Evaluar integrales de funciones

Calcula integrales usando diferentes técnicas con ejemplos y soluciones y explicaciones detalladas. También se presentan más ejercicios con soluciones en la parte inferior de la página.
En todos los ejemplos y ejercicios, c representan la constante de integración.

Ejemplos y sus soluciones

Ejemplo 1
Evalúa la integral

∫ 6 cos x sin x dx

∫ 6 cos x sin x dx= - (3/2) cos (2 x) + c

Ejemplo 2
Calcular la integral \[ \displaystyle\int x \; \sqrt{x+1} dx \] Solución al Ejemplo 2:
Use Integración por sustitución: Sea \( u = x + 1 \) que da \( x = u - 1\).
\( \displaystyle\int x \sqrt{x+1} \; dx = \int (u-1) \cdot u^{1/2} \; dx \)
Lo anterior conduce a \( \dfrac{du}{dx}=1 \) y \( du = dx \) y la integral dada es igual a
\( = \displaystyle\int (u^{3/2}-u^{1/2}) \; du \)
Ahora usamos la propiedad para la integral de la suma de funciones y la fórmula para la función de integración de potencia: \( \displaystyle \int x^n dx = \left(\dfrac{1}{n+1}\right) \; x^{n+1} + c\) para obtener
\( \displaystyle = (2 / 5) u^{5/2} - (2 / 3) u^{3/2} + c \)
Ahora sustituimos \( u \) por \( x + 1 \) en el resultado anterior para obtener el resultado final de la siguiente manera \[ \displaystyle\int x \sqrt{x+1} dx = (2/5) (x + 1)^{5/2} - (2/3) (x + 1)^{3/2} + C\] Para comprobar la respuesta final, diferencie la integral indefinida obtenida para obtener el integrando \( x \sqrt{x + 1} \) en la integral dada.

Ejemplo 3
Evalúa la integral \[ \displaystyle \int \cos^2 x \; dx\]
Solución al Ejemplo 3
Usa la identidad trigonométrica \( \cos^2 x = \dfrac{1+\cos(2x)}{2} \) para reescribir la integral dada como
\( \displaystyle\int \cos^2 x \; dx = \int \dfrac{1+cos(2x)}{2} \; dx \)
Usa Integración por Sustitución: \( u = 2x \) para que \( du = 2 dx \) y \( dx = du / 2 \), y la integral dada se puede escribir como
\( = \displaystyle \int (1/4)(1+\cos u) \; du \)
Integrar para obtener
\( = (1 / 4) u + (1 / 4) \; \sin (u) + c \)
Sustituir \( u \) por \( 2 x \) y simplificar \[ \displaystyle \int \cos^2 x \; dx = x / 2 + (1 / 4) \sin(2 x) + c \] Verifique la respuesta final por diferenciación.

Ejemplo 4
Evalúa la integral \[\displaystyle\int x^3 e^{x^4} \; dx\]
Solución al Ejemplo 4
Use Integración por Sustitución: Sea \( u = x^4\) tal que \( du / dx = 4 x^3 \) lo que lleva a \( (1 / 4) du = x^3 dx \), de modo que la integral dada se puede escribir como
\( \displaystyle\int x^3 e^{x^4} dx = \int (1 / 4) e^u \; du \)
Ahora usamos la fórmula para la integral de la función exponencial para escribir
\( \displaystyle\int (1 / 4) e^u \; du = (1 / 4) e^u + c \)
Sustituye \( u \) por \( x^4 \) para obtener la respuesta final \[ \displaystyle\int x^3 e^{x^4} dx = (1 / 4) e^{x^4}+ c \]

