Calcula integrales usando diferentes técnicas con ejemplos y soluciones detalladas y explicaciones. También se presentan más ejercicios con soluciones al final de la página.
En todos los ejemplos y ejercicios, \( c \) representa la constante de integración.
Evalúa la integral
\[ \int 6 \; \cos x \; \sin x \; dx \]Primero usamos la identidad trigonométrica \( 2 \sin x \cos x = \sin (2 x) \) para reescribir la integral de la siguiente manera
\[ \int 6 \; \cos x \; \sin x \; dx = 3 \int \sin (2x) dx \]Usa Integración por Sustitución: Sea \( u = 2 x \) lo que lleva a \( \dfrac{du}{dx} = 2 \) o \( du = 2 dx \) o \( dx = du / 2 \), y sustituye en la integral anterior para obtener
\[ = 3 \int (1/2) \sin u \; du \]Ahora usamos fórmulas integrales para la función seno para obtener
\[ = - (3/2) \cos u + c \]Sustituye \( u \) por \( 2x \) en el resultado anterior para obtener el resultado final
\[ \int 6 \cos x \sin x dx = - (3/2) \cos (2 x) + c \]Como ejercicio, diferencia \[ - (3/2) \cos 2 x + c \] para obtener \[ 6 \sin x \cos x \] que es el integrando en la integral dada. Esta es una forma de verificar la respuesta a los cálculos de integrales.
Calcula la integral
\[ \int x \; \sqrt{x+1} \; dx \]Usa Integración por Sustitución: Sea \( u = x + 1 \) lo que da \( x = u - 1 \).
\[ \int x \sqrt{x+1} \; dx = \int (u-1) \cdot u^{1/2} \; dx \]Lo anterior lleva a \( \dfrac{du}{dx}=1 \) y \( du = dx \) y la integral dada es igual a
\[ = \int (u^{3/2}-u^{1/2}) \; du \]Ahora usamos la propiedad para la integral de la suma de funciones y la fórmula para la integración de la función potencia: \( \int x^n dx = \left(\dfrac{1}{n+1}\right) \; x^{n+1} + c \) para obtener
\[ = (2 / 5) u^{5/2} - (2 / 3) u^{3/2} + c \]Sustituimos \( u \) por \( x + 1 \) en el resultado anterior para obtener el resultado final de la siguiente manera
\[ \int x \sqrt{x+1} dx = (2 / 5) (x + 1)^{5/2} - (2 / 3) (x + 1)^{3/2} + c \]Para verificar la respuesta final, diferencia la integral indefinida obtenida para obtener el integrando \( x \sqrt{x + 1} \) en la integral dada.
Evalúa la integral
\[ \int \cos^2 x \; dx \]Usa la identidad trigonométrica \( \cos^2 x = \dfrac{1+\cos(2x)}{2} \) para reescribir la integral dada como
\[ \int \cos^2 x \; dx = \int \dfrac{1+\cos(2x)}{2} \; dx \]Usa Integración por Sustitución: \( u = 2x \) de modo que \( du = 2 dx \) y \( dx = du / 2 \), y la integral dada se puede escribir como
\[ = \int (1/4)(1+\cos u) \; du \]Integra para obtener
\[ = (1 / 4) u + (1 / 4) \sin (u) + c \]Sustituye \( u \) por \( 2 x \) y simplifica
\[ \int \cos^2 x \; dx = x / 2 + (1 / 4) \sin (2 x) + c \]Verifica la respuesta final mediante diferenciación.
