y ejemplos, con soluciones detalladas, sobre los derivados de las funciones hiperbólicas. Para definiciones y gráficos de funciones hiperbólicas, vaya a Gráficos de funciones hiperbólicas



función

derivado

f(x) = sinh x

f '(x) = cosh x

f(x) = cosh x

f '(x) = sinh x

f(x) = tanh x

= sinh x / cosh x
f '(x) = sech 2 x

f(x) = coth x = 1 / tanh x

= cosh x / sinh x
f '(x) = - csch 2x

f(x) = csch x

= 1 / sinh x

f '(x) = - csch x coth x

f(x) = sech x

= 1 / cosh x

f '(x) = - sech x tanh x

Ejemplo 1: Encuentre la derivada de f (x) = sinh (x 2 )

Solución al Ejemplo 1:

  • Deje u = x 2 e y = sinh u e use la regla de la cadena para encontrar la derivada de la función dada f de la siguiente manera.

    f '(x) = (dy/du) (du/dx)

  • dy/du = cosh u, vea la fórmula anterior, y du/dx = 2 x

    f '(x) = 2 x cosh u = 2 x cosh (x 2 )

  • Sustituya u = x 2 en f '(x) para obtener

    f '(x) = 2 x cosh (x 2 )

Ejemplo 2: Encuentra la derivada de f (x) = 2 sinh x + 4 cosh x

Solución al Ejemplo 2:

  • Sea g (x) = 2 sinh x e h (x) = 4 cosh x, la función f es la suma de las funciones g e h: f (x) = g (x ) + h (x). Usa la regla de la suma, f '(x) = g' (x) + h '(x), para encontrar la derivada de la función f

    f '(x) = 2 cosh x + 4 sinh x


Ejemplo 3: Encuentre la derivada de f (x) = cosh x / sinh (x 2 )

Solución al Ejemplo 3:

  • Sea g (x) = cosh x y h (x) = sinh x 2 , la función f es el cociente de las funciones g e h: f ( x) = g(x) / h(x). Por lo tanto, usamos la regla del cociente, f '(x) = [h (x) g '(x) - g (x) h '(x)]/h(x) 2 , para encontrar la derivada de la función f.

    g '(x) = sinh x

    h '(x) = 2 x cosh x 2 (ver el ejemplo 2 anterior)

    f '(x) = [h (x) g '(x) - g(x) h '(x)] / h(x) 2

    = [(sinh x 2 ) (sinh x) - (cosh x) (2 x cosh x 2 )] / (sinh x 2 ) 2



Ejemplo 4: Encuentra la derivada de f (x) = (sinh x) 2

Solución al Ejemplo 4:

  • Let u = sinh x e y = u 2 , use la regla de cadena para encontrar la derivada de la función f de la siguiente manera.

    f '(x) = (dy / du) (du / dx)

  • dy / du = 2 u e du / dx = cosh x

    f '(x) = 2 u cosh x

  • Poner u = sinh x en f '(x) obtenido anteriormente

    f '(x) = 2 sinh x cosh x


Ejercicios Encuentra la derivada de cada función.

1 - f(x) = sinh (x
3)

2 - g(x) = - sinh x + 4 cosh (x + 2)

3 - h(x) = cosh x
2/ sinh x

4 - j(x) = - (cosh x)
2

soluciones a los ejercicios anteriores

1 - f '(x) = (3x
2) cosh (x 3)

2 - g '(x) = - cosh x + 4 sinh (x + 2)

3 - h '(x) = [ (2 x sinh x
2)(sinh x) - (cosh x 2)(cosh x) ] / [sinh x] 2

4 - j '(x) = - 2 (cosh x)(sinh x)

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