Se presentan los pasos para demostrar la regla del producto de la diferenciación junto con ejemplos, ejercicios y soluciones.
Derivada del producto de dos funciones (Demostración)
La derivada \( f'(x) \) de la función \( f(x) \) se define como:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} \qquad (1) \]Sea la función \( f(x) \) dada por el producto de dos funciones \( u(x) \) y \( v(x) \), escrita como:
\[ f(x) = u(x)v(x) \]Utilizando la definición de la derivada en (1), la derivada de \( f(x) = u(x)v(x) \) está dada por:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{u(x+h)v(x+h) - u(x)v(x)}{h} \qquad (2) \]Restar y sumar la misma cantidad (\( u(x)v(x+h) \)) en el numerador de (2) no cambia su valor:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{u(x+h)v(x+h) - u(x)v(x) - u(x)v(x+h) + u(x)v(x+h)}{h} \qquad (3) \]Separa la fracción en dos partes:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \left( \dfrac{u(x+h)v(x+h) - u(x)v(x+h)}{h} + \dfrac{u(x)v(x+h) - u(x)v(x)}{h} \right) \qquad (4) \]A partir de las propiedades de los límites, el límite de una suma es igual a la suma de los límites:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{u(x+h)v(x+h) - u(x)v(x+h)}{h} + \lim_{h \to 0} \dfrac{u(x)v(x+h) - u(x)v(x)}{h} \qquad (5) \]Usa la factorización para reescribir los términos:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \left[ v(x+h) \dfrac{u(x+h) - u(x)}{h} \right] + \lim_{h \to 0} \left[ u(x) \dfrac{v(x+h) - v(x)}{h} \right] \qquad (6) \]Dado que el límite de un producto es el producto de los límites:
\[ f'(x) = \left( \lim_{h \to 0} v(x+h) \right) \left( \lim_{h \to 0} \dfrac{u(x+h) - u(x)}{h} \right) + \left( \lim_{h \to 0} u(x) \right) \left( \lim_{h \to 0} \dfrac{v(x+h) - v(x)}{h} \right) \qquad (7) \]Evaluando los límites individuales:
- \( \lim_{h \to 0} v(x+h) = v(x) \)
- \( \lim_{h \to 0} u(x) = u(x) \)
- \( \lim_{h \to 0} \dfrac{u(x+h) - u(x)}{h} = u'(x) \) (por definición 1)
- \( \lim_{h \to 0} \dfrac{v(x+h) - v(x)}{h} = v'(x) \) (por definición 1)
Sustituye estos límites de nuevo en (7) para obtener:
\[ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \]Ejemplos con soluciones
Ejemplo 1
Encuentra las derivadas de:
a) \( f(x) = x \ln(x) \) b) \( g(x) = \sin(x)e^x \)
Solución al Ejemplo 1
a) Sea \( u(x) = x \) y \( v(x) = \ln x \). Escribe \( f(x) = u(x)v(x) \).
Utilizando la fórmula de la regla del producto (I):
\[ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \]Dado que \( u'(x) = 1 \) y \( v'(x) = \dfrac{1}{x} \):
\[ f'(x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \dfrac{1}{x} = \ln x + 1 \]b) Sea \( w(x) = \sin(x) \) y \( z(x) = e^x \). Escribe \( g(x) = w(x)z(x) \).
Utilizando la fórmula de la regla del producto (I):
\[ g'(x) = w'(x)z(x) + w(x)z'(x) \]Dado que \( w'(x) = \cos(x) \) y \( z'(x) = e^x \):
\[ g'(x) = \cos(x)e^x + \sin(x)e^x = (\cos x + \sin x)e^x \]Ejemplo 2
Calcula la derivada de:
\[ h(x) = (2x + 3)\cos(x)\ln x \]Solución al Ejemplo 2
La función \( h(x) \) es el producto de tres funciones. Sea \( u = 2x + 3 \), \( v = \cos(x) \) y \( w = \ln x \), de modo que \( h(x) = u(x)v(x)w(x) \).
Aplicando la regla del producto para tres funciones:
\[ h'(x) = u'(x)v(x)w(x) + u(x)v'(x)w(x) + u(x)v(x)w'(x) \]Evalúa las derivadas individuales:
\[ u'(x) = 2, \quad v'(x) = -\sin(x), \quad w'(x) = \dfrac{1}{x} \]Sustituye estas expresiones en la fórmula:
\[ h'(x) = 2\cos(x)\ln x - (2x + 3)\sin(x)\ln x + \dfrac{(2x + 3)\cos(x)}{x} \]Ejercicios
Encuentra las derivadas de las funciones:
- \( f(x) = (3x - 5)\cos(x) \)
- \( g(x) = (-4x + 3)e^x \)
- \( h(x) = x^3 \sin(x)e^x \)
Soluciones a los ejercicios anteriores
- \( f'(x) = 3\cos(x) - (3x - 5)\sin(x) \)
- \( g'(x) = -4e^x + (-4x + 3)e^x = (-4x - 1)e^x \)
- \( h'(x) = 3x^2\sin(x)e^x + x^3\cos(x)e^x + x^3\sin(x)e^x = 3x^2\sin(x)e^x + (\cos(x) + \sin(x))x^3e^x \)