Evalúa la integral
\[ \int x^3 e^{x^4} \; dx \]Usa Integración por Sustitución: Sea \( u = x^4\) de modo que \( du / dx = 4 x^3 \) lo que lleva a \( (1 / 4) du = x^3 dx \), de modo que la integral dada se puede escribir como
\[ \int x^3 e^{x^4} dx = \int (1 / 4) e^u \; du \]Ahora usamos la fórmula para la integral de la función exponencial para escribir
\[ \int (1 / 4) e^u \; du = (1 / 4) e^u + c \]Sustituye \( u \) por \( x^4 \) para obtener la respuesta final
\[ \int x^3 e^{x^4} dx = (1 / 4) e^{x^4}+ c \]Calcula la integral
\[ \int \dfrac{\sin (2x)}{1-\cos^2(x)} \; dx \]Usa las identidades trigonométricas: \( \sin (2x) = 2 \sin x \; \cos x \) y \( 1-\cos^2(x) = \sin^2(x) \) para reescribir la integral dada como
\[ \int \dfrac{\sin (2x)}{1-\cos^2(x)}dx = \int \dfrac{2 \sin x \cos x}{\sin^2(x)}dx \]Simplifica y reescribe como
\[ = \int 2 \dfrac{\cos x}{\sin x} \; dx \]Usa la fórmula de integración \( \int \dfrac{f'(x)}{f(x)} \; dx = \ln | f(x)| +c \) para obtener
\[ = 2 \ln |\sin x| + c \]Calcula la integral
\[ \int (x+\sin x)^2 \; dx \]Expande \( (x+\sin x)^2 = x^2 + \sin^2 x + 2 x \sin x \) y aplica la regla de la suma de integrales para reescribir la integral dada como
\[ \int (x+\sin x)^2 \; dx = \int x^2 \; dx + \int \sin^2 x \; dx + \int 2 x \sin x \; dx \]Calcula cada integral en la suma anterior
\[ \int x^2 \; dx = (1/3) x^3 + c\]Usa la identidad trigonométrica \( \sin^2 x = (1 – \cos (2x)) / 2 \) para reducir la potencia y reescribir la segunda integral en la suma como
\[ \int \sin^2 x \; dx = \int \dfrac{1 – \cos (2x)}{2} \; dx = (1/2) x - (1/4) \sin (2x) + c\]La tercera integral se calcula usando la integración por partes:
\[ \int u' v \; dx = u v - \int u v' \; dx \]Sea \( v = x \) y \( u' = \sin x \) de modo que \( v' = 1 \) simplifica los cálculos y \( u = -\cos x \).
\[ \int 2 x \sin x \; dx = 2 (- x \cos x - \int (-\cos x) dx ) = - 2 x \cos x + 2 \sin x + c \]La respuesta final a la integral dada viene dada por la suma de las tres integrales calculadas anteriormente
\[ \int (x+\sin x)^2 \; dx = (1/3) x^3 + (1/2) x - (1/4) \sin (2x) - 2 x \cos x + 2 \sin x + c \]Calcula la integral
\[ \int \dfrac{\sin x}{\sin^2 x - 2 \cos x + 2} \; dx \]Usa la identidad trigonométrica \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \) para reescribir la integral dada como
\[ \int \dfrac{\sin x}{\sin^2 x - 2 \cos x + 2} \; dx = \int \dfrac{\sin x}{1 - \cos^2 x - 2 \cos x + 2} \; dx \]Usa Integración por Sustitución: Sea \( u = \cos x \) lo que da \( \dfrac{du}{dx} = - \sin x \) y \( du = - \sin x \; dx \) y sustituye en la integral
\[ \int \dfrac{\sin x}{1 - \cos^2 x - 2 \cos x + 2} \; dx = \int \dfrac{-1}{u^2 + 2 u - 3} du = - \int \dfrac{1}{u^2 + 2 u - 3} du\]Factoriza el denominador \( u^2 + 2 u - 3 = (u+3)(u-1) \) y usa la descomposición en fracciones parciales para reescribir \( \dfrac{1}{u^2 + 2 u - 3} \) como
\[ \dfrac{1}{u^2 + 2 u - 3} = \dfrac{A}{u+3} + \dfrac{B}{u-1} = -\dfrac{1}{4(u+3)}+\dfrac{1}{4(u-1)}\]Sustituye en la integral en \( u \) y usa la regla de la suma de integrales para escribir
\[ - \int \dfrac{1}{u^2 + 2 u - 3} du = - \left( -\int \dfrac{1}{4(u+3)} du + \int \dfrac{1}{4(u-1)} du \right) = \int \dfrac{1}{4(u+3)} du - \int \dfrac{1}{4(u-1)} du \]Usa la fórmula de integración \( \int \dfrac{f'(x)}{f(x)} \; dx = \ln | f(x)| +c \) para cada integral
\[ = (1/4) (\ln |u+3| - \ln|u-1|) + c \]Sustituye \( u = \cos x \) para obtener el resultado final como
\[ \int \dfrac{\sin x}{\sin^2 x - 2 \cos x + 2} \; dx = (1/4) \left(\ln | \cos x +3| - \ln| \cos x -1| \right) + c \]Usando las propiedades del logaritmo \( \ln \dfrac {X}{Y} = \ln X - \ln Y \) para reescribir la respuesta final como
\[ \int \dfrac{\sin x}{\sin^2 x - 2 \cos x + 2} \; dx = (1/4) \left(\ln \left|\dfrac{ \cos x +3}{\cos x -1} \right|\right) + c \]Calcula la integral
\[ \int \dfrac{1}{x+\sqrt{x+2}} \; dx \]Usa Integración por Sustitución: Sea \( u = \sqrt {x + 2} \); eleva al cuadrado ambos lados y resuelve para \( x \) para obtener \( x = u^2 - 2 \).
