Se presentan fórmulas y ejemplos, con soluciones detalladas, sobre las derivadas de funciones hiperbólicas. Para definiciones y gráficos de funciones hiperbólicas, ve a Gráficos de Funciones Hiperbólicas.
\( f(x) = \operatorname{csch} x = \dfrac{1}{\sinh x} \)
\( f '(x) = - \operatorname{csch} x \coth x \)
\( f(x) = \operatorname{sech} x = \dfrac{1}{\cosh x} \)
\( f '(x) = - \operatorname{sech} x \tanh x \)
Ejemplos con Soluciones
Ejemplo 1
Encuentra la derivada de \( f(x) = \sinh (x^2) \)
Solución al Ejemplo 1:
Sea \( u = x^2 \) y \( y = \sinh u \) y usa la regla de la cadena para encontrar la derivada de la función dada \( f \) de la siguiente manera.
\( f '(x) = \dfrac{dy}{du} \dfrac{du}{dx} \)
\( \dfrac{dy}{du} = \cosh u \), ver la fórmula anterior, y \( \dfrac{du}{dx} = 2x \)
\( f '(x) = 2x \cosh u = 2x \cosh (x^2) \)
Sustituye \( u = x^2 \) en \( f '(x) \) para obtener
\[ f '(x) = 2x \cosh (x^2) \]
Ejemplo 2
Encuentra la derivada de \( f(x) = 2 \sinh x + 4 \cosh x \)
Solución al Ejemplo 2:
Sea \( g(x) = 2 \sinh x \) y \( h(x) = 4 \cosh x \), la función \( f \) es la suma de las funciones \( g \) y \( h \): \[ f(x) = g(x) + h(x) \]. Usa la regla de la suma, \( f '(x) = g '(x) + h '(x) \), para encontrar la derivada de la función \( f \)
\[ f '(x) = 2 \cosh x + 4 \sinh x \]
Ejemplo 3
Encuentra la derivada de \( f(x) = \dfrac{\cosh x}{\sinh (x^2)} \)
Solución al Ejemplo 3:
Sea \( g(x) = \cosh x \) y \( h(x) = \sinh x^2 \), la función \( f \) es el cociente de las funciones \( g \) y \( h \): \( f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)} \). Por lo tanto, usamos la regla del cociente
, \[ f '(x) = \dfrac{h(x) g '(x) - g(x) h '(x)}{h(x)^2} \] para encontrar la derivada de la función \( f \).
\( g '(x) = \sinh x \)
\( h '(x) =
2x \cosh x^2 \) (ver el ejemplo 2 anterior)
\[ f '(x) = \dfrac{( \sinh x^2 ) ( \sinh x ) - ( \cosh x ) ( 2x \cosh x^2 )}{( \sinh x^2 )^2} \]
Ejemplo 4
Encuentra la derivada de \( f(x) = (\sinh x)^2 \)
Solución al Ejemplo 4:
Sea \( u = \sinh x \) y \( y = u^2 \), Usa la regla de la cadena para encontrar la derivada de la función \( f \) de la siguiente manera.
\( f '(x) = \dfrac{dy}{du} \dfrac{du}{dx} \)
\( \dfrac{dy}{du} = 2u \) y \( \dfrac{du}{dx} = \cosh x \)
\( f '(x) = 2u \cosh x \)
Pon \( u = \sinh x \) en \( f '(x) \) obtenido arriba
\[ f '(x) = 2 \sinh x \cosh x \]
Ejercicios
Encuentra la derivada de cada función.
1 - \( f(x) = \sinh (x^3) \)
2 - \( g(x) = - \sinh x + 4 \cosh (x + 2) \)
3 - \( h(x) = \dfrac{\cosh x^2}{\sinh x} \)
4 - \( j(x) = - (\cosh x)^2 \)
