Regla del Producto de Derivación con Ejemplos

Los pasos para demostrar la regla del producto de derivación se presentan junto con ejemplos, ejercicios y soluciones.

Definición de la Derivada de una Función

La derivada \( f'(x) \) de la función \( f(x) \) está definida como \[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \; \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} \qquad (1) \]

Derivada del Producto de dos Funciones

Sea la función \( f(x) \) dada por el producto de dos funciones \( u(x) \) y \( v(x) \) escrita como \[ \quad f(x) = u(x) v(x) \] Usando la definición de la derivada en \( (1) \), la derivada de \( f(x) = u(x) v(x) \) está dada por \[ \qquad \displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \; \dfrac{u(x+h) v(x+h) - u(x) v(x)}{h} \qquad (2) \] Restar y sumar la misma cantidad al denominador de \( (2) \) anterior no lo cambia.
Resta y suma \( u(x) v(x+h) \) en el numerador de \( (2) \) anterior y escribe \[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \; \dfrac{u(x+h) v(x+h) - u(x) v(x) \color{red}{- u(x) v(x+h) + u(x) v(x+h)} }{h} \qquad (3) \] Divide \( (3) \) y reescríbela de la siguiente manera \[ \qquad \displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \left( \; \dfrac{u(x+h) v(x+h) - u(x) v(x+h)}{h} + \dfrac{u(x) v(x+h) - u(x) v(x) }{h} \right) \qquad (4) \] De las propiedades de los límites , el límite de una suma es igual a la suma de los límites, por lo tanto \[ \qquad \displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \; \dfrac{u(x+h) v(x+h) - u(x) v(x+h)}{h} + \lim_{h \to 0} \left ( \dfrac{u(x) v(x+h) - u(x) v(x) }{h} \right) \qquad (5) \] Usa factorización para reescribir lo anterior como \[ \qquad \displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \; v(x+h) \dfrac{u(x+h) - u(x) }{h} + \lim_{h \to 0} u(x) \dfrac{ v(x+h) - v(x) }{h} \qquad (6) \] De las propiedades de los límites , el límite de un producto es igual al producto de los límites, por lo tanto lo anterior puede escribirse como \[ \qquad \displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \; v(x+h) \lim_{h \to 0} \; \dfrac{u(x+h) - u(x) }{h} + \lim_{h \to 0} u(x) \lim_{h \to 0} \; \dfrac{ v(x+h) - v(x) }{h} \qquad (7) \] Evalúa los límites individuales en \( (7) \) \[ \qquad \displaystyle \lim_{h \to 0} \; v(x+h) = v(x) \] \[ \qquad \displaystyle \lim_{h \to 0} u(x) = u(x) \] \[ \qquad \displaystyle \lim_{h \to 0} \; \dfrac{u(x+h) - u(x) }{h} = u'(x) \], según la definición de la derivada dada en \( (1) \). \[ \qquad \displaystyle \lim_{h \to 0} \; \dfrac{ v(x+h) - v(x) }{h} = v'(x) \], según la definición de la derivada dada en \( (1) \). Sustituye los límites individuales anteriores en \( (7) \) para obtener \[ \qquad \displaystyle f'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x) \] Por lo tanto, la regla de la derivada de un producto está dada por \[ (u v)' = u'(x) v(x) + u(x) v'(x) \qquad (I) \]

Ejemplos con Soluciones

Ejemplo 1

Encuentra las derivadas de a) \( \quad f(x) = x \; \ln(x) \) b) \( \quad g(x) = \sin(x) e^x \)
Solución
a)
Sea \( u(x) = x \) y \( v(x) = \ln x \) y escribe \( f(x) \) como el producto de \( u \) y \( v \) de la siguiente manera \[ \quad f(x) = u(x) \; v(x) \] Escribe que \[ \quad f'(x) = (u(x) \; v(x))' \] Usa la regla del producto en \( (I) \) \[ \quad f'(x) = (u(x) \; v(x))' = u'(x) v(x) + u(x) v'(x) \quad (8) \] Calcula las derivadas \( u' \) y \( v' \) \[ \quad u'(x) = 1 \] y \( v' = \dfrac{1}{x} \] Sustituye \( u, u', v, v' \) por sus expresiones en \( (8) \) anterior para obtener \[ \quad f'(x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \dfrac{1}{x} \] Simplifica para obtener la respuesta final como \[ \quad f'(x) = \ln x + 1 \]
b)
Sea \( w(x) = \sin(x) \) y \( z(x) = e^x \) y escribe \( g(x) \) como el producto de \( w \) y \( z \) de la siguiente manera \[ \quad g(x) = w(x) \; z(x) \] Escribe que \[ \quad g'(x) = ( w(x) \; z(x) )' \] Usa la regla del producto en \( (I) \) \[ \quad g'(x) = (w(x) \; z(x))' = w'(x) z(x) + w(x) z'(x) \quad (9) \] Calcula las derivadas \( w' \) y \( z' \) \[ \quad w'(x) = \cos(x) \] y \( z'(x) = e^x \) Sustituye \( w, w', z, z' \) por sus expresiones en \( (9) \) anterior para obtener \[ \quad g'(x) = \cos(x) \cdot e^x + \sin(x) \cdot e^x \] Factoriza \( e^x \) para obtener la respuesta final como \[ \quad g'(x) = \left( \cos(x) + \sin(x) \right) \; e^x \]

Ejemplo 2

Calcula la derivada de \[ h(x) = (2x+3) \cos (x) \ln x \] Solución
La función \( h(x) \) está dada por el producto de tres funciones. Sea \( u = 2x+3 \), \( v = \cos(x) \) y \( w = \ln x \) y escribe \( h(x) \) como \[ \quad h(x) = u(x) v(x) w(x) \] Usa la regla del producto en \( I \) para escribir \[ \quad h'(x) = u(x) (v(x) w(x))' + u'(x) (v(x) w(x)) \] Usa la regla del producto en \( (I) \) una vez más para el término \( (v(x) w(x))' \) y escribe \[ \quad h'(x) = u(x) (v'(x) w(x) + v(x) w'(x) ) + u'(x) (v(x) w(x)) \] Expande y escribe una forma que sea fácil de retener \[ \quad h'(x) = \color{red}{u'(x)} v(x) w(x) + u(x) \color{red}{v'(x)} w(x) + u(x) v(x) \color{red}{w'(x)} \quad (10) \] Evalúa las derivadas de \( u, v , w \) \[ u'(x) = 2 \], \( v'(x) = - \sin(x) \), \( w' = \dfrac{1}{x} \] Sustituye \( u, u', v, v', w, w' \) por sus expresiones en \( (10) \) anterior para obtener \[ \quad h'(x) = 2 \cos(x) \ln x - (2x+3) \sin(x) \ln x + \dfrac{(2x+3) \cos(x)}{x} \]

Ejercicios

Encuentra las derivadas de las funciones

\( \quad f(x) = (3x-5) \cos(x) \)
\( \quad g(x) = (-4x+3) e^x \)
\( \quad h(x) = x^3 \sin(x) e^x \)

Soluciones a los Ejercicios Anteriores

\( \quad f'(x) = 3\cos (x) - (3x-5) \sin (x) \)
\( \quad g'(x) = -4e^x + (-4x+3)e^x = (-4 x - 1) e^x \)
\( \quad h'(x) = 3x^2\sin (x)e^x + x^3 \cos (x)e^x + x^3 \sin(x) e^x = 3x^2\sin (x)e^x + (\cos (x) + \sin(x) ) x^3 e^x \)