También tenemos \( \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{2} (x+2)^{-1/2} \) lo que da \( dx = 2 (x+2)^{ 1/2} \; du = 2u \; du\) . La integral se convierte en
\[ \int \dfrac{1}{x+\sqrt{x+2}} \; dx = 2 \int \dfrac {u}{u^2 -2 + u} \; du \]Factoriza el denominador \( u^2 -2 + u = (u+2)(u-1) \) y escribe la fracción parcial de \( \dfrac {u}{u^2 -2 + u} \) como
\[ \dfrac {u}{u^2 -2 + u} = \dfrac{A}{u-1} + \dfrac{B}{u+2} \]Resuelve para \( A \) y \( B \) para obtener
\[ \dfrac {u}{u^2 -2 + u} = \dfrac{1}{3(u-1)} + \dfrac{2}{3(u+2)} \]Sustituye en la integral en \( u \) y usa la regla de la suma de integrales para escribir
\[ 2 \int \dfrac {u}{u^2 -2 + u} \; du = 2 \int \dfrac{1}{3(u-1)} du + 2 \int \dfrac{2}{3(u+2)} du \]Usa la fórmula de integración \( \int \dfrac{f'(x)}{f(x)} \; dx = \ln | f(x)| +c \) para cada integral
\[ = (2/3) \ln |u-1| + (4/3) \ln|u+2| + c \]Sustituye \( u = \sqrt {x + 2} \) para obtener el resultado final como
\[ \int \dfrac{1}{x+\sqrt{x+2}} \; dx = (2/3) \ln |\sqrt {x + 2}-1| + (4/3) \ln|\sqrt {x + 2}+2| + c \]Evalúa la integral
\[ \int \dfrac{1}{\tan x} \; dx \]Usa la identidad trigonométrica \( \tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} \) para reescribir la integral como
\[ \int \dfrac{1}{\tan x} \; dx = \int \dfrac {\cos x}{\sin x} \; dx \]Usa la fórmula de integración \( \int \dfrac{f'(x)}{f(x)} \; dx = \ln | f(x)| +c \) para obtener
\[ = \ln | \sin x | + c \]Por lo tanto
\[ \int \dfrac{1}{\tan x} \; dx = \ln | \sin x | + c \]Evalúa la integral
\[ \int \dfrac{1}{x^2 + 2x + 1} \; dx \]Completa el cuadrado en el denominador
\[ \int \dfrac{1}{x^2 + 2x + 1} \; dx = \int \dfrac {1}{(x+1)^2} \; dx \]Usa Integración por Sustitución: Sea \( u = x+ 1 \) y por lo tanto \( \dfrac{du}{dx} = 1 \) lo que da \( dx = du \)
\[ = \int \dfrac {1}{u^2} \; du \]Reescribe como
\[ = \int u^{-2} \; du \]Usa la fórmula para la integración de la función potencia: \( \int x^n dx = \left(\dfrac{1}{n+1}\right) \; x^{n+1} + c \) para obtener
\[ = - u^{-1} + c \] \[ = - \dfrac{1}{u}+ c \]Sustituye: \( u = x+ 1 \) para escribir el resultado final como
\[ \int \dfrac{1}{x^2 + 2x + 1} \; dx = - \dfrac{1}{x+1} + c \]Evalúa la integral
\[ \int \dfrac{1}{x^2+x+1} \; dx \]Observa que el denominador \( x^2+x+1 \) no se puede factorizar sobre los racionales y por lo tanto el método de descomposición en fracciones parciales no se puede utilizar.
