Diferenciación logarítmica

El método de diferenciación logarítmica , cálculo , utiliza las propiedades de las funciones logarítmicas para diferenciar funciones y funciones complicadas donde las fórmulas habituales de Diferenciación no se aplica. Se presentan varios ejemplos con soluciones detalladas.

Ejemplo 1: Usa el método de tomar logaritmos para encontrar la derivada y ', si y es dada por

y = x sin x

Solución al Ejemplo 1

  • Primero notamos que no hay una fórmula que se pueda usar para diferenciar directamente esta función. La primera derivada puede calcularse tomando primero el logaritmo natural de ambos lados de y = x sin x .

    ln y = ln [ x sin x ]

  • Use las propiedades del logaritmo para reescribir la ecuación anterior de la siguiente manera

    ln y = sin x ln x

  • Ahora diferenciamos ambos lados con respecto a x, usando elregla de cadena en el lado izquierdo y el fórmula de regla de producto para la diferenciación en el lado derecho.

    y ' / y = cos x ln x + sin x (1/x)

  • Multiplica ambos lados por y para obtener

    y ' = [ cos x ln x + (1/x) sin x ] y

    y ' = [ cos x ln x + (1/x) sin x ] x sin x

Ejemplo 2: Encuentre la derivada y 'de la función y definida por

y = x e (-x 2)

Solución al Ejemplo 2

  • Tomamos los logaritmos de ambos lados

    ln y = ln x + ln e (-x 2)

  • Simplifica el término ln e (-x 2)

    ln y = ln x - x 2

  • Diferenciar ambos lados con respecto a x.

    y ' / y = 1 / x + 2 x

  • Multiplica todos los términos por y

    y ' = [ 1 / x + 2 x ] y

    y ' = [ 1 / x + 2 x ] x e (-x 2)

    y ' = [ 1 + 2 x 2 ] e (-x 2)

Ejemplo 3: Encuentre la derivada y ' de la función y dada por

y = 3 x 2 e -x

Solución al Ejemplo 3

  • Tomamos los logaritmos de ambos lados

    ln y = ln 3 + ln x 2 + ln e -x

  • Simplifica el término ln e -x

    ln y = ln 3 + 2 ln x - x

  • Diferenciar ambos lados con respecto a x.

    y ' / y = 0 + 2 / x - 1

  • Multiplica todos los términos por y

    y ' = [ 2 / x - 1 ] y

    y ' = [ 2 / x - 1 ] 3 x 2 e -x

    y ' = [ 6 x - 3 x 2 ] e -x

    y ' = 3 x [ 2 - x ] e -x

    NOTA: como ejercicio, use la fórmula habitual de diferenciación para diferenciar la función anterior y comparar los resultados.

Example 4: Find the derivative y ' of function y given by

y = (1 - x) 2 (x + 1) 4

Solución al Ejemplo 4

  • Tome los logaritmos de ambos lados y amplíe las expresiones obtenidas

    ln y = 2 ln (1 - x) + 4 ln (x + 1)

  • Diferenciar ambos lados con respecto a x.

    y ' / y = - 2 / (1 - x) + 4 / (x + 1)

  • Multiplica todos los términos por y

    y ' = [ - 2 / (1 - x) + 4 / (x + 1) ] y

    y ' = [ - 2 / (1 - x) + 4 / (x + 1) ] (1 - x) 2 (x + 1) 4

    y ' = - 2 (1 - x)(x + 1) 4 + 4 (x + 1) 3(1 - x) 2

    y ' = 2 (1 - x)(x + 1) 3 (3x - 1)

    NOTA: utilice la fórmula habitual de diferenciación para diferenciar la función anterior y comparar los resultados.

Ejemplo 5: Encuentre la derivada y 'de la función y definida por

y = tan x / e x

Solución al Ejemplo 5

  • Toma los logaritmos de ambos lados

    ln y = ln (tan x) - ln e x

  • Simplificar ln e x.

    ln y = ln (tan x) - x

  • Diferenciar ambos lados con respecto a x

    y ' / y = sec x / tan x - 1

  • Multiplica todos los términos por y

    y ' = [ sec x / tan x - 1 ] y

    y ' = [ sec 2x / tan x -1 ] tan x / e x

    y ' = [ sec 2x - tan x ] / e x

    NOTA: utilice la fórmula habitual de diferenciación para diferenciar la función anterior y comparar los resultados.

Ejemplo 6: Encuentre la derivada y ' de la función y dada por

y = [ (x - 2)(x + 4) ] / [ (x + 1)(x + 5) ]

Solución al Ejemplo 6

  • Toma los logaritmos de ambos lados y expande las expresiones obtenidas

    ln y = ln (x - 2) + ln (x + 4) - ln (x + 1) - ln (x + 5)

  • Diferenciar ambos lados con respecto a x

    y ' / y = 1 / (x - 2) + 1 / (x + 4) - 1 / (x + 1) - 1 / (x + 5)

  • Multiplica todos los términos por y

    y ' = [ 1 / (x - 2) + 1 / (x + 4) - 1 / (x + 1) - 1 / (x + 5) ] y

  • Sustituye y por su fórmula para obtener

    y ' = 2 [ 2x 2 + 13 x + 29] / [ (x + 1) 2 (x + 5) 2 ]

    NOTA: utilice la fórmula habitual de diferenciación para diferenciar la función anterior y comparar los resultados.

Example 7: Usa el método de tomar los logaritmos para encontrar y ' si y = u v, donde u y v son funciones de x.

Solución al Ejemplo 7

  • Toma los logaritmos de ambos lados y expande las expresiones obtenidas

    ln y = ln u + ln v

  • Diferenciar ambos lados con respecto a x

    y ' / y = u ' / u + v ' / v

  • Multiplique todos los términos por y y simplifique para obtener y ' = [ u ' / u + v ' / v ] y

    y ' = [ u ' / u + v ' / v ] u v

    y ' = u ' v + v ' u

    NOTA: El resultado obtenido es el bien conocido regla de producto de diferenciación.

Ejemplo 8: Usa el método de tomar los logaritmos para encontrar y ' si y = u / v, donde u e v son funciones de x.

Solución al Ejemplo 8

  • Tome los logaritmos de ambos lados y expanda las expresiones obtenidas usando las propiedades del logaritmo

    ln y = ln u - ln v

  • Diferenciar ambos lados con respecto a x usando la regla de diferenciación del logaritmo de una función

    y ' / y = u ' / u - v ' / v

  • Multiplique todos los términos por y y simplifique para obtener

    y ' = [ u ' / u - v ' / v ] y

    y ' = [ u ' / u - v ' / v ] [ u / v ]

    y ' = u ' / v - v ' u / [ v 2 ]

    y ' = [ u ' v - v ' u ] / [ v 2 ]

    NOTA: El resultado obtenido es el bien conocido regla de cociente de diferenciación de funciones. .

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