Ejemplo 5
Calcular la integral \[\displaystyle \int \dfrac{\sin (2x)}{1-\cos^2(x)} \; dx\] Solución al Ejemplo 5
Usa las identidades trigonométricas: \( \sin (2x) = 2 \; \sin \; x \; \cos x \) y \( 1-\cos^2(x) = \sin^2(x) \) para reescribir la integral dada como
\( \displaystyle \int \dfrac{\sin (2x)}{1-\cos^2(x)}dx = \displaystyle \int \dfrac{2 \sin\; x \cos x}{\sin^2(x )}dx\)
Simplifica y reescribe como
\( = \displaystyle \int 2 \dfrac{\cos x}{\sin \; x} \; dx \)
Usa la fórmula de integración \( \displaystyle\int \dfrac{f'(x)}{f(x)} \; dx = \ln | f(x)| +c \) para obtener
\( = 2 \ln |\sin \;x| \)
Use la propiedad de registro \( \; a \ln x = \ln x^a \) para reescribir el resultado final como \[ \displaystyle \int \dfrac{\sin (2x)}{1-\cos^2(x)}dx = \ln \sin^2 \; x\]

Ejemplo 6
Calcular la integral \[\displaystyle \int (x+\sin \; x)^2 \; dx\] Solución al Ejemplo 6
Expande \( \displaystyle (x+\sin \; x)^2 = x^2 + \sin^2 x + 2 x \sin\; x \) y aplica la suma regla de integrales\( \displaystyle \int (f(x) + g(x) + h(x) ) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx + \int h(x) dx \) para reescribir la integral dada como
\( \displaystyle \int (x+\sin \; x)^2 \; dx = \int x^2 \; dx + \int \sin^2 x \; dx + \int 2 x \; \sin \; x \; dx \)
Calcula cada integral en la suma anterior
\( \displaystyle \int x^2 \; dx = (1/3) x^3 + c\)
Utilice la identidad trigonométrica \( \; \sin^2 x = (1 – \cos (2x)) / 2 \) para reducir la potencia y reescribir la segunda integral en la suma como
\( \displaystyle \int \sin^2 x \; dx = \int \dfrac{1 – \cos (2x)}{2} \; dx = (1/2) x - (1/4) \sin ( 2x) + c\)
La tercera integral se calcula usando la integración por partes: \( \int u' v \; dx = u v - \int u v' \;dx \).
Sean \( v = x \) y \( u' = \sin x \) de modo que \( v' = 1 \) simplifica los cálculos y \( u = - \cos x\).
\( \displaystyle \int 2 x \; \sin \; x \; dx = 2 (- x \cos x - \int (- cos x) dx ) = - 2 x \cos x + 2 \; \sin \; x + c \)
La respuesta final a la integral dada está dada por la suma de las tres integrales calculadas anteriormente \[\displaystyle \int (x+\sin x)^2 \; dx = (1/3) x^3 + (1/2) x - (1/4) \; \sin (2x) - 2 x \cos x + 2 \; \sin \; x + c \]

Ejemplo 7
Calculada la integral \[\displaystyle \int \dfrac{\sin \; x}{\sin^2 x - 2 cos x + 2} \; dx\] Solución al Ejemplo 7
Usa la identidad trigonométrica \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \) reescribir la integral dada como
\(\displaystyle \int \dfrac{\sin \; x}{\sin^2 x - 2 \cos x + 2} \; dx = \int \dfrac{\sin \; x}{ 1 - \cos^2 x - 2 \cos x + 2}\;dx\)
Use Integración por sustitución: Sea \( u = \cos x \) que da \( \dfrac{ du}{dx} = - \sin \; x \) y \( du = - \sin \; x \; dx \) y sustituimos en la integral
\( \displaystyle \int \dfrac{\sin \; x}{1 - \cos^2 x - 2 \cos x + 2} \; dx = \int \dfrac{1}{u^2 + 2 u - 3} tu\)
Factorice el denominador \( u^2 + 2 u - 3 = (u+3)(u-1) \) y use descomposición en fracciones parciales para reescribir \( \dfrac{1}{u^2 + 2 u - 3} \) como
\( \dfrac{1}{u^2 + 2 u - 3} = \dfrac{A}{u+3} + \dfrac{B}{u+3} \\\\ = \dfrac{1}{4(u-1)}-\dfrac{1}{4(u+3)}\)
Sustituir en la integral en \( u \) y usar la suma regla de integrales para escribir
\( \displaystyle \int \dfrac{1}{u^2 + 2 u - 3} du = \int \dfrac{1}{4(u-1)} du - \int \dfrac{1}{4( u+3)} du \)
Usa la fórmula de integración \( \displaystyle\int \dfrac{f'(x)}{f(x)} \; dx = \ln | f(x)| +c \) para cada integral
\( = (1/4) (\ln |u-1| - \ln|u+3| + c \)
Sustituye \( u = \cos x \) para obtener el resultado final como
\[\displaystyle \int \dfrac{\sin x}{\sin^2 x - 2 cos x + 2} \; dx = (1/4) (\ln | \cos x -1| - \ln| \cos x +3| ) + c \]
Usa las propiedades logarítmicas \( \ln \dfrac {X}{Y} = \ln X - \ln Y \) para reescribir la respuesta final como
\[\displaystyle \int \dfrac{\sin x}{\sin^2 x - 2 cos x + 2} \; dx = (1/4) (\ln |\dfrac{ \cos x -1}{\cos x +3} | + c \]