Una integral conocida cercana a la integral dada es \( \int \dfrac{1}{x^2+1}dx = \arctan (x) + c \).
Comienza completando el cuadrado en el denominador
\[ x^2+x+1 = (x + 1/2)^2 + 3/4 \]Usa Integración por Sustitución: Sea \( u = x + 1/2 \) lo que da \( dx = du \) y reescribe la integral como
\[ \int \dfrac{1}{x^2+x+1}dx = \int \dfrac{1}{u^2+3/4} du \]Factoriza \( 3/4 \) en el denominador
\[ = \dfrac{4}{3} \int \dfrac{1}{\dfrac{4}{3} u^2+1} du \]Sustituye: \( w = \dfrac{2}{\sqrt 3} u \) lo que da \( w^2 = \dfrac{4}{ 3} u^2 \) y \( \dfrac{dw}{du} = \dfrac{2}{\sqrt 3} \) que puede escribirse como \( du = \dfrac{\sqrt 3}{2} dw \) y reescribe la integral como
\[ \dfrac{4}{3} \int \dfrac{1}{\dfrac{4}{3} u^2+1} du = \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{\sqrt 3}{2} \int \dfrac{1}{w^2+1} dw \]Simplifica y reescribe el resultado como
\[ = \dfrac{2}{\sqrt{3}} \arctan w + c \]Sustituye \( w = \dfrac{2}{\sqrt 3} u \) y \( u = x + 1/2 \) o directamente \( w = \dfrac{2}{\sqrt 3} (x+1/2) \) para obtener la respuesta final como
\[ \int \dfrac{1}{x^2+x+1}dx = \dfrac{2}{\sqrt{3}} \arctan \left(\dfrac{2}{\sqrt 3} (x+1/2) \right) + c \]Evalúa la integral
\[ \int \dfrac{x^4-2x^2+x}{x^2+x+1} \; dx \]Observa que el grado del numerador es mayor que el grado del denominador y por lo tanto dividimos el numerador por el denominador.
\[ \dfrac{x^4-2x^2+x}{x^2+x+1} = x^2-x-2+\dfrac{4x+2}{x^2+x+1} \]La integral dada puede escribirse como
\[ \int \frac{x^4-2x^2+x}{x^2+x+1}dx = \int \left(x^2-x-2+\dfrac{4x+2}{x^2+x+1} \right) dx \]\( \dfrac{4x+2}{x^2+x+1} \) puede escribirse como
\[ \dfrac{4x+2}{x^2+x+1} = 2 \dfrac{2x+1}{x^2+x+1} \]Observa que el numerador \( 2x+1 \) es la derivada del denominador \( x^2+x+1 \) y por lo tanto usamos la fórmula de integración \( \int \dfrac{f'(x)}{f(x)} \; dx = \ln | f(x)| +c \) para obtener la respuesta final
\[ \int \frac{x^4-2x^2+x}{x^2+x+1}dx = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2x + 2 \ln |x^2+x+1| + c \]Evalúa la integral
\[ \int \left(x^3-\dfrac{1}{x^2}\right)^4 \; dx \]Usa el teorema del binomio \( \left(x+y\right)^n=\sum _{i=0}^n\binom{n}{i}x^{\left(n-i\right)}y^i \) para expandir el integrando.
\[ \left(x^3-\dfrac{1}{x^2}\right)^4 = x^{12}-4x^7+6x^2-\dfrac{4}{x^3}+\dfrac{1}{x^8} \]La integral dada puede escribirse como
\[ \int \left(x^3-\dfrac{1}{x^2}\right)^4 \; dx = \int \left(x^{12}-4x^7+6x^2-\dfrac{4}{x^3}+\dfrac{1}{x^8} \right) dx \]Usa la integración de la función potencia: \( \int x^n dx = \left(\dfrac{1}{n+1}\right) \; x^{n+1} + c \) para obtener la respuesta final
\[ \int \left(x^3-\dfrac{1}{x^2}\right)^4 \; dx = \dfrac{x^{13}}{13}-\dfrac{x^8}{2}+2x^3+\dfrac{2}{x^2}-\dfrac{1}{7x^7}+ c \]Evalúa la integral
\[ \int \tan^2(x) \; dx \]Usa la identidad trigonométrica \( \tan^2 x = \sec^2 x - 1 \) para reescribir la integral como.
