Diferenciación logarítmica
El método de diferenciación logarítmica , cálculo , utiliza las propiedades de las funciones logarítmicas para diferenciar funciones y funciones complicadas donde las fórmulas habituales de Diferenciación no se aplica. Se presentan varios ejemplos con soluciones detalladas.
Ejemplo 1: Usa el método de tomar logaritmos para encontrar la derivada y ', si y es dada por
Solución al Ejemplo 1
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Primero notamos que no hay una fórmula que se pueda usar para diferenciar directamente esta función. La primera derivada puede calcularse tomando primero el logaritmo natural de ambos lados de y = x sin x .
ln y = ln [ x sin x ]
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Use las propiedades del logaritmo para reescribir la ecuación anterior de la siguiente manera
ln y = sin x ln x
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Ahora diferenciamos ambos lados con respecto a x, usando elregla de cadena en el lado izquierdo y el fórmula de regla de producto para la diferenciación en el lado derecho.
y ' / y = cos x ln x + sin x (1/x)
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Multiplica ambos lados por y para obtener
y ' = [ cos x ln x + (1/x) sin x ] y
y ' = [ cos x ln x + (1/x) sin x ] x sin x
Ejemplo 2: Encuentre la derivada y 'de la función y definida por
Solución al Ejemplo 2
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Tomamos los logaritmos de ambos lados
ln y = ln x + ln e (-x 2)
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Simplifica el término ln e (-x 2)
ln y = ln x - x 2
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Diferenciar ambos lados con respecto a x.
y ' / y = 1 / x + 2 x
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Multiplica todos los términos por y
y ' = [ 1 / x + 2 x ] y
y ' = [ 1 / x + 2 x ] x e (-x 2)
y ' = [ 1 + 2 x 2 ] e (-x 2)
Ejemplo 3: Encuentre la derivada y ' de la función y dada por
Solución al Ejemplo 3
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Tomamos los logaritmos de ambos lados
ln y = ln 3 + ln x 2 + ln e -x
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Simplifica el término ln e -x
ln y = ln 3 + 2 ln x - x
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Diferenciar ambos lados con respecto a x.
y ' / y = 0 + 2 / x - 1
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Multiplica todos los términos por y
y ' = [ 2 / x - 1 ] y
y ' = [ 2 / x - 1 ] 3 x 2 e -x
y ' = [ 6 x - 3 x 2 ] e -x
y ' = 3 x [ 2 - x ] e -x
NOTA: como ejercicio, use la fórmula habitual de diferenciación para diferenciar la función anterior y comparar los resultados.
Example 4: Find the derivative y ' of function y given by
Solución al Ejemplo 4
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Tome los logaritmos de ambos lados y amplíe las expresiones obtenidas
ln y = 2 ln (1 - x) + 4 ln (x + 1)
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Diferenciar ambos lados con respecto a x.
y ' / y = - 2 / (1 - x) + 4 / (x + 1)
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Multiplica todos los términos por y
y ' = [ - 2 / (1 - x) + 4 / (x + 1) ] y
y ' = [ - 2 / (1 - x) + 4 / (x + 1) ] (1 - x) 2 (x + 1) 4
y ' = - 2 (1 - x)(x + 1) 4 + 4 (x + 1) 3(1 - x) 2
y ' = 2 (1 - x)(x + 1) 3 (3x - 1)
NOTA: utilice la fórmula habitual de diferenciación para diferenciar la función anterior y comparar los resultados.
Ejemplo 5: Encuentre la derivada y 'de la función y definida por
Solución al Ejemplo 5
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Toma los logaritmos de ambos lados
ln y = ln (tan x) - ln e x
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Simplificar ln e x.
ln y = ln (tan x) - x
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Diferenciar ambos lados con respecto a x
y ' / y = sec x / tan x - 1
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Multiplica todos los términos por y
y ' = [ sec x / tan x - 1 ] y
y ' = [ sec 2x / tan x -1 ] tan x / e x
y ' = [ sec 2x - tan x ] / e x
NOTA: utilice la fórmula habitual de diferenciación para diferenciar la función anterior y comparar los resultados.
Ejemplo 6: Encuentre la derivada y ' de la función y dada por
Solución al Ejemplo 6
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Toma los logaritmos de ambos lados y expande las expresiones obtenidas
ln y = ln (x - 2) + ln (x + 4) - ln (x + 1) - ln (x + 5)
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Diferenciar ambos lados con respecto a x
y ' / y = 1 / (x - 2) + 1 / (x + 4) - 1 / (x + 1) - 1 / (x + 5)
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Multiplica todos los términos por y
y ' = [ 1 / (x - 2) + 1 / (x + 4) - 1 / (x + 1) - 1 / (x + 5) ] y
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Sustituye y por su fórmula para obtener
y ' = 2 [ 2x 2 + 13 x + 29] / [ (x + 1) 2 (x + 5) 2 ]
NOTA: utilice la fórmula habitual de diferenciación para diferenciar la función anterior y comparar los resultados.
Example 7: Usa el método de tomar los logaritmos para encontrar y ' si y = u v, donde u y v son funciones de x.
Solución al Ejemplo 7
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Toma los logaritmos de ambos lados y expande las expresiones obtenidas
ln y = ln u + ln v
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Diferenciar ambos lados con respecto a x
y ' / y = u ' / u + v ' / v
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Multiplique todos los términos por y y simplifique para obtener
y ' = [ u ' / u + v ' / v ] y
y ' = [ u ' / u + v ' / v ] u v
y ' = u ' v + v ' u
NOTA: El resultado obtenido es el bien conocido regla de producto de diferenciación.
Ejemplo 8: Usa el método de tomar los logaritmos para encontrar y ' si y = u / v, donde u e v son funciones de x.
Solución al Ejemplo 8
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Tome los logaritmos de ambos lados y expanda las expresiones obtenidas usando las propiedades del logaritmo
ln y = ln u - ln v
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Diferenciar ambos lados con respecto a x usando la regla de diferenciación del logaritmo de una función
y ' / y = u ' / u - v ' / v
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Multiplique todos los términos por y y simplifique para obtener
y ' = [ u ' / u - v ' / v ] y
y ' = [ u ' / u - v ' / v ] [ u / v ]
y ' = u ' / v - v ' u / [ v 2 ]
y ' = [ u ' v - v ' u ] / [ v 2 ]
NOTA: El resultado obtenido es el bien conocido regla de cociente de diferenciación de funciones. .
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