Ejemplo 8
Calcular la integral \[\displaystyle \int \dfrac{1}{x+\sqrt{x+2}} \; dx\] Solución al Ejemplo 8
Use Integración por Sustitución: Sea \( u = \sqrt {x + 2} \); eleva al cuadrado ambos lados y resuelve \( x \) para obtener \( x = u^2 - 2 \).
También tenemos \( \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{2} (x+2)^{-1/2} \) que da \( dx = 2 (x+2)^{ 1/2} \; du = 2u \; du\) . La integral se convierte
\( \displaystyle \int \dfrac{1}{x+\sqrt{x+2}} \; dx = 2 \int \dfrac {u}{u^2 -2 + u} \; du \)
Factoriza el denominador \( u^2 -2 + u = (u+2)(u-1) \) y escribe la fracción parcial de \( \dfrac {u}{u^2 -2 + u} \) como
\( \dfrac{u}{u^2 -2 + u} = \dfrac{A}{u-1} + \dfrac{B}{u+2} \)
Resolver para \( A \) y \( B \) para obtener
\( \dfrac{u}{u^2 -2 + u} = \dfrac{1}{3(u-1)} + \dfrac{2}{3(u+2)} \)
Sustituir en la integral en \( u \) y usar la suma regla de integrales para escribir
\( \displaystyle 2 \int \dfrac {u}{u^2 -2 + u} \; du = 2 \int \dfrac{1}{3(u-1)} du + 2 \int \dfrac{2}{3(u+2)} du \)
Usa la fórmula de integración \( \displaystyle\int \dfrac{f'(x)}{f(x)} \; dx = \ln | f(x)| +c \) para cada integral
\( = (2/3) \ln |u-1| + (4/3) \ln|u+2| + c \)
Sustituye \( u = \sqrt {x + 2} \) para obtener el resultado final como \[\displaystyle \int \dfrac{\sin \; x}{\sin^2 x - 2 cos x + 2} \; dx = (2/3) \ln |\sqrt {x + 2}-1| + (4/3) \ln|\sqrt {x + 2}+2| + c \]

Ejemplo 9
Evalúa la integral \[\displaystyle \int \dfrac{1}{\tan x} \; dx\] Solución al Ejemplo 9
Usa la identidad trigonométrica \( \; \tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{ \cos(x)} \) para reescribir la integral como
\(\displaystyle \int \dfrac{1}{\tan x} \; dx = \int \dfrac {\cos x}{\sin\; x} \; dx \)
Usa la fórmula de integración \( \displaystyle\int \dfrac{f'(x)}{f(x)} \; dx = \ln | f(x)| +c \) para obtener
\( = \ln | \sin \; x | + c \)
por eso \[\displaystyle \int \dfrac{1}{\tan x} \; dx = \ln | \sin \; x | +c\]