\[ \int \tan^2(x) \; dx = \int (\sec^2 x - 1) \; dx = \int \sec^2 x \; dx - \int dx \]Usa la fórmula \( \int \sec^2 x dx = \tan (x) + c \) para obtener la respuesta final
\[ \int \tan^2(x) \; dx = \tan (x) - x + c \]Evalúa la integral
\[ \int x^4(4x^5 - 2)^{10} \; dx \]Observa que la derivada de \( 4x^5 - 2 \) es igual a \( 20 x^4\); de ahí el método de Sustitución: Sea \( u = 4x^5 - 2 \) lo que da \( \dfrac{du}{dx} = 20 x^4 \) y \( dx = \dfrac{du}{20 x^4} \).
La integral puede escribirse como
\[ \int x^4(4x^5 - 2)^{10} \; dx = \int x^4 u^{10} \dfrac{1}{20 x^4} du \]Simplifica y escribe como
\[ = \dfrac{1}{20} \int u^{10} du \]Usa la integración de la función potencia: \( \int x^n dx = \left(\dfrac{1}{n+1}\right) \; x^{n+1} + c \) para obtener
\[ = \dfrac{1}{220} u^{11} + c \]Sustituye \( u = 4x^5 - 2 \)
\[ \int x^4(4x^5 - 2)^{10} \; dx = \dfrac{1}{220} ( 4x^5 - 2 )^{11} + c \]Evalúa la integral
\[ \int x^2 \arcsin(x) \; dx \]Integración por partes: \( \int w' v \; dx = w v - \int w v' \; dx \).
Sea \( w' = x^2 \) por lo tanto \( w = (1/3) x^3 \) y \( v = \arcsin(x) \) por lo tanto \( v' = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)
\[ \int x^2 \arcsin(x) \; dx = (1/3) x^3 \arcsin(x) - (1/3) \int x^3 \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \;dx \qquad (I) \]La integral de la derecha puede tratarse con sustitución: Sea \( u = \sqrt {1-x^2} \) lo que da \( \dfrac{du}{dx} = -2 x (1/2) (1-x^2)^{-1/2} = -x/u \) o \( dx = - (u/x) du \)
\[ \int x^3 \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \;dx = - \int x^3 \dfrac{1}{u}(u/x) \; du \]Simplifica
\[ = - \int x^2 \; du \]Eleva al cuadrado ambos lados de \( u = \sqrt {1-x^2} \) y resuelve para obtener \( x^2 = 1 - u^2 \) y sustituye en la integral anterior
\[ = - \int (1 - u^2) \; du = \int (u^2 - 1) \; du \]Calcula la integral anterior
\[ = (1/3) u^3 - u + c \]Sustituye \( u = \sqrt {1-x^2} \) y sustituye en la integral (I) para obtener la respuesta final
\[ \int x^2 \arcsin(x) \; dx = \frac{1}{3} x^3 \arcsin(x) - \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3} (\sqrt {1-x^2})^3 - \sqrt {1-x^2} \right) + c \]Evalúa la integral
\[ \int \sqrt x \ln x \; dx \]Usa integración por partes: \( \int w' v \; dx = w v - \int w v' \; dx \). Sea \( w' = \sqrt x \) por lo tanto \( w = (2/3)x^{3/2} \) y \( v = \ln x \) por lo tanto \( v' = 1/x \)
\[ \int \sqrt x \ln x \; dx = (2/3)x^{3/2} \ln x - \int (2/3)x^{3/2} (1/x) \; dx \]Simplifica el lado derecho
\[ = (2/3)x^{3/2} \ln x - \int (2/3)x^{1/2} \; dx \]Evalúa la integral para obtener la respuesta final
\[ \int \sqrt x \ln x \; dx = \frac{2}{3} x^{3/2} \ln x - \frac{4}{9} x^{3/2} + c \]Evalúa la integral
\[ \int \dfrac{\sqrt{x+1}}{x} \; dx \]Usa Integración por Sustitución: Sea \( u = \sqrt{x+1} \) lo que da \( \dfrac{du}{dx} = (1/2) (x+1)^{-(1/2)} \) o \( dx = \dfrac{1}{ (1/2) (x+1)^{-(1/2)} } du = 2u \; du\).
