Integrales impropias con intervalos infinitos

Definiciones, ejemplos resueltos paso a paso, ejercicios de práctica y soluciones

Define y calcula integrales impropias con límites de integración infinitos a través de ejemplos con soluciones detalladas y explicaciones. Se incluyen más ejercicios con soluciones.

Definición de integrales impropias con intervalos infinitos [1] [2]

Consideramos 3 tipos de integrales con intervalo(s) infinito(s):

1 - El límite superior de la integral es infinito

Una integral de la forma \( \displaystyle \int_a^{\infty} f(x) \, dx \) existe y es convergente si \( \int_a^{b} f(x) \, dx \) existe para todo \( b \ge a \) y el límite:

\[ \lim_{b \to \infty} \int_a^{b} f(x) \, dx \]

existe y es finito. Entonces escribimos:

\[ \int_a^{\infty} f(x) \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^{b} f(x) \, dx \]

2 - El límite inferior de la integral es infinito

Una integral de la forma \( \displaystyle \int_{-\infty}^a f(x) \, dx \) existe y es convergente si \( \int_b^{a} f(x) \, dx \) existe para todo \( b \le a \) y el límite:

\[ \lim_{b \to -\infty} \int_b^{a} f(x) \, dx \]

existe y es finito. Entonces escribimos:

\[ \int_{-\infty}^a f(x) \, dx = \lim_{b \to -\infty} \int_b^{a} f(x) \, dx \]

3 - Ambos límites de la integral son infinitos

Una integral de la forma \( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx \) existe y es convergente si ambas integrales:

\[ \int_{-\infty}^a f(x) \, dx \quad \text{y} \quad \int_a^{\infty} f(x) \, dx \]

son convergentes para cualquier número real \( a \). Entonces escribimos:

\[ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = \int_{-\infty}^a f(x) \, dx + \int_a^{\infty} f(x) \, dx \]

Nota: El intervalo de integración se divide en \( x = a \), lo que resulta en la suma de dos integrales, cada una con un solo límite infinito.

función escalón unitario
Figura 1. Referencia de la función escalón unitario.

Ejemplos y sus soluciones

Ejemplo 1

Evalúa la integral dada a continuación si es posible:

\[ \int_1^{\infty} x \, dx \]

Ejemplo 2

¿Es la integral de abajo convergente o divergente? Evalúala si es convergente.

\[ \int_1^{\infty} \dfrac{1}{x^2} \, dx \]

Ejemplo 3

Evalúa la integral dada a continuación si es posible:

\[ \int_{-\infty}^0 \dfrac{1}{\sqrt{2 - 3x}} \, dx \]

Ejemplo 4

Evalúa la integral dada a continuación si es posible:

\[ \int_{-\infty}^{\infty} x^5 e^{-x^6} \, dx \]

Ejemplo 5

¿Para qué valores de \( p \) es convergente la integral:

\[ \int_{e}^{\infty} \dfrac{1}{x(\ln x)^{p+1}} \, dx \]

? Encuentra su valor en términos de \( p \).

Ejercicios

Evalúa cada una de las siguientes integrales si es posible:

  1. \( \displaystyle \int_1^{\infty} \dfrac{1}{(4x+1)^2} \, dx \)
  2. \( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{x}{1+x^2} \, dx \)
  3. \( \displaystyle \int_{-\infty}^{-1} e^{2x} \, dx \)
  4. \( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{7x^2}{3+x^6} \, dx \)
  5. \( \displaystyle \int_0^{\infty} \dfrac{e^{2x}}{e^{4x}+3} \, dx \)

Más referencias y enlaces

  1. University Calculus - Early Transcendentals - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13: 978-0134995540
  2. Calculus - Early Transcendentals - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8
  3. Integrales y sus aplicaciones en cálculo