Ejemplo 10
Evalúa la integral \[\displaystyle \int \dfrac{1}{x^2 + 2x + 1} \; dx\] Solución al Ejemplo 10
Completa el cuadrado en el denominador
\( \displaystyle \int \dfrac{1}{x^2 + 2x + 1} \; dx = \int \dfrac {1}{(x+1)^2} \; dx \)
Use Integración por Sustitución: Sea \( u = x + 1 \) y por lo tanto \( \dfrac{du} {dx} = 1 \) lo que da \( dx = du \)
\( = \displaystyle \int \dfrac {1}{u^2} \; du \)
reescribir como
\( = \displaystyle \int u^{-2} \; du \)
Usa la fórmula para la función de integración de potencias: \( \displaystyle \int x^n dx = \left(\dfrac{1}{n+1}\right) \; x^{n+1} + c \) para obtener
\( = - u^{-1} + c \)
\( = - \dfrac{1}{u}+ c\)
Vuelva a sustituir: \( u = x+ 1 \) para escribir el resultado final como
\[ \displaystyle \int \dfrac{1}{x^2 + 2x + 1} \; dx = - \dfrac{1}{x+1} + c\]

Ejemplo 11
Evalúa la integral \[\displaystyle \int \dfrac{1}{x^2+x+1} \; dx\] Solución al Ejemplo 11
Tenga en cuenta que el denominador \( x^2+x+1 \) no se puede factorizar sobre los racionales y, por lo tanto, No se puede utilizar el método de descomposición en fracciones parciales.
Una integral conocida cercana a la integral dada es \( \displaystyle \int \dfrac{1}{x^2+1}dx = \arctan (x) + c \).
Comienza completando el cuadrado en el denominador
\( x^2+x+1 = (x + 1/2)^2 + 3/4 \)
Use Integración por Sustitución: Sea \( u = x + 1/2 \) que da \( dx = du \) y reescribir la integral como
\(\displaystyle \int \dfrac{1}{x^2+x+1}dx = \int \dfrac{1}{u^2+3/4} du \)
Factoriza \( 3/4 \) en el denominador
\(\displaystyle = \dfrac{4}{3} \int \dfrac{1}{\dfrac{4}{3} u^2+1} du \)
Sustituye: \( w = \dfrac{2}{\sqrt 3} u \) que da \( w^2 = \dfrac{4}{ 3} u^2 \) y \( \dfrac{dw}{du } = \dfrac{2}{\sqrt 3} \) que se puede escribir como \( du = \dfrac{\sqrt 3}{2} dw \) y reescribir la integral como
\( \displaystyle \dfrac{1}{3/4} \int \dfrac{1}{\dfrac{4}{3} u^2+1} du = \dfrac{1}{3/4} \dfrac {\sqrt 3}{2} \int \dfrac{1}{w^2+1} dw\)
Simplifique y reescriba el resultado como
\( \displaystyle \dfrac{1}{3/4} \int \dfrac{1}{\dfrac{4}{3} u^2+1} du = \dfrac{2}{\sqrt{3}} \arctan w \)
Sustituye \( w = \dfrac{2}{\sqrt 3} u \) y \( u = x + 1/2 \) o directamente \( w = \dfrac{2}{\sqrt 3} (x+1 /2) \) para obtener la respuesta final como
\[\displaystyle \int \dfrac{1}{x^2+x+1}dx = \dfrac{2}{\sqrt{3}} \arctan \left(\dfrac{2}{\sqrt 3} (x+1/2) \right) \]

Ejemplo 12
Evalúa la integral \[\displaystyle \int \dfrac{x^4-2x^2+x}{x^2+x+1} \; dx\] Solución al Ejemplo 12
Tenga en cuenta que el grado del numerador es mayor que el grado del denominador y, por lo tanto, dividimos el numerador por el denominador.
\( \dfrac{x^4-2x^2+x}{x^2+x+1} = x^2-x-2+\dfrac{4x+2}{x^2+x+1} \)
La integral dada se puede escribir como
\(\displaystyle\int \frac{x^4-2x^2+x}{x^2+x+1}dx = \int \left(x^2-x-2+\dfrac{4x+2} {x^2+x+1} \right) du \)
\( x^2-x-2 \) es un polinomio. \( \dfrac{4x+2}{x^2+x+1} \) se puede escribir como
\( \dfrac{4x+2}{x^2+x+1} = 2 \dfrac{2x+1}{x^2+x+1} \)
Tenga en cuenta que el numerador \( 2x+1 \) es la derivada del denominador \( x^2+x+1 \) y por lo tanto usamos la fórmula de integración \( \displaystyle\int \dfrac{f'(x)} {f(x)} \; dx = \ln | f(x)| +c \) para obtener la respuesta final
\[ \displaystyle \int \frac{x^4-2x^2+x}{x^2+x+1}dx = (1/3)x^3 - (1/2)x^2 - 2 x + 2 \ln |x^2+x+1| +c\]