Resuelve \( u = \sqrt{x+1} \) para \( x \) para obtener \( x = u^2 - 1 \) y reescribe la integral como
\[ \int \dfrac{\sqrt{x+1}}{x} \; dx = \int \dfrac{u}{u^2 - 1} 2u \; du = 2 \int \dfrac{u^2}{u^2 - 1} \; du \]Divide el numerador por el denominador en \( \dfrac{u^2}{u^2 - 1} \)
\[ \dfrac{u^2}{u^2 - 1} = 1 + \dfrac{1}{u^2-1} \]y la descomposición en fracciones parciales de \( \dfrac{1}{u^2-1} \) ayuda a reescribir el integrando como
\[ \dfrac{u^2}{u^2 - 1} = 1 - \dfrac{1}{2(u+1)} + \dfrac{1}{2(u-1)} \]Sustituye y calcula la integral.
\[ 2 \int \left(1 - \frac{1}{2(u+1)} + \frac{1}{2(u-1)}\right) du = 2 \left( u - \frac{1}{2} \ln |u + 1| + \frac{1}{2} \ln |u - 1| \right) + c \]Sustituye \( u = \sqrt{x+1} \) y usa propiedades del logaritmo para obtener la respuesta final.
\[ \int \dfrac{\sqrt{x+1}}{x} \; dx = 2\sqrt{x+1} + \ln \left( \dfrac{|\sqrt{x+1}-1|}{|\sqrt{x+1}+1|} \right) + c \]Evalúa la integral
\[ \int \sin\left(\sqrt{x}\right) \; dx \]Usa Integración por Sustitución: Sea \( u = \sqrt{x} \) lo que da \( \dfrac{du}{dx} = (1/2) x^{-(1/2)} \) o \( dx = 2u \; du\).
\[ \int \sin\left(\sqrt{x}\right) \; dx = 2 \int u \sin u \; du \]Aplica integración por partes a \( \int u \sin u \; du \): \( \int w' v \; dx = w v - \int w v' \; dx \). Sea \( w' = \sin u \) por lo tanto \( w = -\cos u \) y \( v = u \) por lo tanto \( v' = 1 \)
\[ \int u \sin u \; du = -u \cos u + \int \cos u \; du = -u \cos u + \sin u + c\]Vuelve a sustituir \( u = \sqrt{x} \) para obtener la respuesta final
\[ \int \sin\left(\sqrt{x}\right) \; dx = - 2 \sqrt{x} \cos \sqrt{x} + 2 \sin \sqrt{x} + c \]Evalúa la integral
\[ \int \dfrac{1}{e^x+e^{-x}} \; dx \]Usa Integración por Sustitución: Sea \( u = e^x \) lo que da \( \dfrac{du}{dx} = e^x \) o \( dx = \dfrac{1}{ e^x} du = \dfrac{1}{u} du\).
\[ \int \dfrac{1}{e^x+e^{-x}} \; dx = \int \dfrac{1}{u+1/u} \cdot \dfrac{1}{u} \; du \]Simplifica.
\[ = \int \dfrac{1}{u^2+1} \; du \]Usa la integral común \( \int \dfrac{1}{u^2+1}du=\arctan (u) \) para obtener.
\[ = \arctan u + c \]Sustituye \( u = e^x \) para escribir la respuesta final como
\[ \int \dfrac{1}{e^x+e^{-x}} \; dx = \arctan(e^x) + c \]Evalúa la integral
\[ \int \log_5 x \; dx \]Primero usamos la fórmula de cambio de base del logaritmo: \( \log_5 (x) = \dfrac{\ln x }{\ln 5} \) para escribir la integral dada como
\[ \int \log_5 x \; dx = \frac{1}{\ln 5} \int \ln x \; dx \]Aplica integración por partes a \( \int \ln x \; dx \): \( \int w' v \; dx = w v - \int w v' \; dx \). Sea \( w' = 1 \) por lo tanto \( w = x \) y \( v = \ln x \) por lo tanto \( v' = 1/x \)
\[ \int \ln x \; dx = x \ln x - \int x (1/x) \; dx = x \ln x - x + c \]Simplifica y escribe la respuesta final como
\[ \int \log_5 x \; dx = \frac{1}{\ln 5} ( x \ln x - x) + c \]Evalúa la integral
\[ \int \dfrac{x^2}{\sqrt{16 - x^2}} \; dx \]Observa que si hay una manera de escribir la expresión bajo la raíz cuadrada como un cuadrado, la raíz cuadrada se simplificaría.
