Los pasos para calcular la integral de la función logaritmo natural : \( \displaystyle \int \ln x \; dx \) se presentan a continuación.
Primero reescribimos la integral dada como
\[ \int \ln x \; dx = \int 1 \cdot \ln x \; dx \]
Sean \( u = x \) y \( v = \ln x \), cuyas primeras derivadas son \( u' = 1 \) y \( v' = \dfrac{1}{x} \)
Nuestra integral tiene la forma
\[ \int \ln x \; dx = \int u' \cdot v \; dx \]
Usamos el método de integración por partes para escribir
\[ \int \ln x \; dx = u v - \int u \cdot v' \; dx \]
Sustituimos \( u, v \) y \( v' \) para obtener
\[ = x \ln x - \int x \cdot \dfrac {1}{x} \; dx \]
Simplificamos el término de la derecha
\[ = x \ln x - \int dx \]
y evaluamos la integral
\[ = x \ln x - x + c \]
donde \( c \) es la constante de integración.
Por lo tanto
\[ \displaystyle \int \ln x \; dx = x \ln x - x + c \]