Ejemplo 13
Evalúa la integral \[\displaystyle \int \left(x^3-\dfrac{1}{x^2}\right)^4 \; dx\] Solución al Ejemplo 13
Usa el teorema del binomio \( \displaystyle \left(x+y\right)^n=\sum _{i=0}^n\binom{n}{i}x^{\left(n-i\right)}y ^i \) para expandir el integrando.
\( \left(x^3-\dfrac{1}{x^2}\right)^4 = x^{12}-4x^7+6x^2-\dfrac{4}{x^3}+ \dfrac{1}{x^8} \)
La integral dada se puede escribir como
\(\displaystyle \int \left(x^3-\dfrac{1}{x^2}\right)^4 \; dx = \int \left(x^{12}-4x^7+6x^2 -\dfrac{4}{x^3}+\dfrac{1}{x^8} \right) dx \)
Utilice la función de integración de potencia: \( \displaystyle \int x^n dx = \left(\dfrac{1}{n+1}\right) \; x^{n+1} + c \) para obtener obtener la respuesta final
\[ \displaystyle \left(x^3-\dfrac{1}{x^2}\right)^4 \; dx = \dfrac{x^{13}}{13}-\dfrac{x^8}{2}+2x^3+\dfrac{2}{x^2}-\dfrac{1}{7x^7 }+c\]

Ejemplo 14
Evalúa la integral \[\displaystyle \int \tan^2(x) \; dx\] Solución al Ejemplo 14
Usa la identidad trigonométrica \( \tan^2 x = \sec^2 x - 1 \) para reescribir el integral como.
\(\displaystyle \int \tan^2(x) \; dx = \int (\sec^2 x - 1) \; dx \\ = \displaystyle \int \sec^2 x \; dx - \int\; d x \)
Usa la fórmula \( \displaystyle \int \sec^2 x dx = \tan (x) + c \) para obtener la respuesta final
\[\displaystyle \int \tan^2(x) \; dx = \tan (x) - x + c \]

Ejemplo 15
Evalúa la integral \[\displaystyle \int x^4(4x^5 - 2)^{10} \; dx\] Solución al Ejemplo 15
Tenga en cuenta que la derivada de \( 4x^5 - 2 \) es igual a \( 20 x^4\), por lo tanto, el método Sustitución: Sea \( u = 4x^5 - 2 \) que da \( \dfrac{du} {dx} = 20 x^4 \) y \( dx = \dfrac{du}{20 x^4} \)
La integral se puede escribir como
\(\displaystyle \int x^4(4x^5 - 2)^{10} \; dx = \int x^4 u^{10} \dfrac{1}{20 x^4} du \)
Simplifica y escribe como
\(\displaystyle \int x^4(4x^5 - 2)^{10} \; dx = \dfrac{1}{20} \int u^{10} du \)
Utilice la función de integración de potencia: \( \displaystyle \int x^n dx = \left(\dfrac{1}{n+1}\right) \; x^{n+1} + c \) para obtener
\(\displaystyle \int x^4(4x^5 - 2)^{10} \; dx = \dfrac{1}{120} u^{11} + c \)
Sustituye \( u = 4x^5 - 2 \)
\[\displaystyle \int x^4(4x^5 - 2)^{10} \; dx = \dfrac{1}{220} ( 4x^5 - 2 )^{11} + c \]