En trigonometría, tenemos la identidad \( \sqrt {1 - \sin^2 t} = \sqrt {\cos^2 t} = | \cos t | \).
Necesitamos hacer un cambio de variable tal que la expresión bajo la raíz cuadrada en la integral dada sea similar al ejemplo anterior.
\[ \sqrt{16 - x^2} = 4 \sqrt {1 - \dfrac{x^2}{16}} = 4 \sqrt {1 - \left(\dfrac{x}{4} \right)^2} \]Usa el método de sustitución trigonométrica: Sea \( \dfrac{x}{4} = \sin t \) lo que da \( x = 4 \sin t \) y \( \dfrac{dx}{dt} = 4 \cos t \) o \( dx = 4 \cos t \; dt \)
\[ \int \dfrac{x^2}{\sqrt{16 - x^2}} \; dx = \int \dfrac{ (4 \sin t)^2 }{4 | \cos t |} \; 4 \cos t dt = \int \dfrac{16 \sin^2 t}{4 |\cos t|} 4 \cos t dt = 16 \int \frac{\sin^2 t}{|\cos t|} \cos t dt \]La integral anterior solo se puede hacer si podemos simplificar \( | \cos t | \). Para integrales indefinidas, podemos asumir un caso. El resultado a menudo se expresa sin el valor absoluto, asumiendo un dominio donde la función es definida. Procederemos con la simplificación estándar asumiendo \( \cos t \ge 0 \), entonces \( | \cos t | = \cos t \). Por lo tanto, la integral se simplifica a
\[ \int \dfrac{x^2}{\sqrt{16 - x^2}} \; dx = 16 \int \sin^2 t \; dt \]Usa la identidad trigonométrica \( \sin^2 t = \frac{1}{2}(1 - \cos(2t)) \) para reescribir la integral como
\[ = 16 \int \frac{1}{2}(1 - \cos(2t)) \; dt = 8 \int (1 - \cos(2t)) \; dt \]Calcula la integral anterior
\[ = 8t - 8 \cdot \frac{1}{2} \sin(2t) + c = 8t - 4 \sin(2t) + c \]La sustitución \( x = 4 \sin t \) hecha anteriormente puede escribirse como \( t = \arcsin(x/4) \). También necesitamos expresar \( \sin(2t) \) en términos de \( x \). Usando la identidad \( \sin(2t) = 2 \sin t \cos t \).
Dado que \( \sin t = x/4 \), y \( \cos t = \sqrt{1 - \sin^2 t} = \sqrt{1 - (x/4)^2} = \frac{\sqrt{16 - x^2}}{4} \).
Por lo tanto, \( \sin(2t) = 2 \cdot \frac{x}{4} \cdot \frac{\sqrt{16 - x^2}}{4} = \frac{x\sqrt{16-x^2}}{8} \).
Sustituyendo \( t \) y \( \sin(2t) \) en el resultado de la integral da
\[ \int \dfrac{x^2}{\sqrt{16 - x^2}} \; dx = 8 \arcsin\left(\frac{x}{4}\right) - 4 \left( \frac{x\sqrt{16-x^2}}{8} \right) + c \]Simplificando obtenemos la respuesta final
\[ \int \dfrac{x^2}{\sqrt{16 - x^2}} \; dx = 8 \arcsin\left(\frac{x}{4}\right) - \frac{x\sqrt{16-x^2}}{2} + c \]Usa la tabla de integrales y las propiedades anteriores para calcular las siguientes integrales. [Nota: es posible que necesites usar más de una de las propiedades y métodos anteriores para una integral].