Derivación y evaluación
Los pasos para calcular la integral de la función logaritmo natural:
\[ \int \ln x \, dx \]se presentan a continuación.
Primero reescribimos la integral dada como:
\[ \int \ln x \, dx = \int 1 \cdot \ln x \, dx \]Sean \( u' = 1 \) y \( v = \ln x \), cuyas primeras derivadas están dadas por \( u = x \) y \( v' = \dfrac{1}{x} \).
Nuestra integral es de la forma:
\[ \int \ln x \, dx = \int u' \cdot v \, dx \]Utiliza la fórmula de integración por partes \( \int u' v \, dx = u v - \int u v' \, dx \) para escribir:
\[ \int \ln x \, dx = u v - \int u \cdot v' \, dx \]Sustituye \( u, v \) y \( v' \) para obtener:
\[ = x \ln x - \int x \cdot \dfrac{1}{x} \, dx \]Simplifica el término de la derecha:
\[ = x \ln x - \int 1 \, dx \]Evalúa la integral:
\[ = x \ln x - x + c \]donde \( c \) es la constante de integración.
Fórmula de la integral para \( \ln x \):
\[ \int \ln x \, dx = x \ln x - x + c \]