Ejemplo 16
Evalúa la integral \[\displaystyle \int x^2 \arcsin(x) \; dx\] Solución al Ejemplo 16
Integración por partes: \( \int w' v \; dx = w v - \int w v' \; dx\).
Sea \( w' = x^2 \) por lo tanto \( w = (1/3) x^3 \) y \( v = \arcsin(x) \) por lo tanto \( v' = \dfrac{1}{ \sqrt{1-x^2}} \)
\( \displaystyle \int x^2 \arcsin(x) \; dx = (1/3) x^3 \arcsin(x) - (1/3) \int x^3 \dfrac{1}{\sqrt {1-x^2}} \;dx \qquad (I) \)
La integral de la derecha puede tratarse con sustitución: Sea \( u = \sqrt {1-x^2} \) que da \( \dfrac{du}{dx} = -2 x (1/2) (1 -x^2)^{-1/2} = - x/u \) o \( \; dx = - (u/x) du \)
\( \displaystyle \int x^3 \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \;dx = - \int x^3 \dfrac{1}{u}(u/x) \; du \)
Simplificar
\( \displaystyle = - \int x^2 \; du \)
Eleve al cuadrado ambos lados de \( u = \sqrt {1-x^2} \) y resuelva para obtener \( x^2 = 1 - u^2 \) y sustituya en la integral anterior
\( = \displaystyle \int (u^2 - 1) \; du \)
Calcula la integral anterior
\( = \displaystyle (1/3) u^3 - u + c\)
Vuelva a sustituir \( u = \sqrt {1-x^2} \) y sustituya en la integral (I) para obtener la respuesta final
\[ \displaystyle \int x^2 \arcsin(x) \; dx = \dfrac{1}{3} x^3 \arcsin(x) - \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{1}{3} \sqrt {1-x^2}^3 - \sqrt {1-x^2} \right) + c \]

Ejemplo 17
Evalúa la integral \[\displaystyle \int \sqrt x \ln x \; dx\] Solución al Ejemplo 17
Usa integración por partes: \( \int w' v \; dx = w v - \int w v' \;dx\). Sea \( w' = \sqrt x \) por lo tanto \( w = (2/3)x^{3/2} \) y \( v = \ln x \) por lo tanto \( v' = 1/x \)
\( \displaystyle \int \sqrt x \ln x \; dx = (2/3)x^{3/2} \ln x - \int (2/3)x^{3/2} (1/x )\;dx\)
Simplifica el lado derecho
\( \displaystyle \int \sqrt x \ln x \; dx = (2/3)x^{3/2} \ln x - \int (2/3)x^{1/2} \; dx \)
Evalúa la integral para obtener la respuesta final
\[ \displaystyle \int \sqrt x \ln x \; dx = \dfrac{2}{3} \; x^{3/2} \ln x - \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 x^{3/2} + c \]

Ejemplo 18
Evalúa la integral \[\displaystyle \int \dfrac{\sqrt{x+1}}{x} \; dx\] Solución al Ejemplo 18
Use Integración por sustitución: Sea \( u = \sqrt{x+1} \) que da \ ( \dfrac{du}{dx} = (1/2) (x+1)^{-(1/2)} \) o \( dx = \dfrac{1}{ (1/2) (x+ 1 )^{-(1/2)} } du = 2\;u\;du\).
Resolver \( u = \sqrt{x+1} \) para \( x \) para obtener \( x = u^2 - 1 \) y reescribir la integral como
\(\displaystyle \int \dfrac{\sqrt{x+1}}{x} \; dx = \int \dfrac{u}{u^2 - 1} 2 u \; du \qquad (I) \)
Simplificar
\(\displaystyle \int \dfrac{\sqrt{x+1}}{x} \; dx = 2 \int \dfrac{u^2}{u^2 - 1} \; du \)
Divide el numerador por el denominador en \( \dfrac{u^2}{u^2 - 1} \)
\( \dfrac{u^2}{u^2 - 1} = 1 + \dfrac{1}{u^2-1} \)
y la descomposición en fracciones parciales de \dfrac{1}{u^2-1} ayuda a reescribir el integrando \( \dfrac{u^2}{u^2 - 1} \) como
\( \dfrac{u^2}{u^2 - 1} = 1 - \dfrac{1}{2\left(u+1\right)}+\dfrac{1}{2\left(u-1 \right)} \)
Sustituye y calcula la integral del lado derecho de (I) .
\( \displaystyle 2 \int (1 - \dfrac{1}{2\left(u+1\right)}+\dfrac{1}{2\left(u-1\right)} \; du = 2 (u - \dfrac{1}{2} \ln |u + 1 | + \dfrac{1}{2} \ln |u - 1| ) + c \)
Vuelva a sustituir \( u = \sqrt{x+1} \) y use las propiedades del logaritmo para obtener la respuesta final.
\[\displaystyle \int \dfrac{\sqrt{x+1}}{x} \; dx = 2 \sqrt{x+1} + \ln \left(\dfrac{|x|}{(\sqrt{x+1} + 1)^2}\right) + c\]

Ejemplo 19
Evalúa la integral \[\displaystyle \int \sin\left(\sqrt{x}\right) \; dx\] Solución al Ejemplo 19
Use Integración por sustitución: Sea \( u = \sqrt{x} \) que da \( \dfrac{du}{dx} = (1/2) (x)^{-(1/2)} \) o \( dx = \dfrac{1}{(1/2) (x)^{-( 1/2)} } du = 2 \; u \;du \).
\( \displaystyle \int \sin\left(\sqrt{x}\right) \; dx = 2 \int u \sin u \; du \)
Aplicar integración por partes a \( \int u \sin u \; du \): \( \ int w' v \; dx = w v - \int w v' \; dx \). Sea \( w' = \sin u \) por lo tanto \( w = - \cos u \) y \( v = u \) por lo tanto \( v' = 1 \)
\( \displaystyle \int u \sin u \; du = - u \cos u + \int \cos u du = - u \cos u + \sin u + c\)
Vuelva a sustituir \( u = \sqrt{x} \) para obtener la respuesta final
\[\displaystyle \int \sin\left(\sqrt{x}\right) \; dx = - 2 \sqrt{x} \cos \sqrt{x} +2 \sin \sqrt{x} + c \]

Ejemplo 20
Evalúa la integral \[\displaystyle \int \dfrac{1}{e^x+e^{-x}} \; dx\] Solución al Ejemplo 20
Use Integración por sustitución: Sea \( u = e^x \) que da \( \dfrac{ du}{dx} = e^x \) o \( dx = \dfrac{1}{ e^x} du = \dfrac{1}{u} du\).
\(\displaystyle \int \dfrac{1}{e^x+e^{-x}} \; dx = \int \dfrac{1}{u+1/u} \; \dfrac{1}{u } \;du\)
Simplificar.
\(\displaystyle = \int \dfrac{1}{u^2+1} \; du\)
Usa la integral común \( \int \dfrac{1}{u^2+1}du=\arctan \left(u\right) \) para obtener.
\(\displaystyle = \arctan u + c \)
Vuelva a sustituir \( u = e^x \) para escribir la respuesta final como
\[\displaystyle \int \dfrac{1}{e^x+e^{-x}} \; dx = \arctan e^x + c \]

Ejemplo 21
Evalúa la integral \[\displaystyle \int \log_5 x \; dx\] Solución al Ejemplo 21
Primero usamos la fórmula de cambio de base del logaritmo: \( \; \log_5 (x) = \dfrac{\ln x }{\ln 5} \) para escribir la integral dada como
\(\displaystyle \int \log_5 x \; dx = \dfrac{1}{\ln 5} \int \ln x \; dx \)
Aplicar integración por partes a \( \int \ln x \; dx \): \( \int w' v\;dx = w v - \int w v'\;dx\). Sea \( w' = 1 \) por lo tanto \( w = x \) y \( v = \ln x \) por lo tanto \( v' = 1/x\)
\( \displaystyle \int \ln x \; dx = x \ln x - \int x (1/x) \; dx + c\)
Simplifica y escribe la respuesta final como
\[ \displaystyle \int \log_5 x \; dx = \dfrac{1}{\ln 5} ( x \ln x - x) + c \]

Ejemplo 22
Evalúa la integral \[\displaystyle \int \dfrac{x^2}{\sqrt{16 - x^2}} \; dx\] Solución al Ejemplo 22
Tenga en cuenta que si hay una forma de escribir la expresión debajo de la raíz cuadrada como un cuadrado, la raíz cuadrada se simplificaría.
En trigonometría tenemos la identidad \( \sqrt {1 - \sin^2 t} = \sqrt {\cos^2 t} = | \cos t | \)
Necesitamos hacer un cambio de variable tal que la expresión debajo de la raíz cuadrada en la integral dada sea similar al ejemplo anterior.
\( \sqrt{16 - x^2} = 4 \sqrt {1 - \dfrac{x^2}{16}} = 4 \sqrt {1 - \left(\dfrac{x}{4} \right) ^2} \)
Utilice el método de sustitución trigonométrica : Sea \( \; \dfrac{x} {4} = \sin t \) que da \( x = 4 \sin t \) y \( \dfrac{dx}{dt} = 4 \cos t \) o \( dx = 4 \cos t \; dt\)
\( \displaystyle \int \dfrac{x^2}{\sqrt{16 - x^2}} \; dx = \int \dfrac{ (4 \sin t)^2 }{4 | \cos t |} \; 4 \cos t dt \)
La integral anterior solo se puede hacer si podemos simplificar \( | \cos t | \). Para integrales indefinidas, podemos asumir que \( | \cos t | = \cos t \) o \( | \cos t | = \cos t \).
Para integrales definidas, necesitamos estudiar el signo de \( \cos t \) sobre el intervalo de integración. La integral dada es indefinida y supondremos que \( \cos t \ge 0 \) y por lo tanto \( | \cos t | = \cos t \). Por lo tanto, la integral puede simplificarse y escribirse como
\( \displaystyle \int \dfrac{x^2}{\sqrt{16 - x^2}} \; dx = 16 \int \sin t^2 \; dt \)
Usa la identidad trigonométrica \( \sin t^2 = (1/2)(1 - \cos (2t) \) para reescribir la integral como
\( \displaystyle \int \dfrac{x^2}{\sqrt{16 - x^2}} \; dx = 16 \int (1/2)(1- \cos (2t)t) \; dt \)
Calcula la integral anterior
\( \displaystyle \int \dfrac{x^2}{\sqrt{16 - x^2}} \; dx = 8 t - 4 \sin (2t) +c \)
La sustitución \( x = 4 \sin t \) hecha arriba se puede escribir como \( t = \arcsin(x/4) \) que se usa en el resultado anterior y da la respuesta final
\[ \displaystyle \int \dfrac{x^2}{\sqrt{16 - x^2}} \; dx = 8 \arcsin(x/4) - 4 \sin (2 \arcsin(x/4)) + c\]

Ejercicio

Utilice la tabla de integrales y las propiedades anteriores para calcular las siguientes integrales. [Tenga en cuenta que es posible que necesite usar más de una de las propiedades y métodos anteriores para una integral].

1. \( \displaystyle \int (\sqrt{x} - \dfrac{x^3}{4} + x \; \ln x ) dx \)
   
2. \( \displaystyle \int \sqrt{x+1} dx \)
   
3. \( \displaystyle\int \sin^2 x dx \)
   
4. \( \displaystyle\int x \cos(x^2) dx \)
   
5. \( \displaystyle\int x e^{x^2} dx \)

Soluciones a los ejercicios anteriores

1. \( \dfrac{2}{3}x^{\dfrac{3}{2}}-\dfrac{x^4}{16}+\dfrac{1}{2}x^2\ln x -\dfrac{x^2}{4}+ c \)
   
2. \( (2 / 3) (x+1)^{3/2}+c \)
   
3. \( x / 2 - (1/2) \sin x \cos x + c\)
   
4. \( (1 / 2) \sin(x^2) + c \)
   
5. \( (1 / 2) e^{x^2} + c \)

Más referencias y enlaces

1. integrales y sus aplicaciones en cálculo.