Para una función \( f \) que es continua en el intervalo \( [a,b] \), la longitud de la curva \( y = f(x) \) desde \( a \) hasta \( b \) viene dada por [1] [2] [3]
\[ \int_{a}^{b} \; \sqrt{1+\left( \dfrac{df}{dx} \right)^2 }\; dx \]
Ejemplo 1
Encuentra la longitud del arco de la parábola \( y = 0.1 x^2 + 2 \) entre los puntos \( (-15,24.5) \) y \( (10,12) \).
Solución al Ejemplo 1
Primero calculamos la derivada
\[ \dfrac{dy}{dx} = 0.2 x \]
Usa la fórmula para la longitud de arco dada anteriormente
\[ L = \int_{-15}^{10} \; \sqrt{1+\left( 0.2 x \right)^2 }\; dx \]
Usa sustitución trigonométrica \( \quad \tan u = 0.2 x \)
Toma la derivada de ambos lados de la sustitución anterior
\[ \sec ^2 (x) \dfrac{du}{dx} = 0 .2 \) lo que da \( dx = 5 \sec ^2 u du \]
Resolviendo \( \quad \tan u = 0.2 x \) para \( u \) da \( u = \arctan (0.2 x) \)
Límites de integración después de la sustitución
\( u_1 = \arctan (0.2(-15)) \approx -1.24904 \) cuando \( x = - 15 \) el límite inferior de la integral
\( u_2 = \arctan (0.2(10)) \approx 1.10714 \) cuando \( x = 10 \) el límite superior de la integral
\[ L = 5 \int_{\arctan (0.2(-15))}^{\arctan (0.2(10))} \; \sqrt{1+\tan^2 u }\; dx \]
Usa la identidad \( \sqrt{1 + \tan^2 u } = |\sec u| \) y realiza la sustitución \( \quad dx = 5 \sec ^2 u du \) para obtener
\[ 5 \int_{\arctan (0.2(-15))}^{\arctan (0.2(10))} \; |\sec u| \sec ^2u \; du \]
Para \( u \) en el intervalo \( \left[ \arctan (0.2(-15)) , \arctan (0.2(10)) \right] \), \( \sec u \) es positiva. Por lo tanto, la integral se convierte en
\[ L = 5 \int_{\arctan (0.2(-15))}^{\arctan (0.2(10))} \; \sec ^3u \; du \]
Usa la integral indefinida de \( \sec ^3u \) dada por
\[ \int \sec^3 x \; dx = \dfrac{1}{2} \left( \tan x \; \sec x + \ln |\tan x + \sec x| \right) + c \]
para evaluar la longitud de arco
\[ L = \left[ \dfrac{1}{2} \left( \sec u \tan u + \ln| \sec u + \tan u| \right) \right]_{\arctan (0.2(-15))}^{\arctan (0.2(10))} \\\\ \approx 43.05 \]
Ejemplo 2
Encuentra la longitud del arco a lo largo de la curva \( f(x) = \ln(\sin x) \) entre los puntos \( (\dfrac{\pi}{4}, f(\dfrac{\pi}{4})) \) y \( (\dfrac{\pi}{2}, f(\dfrac{\pi}{2})) \).
).png)
Solución al Ejemplo 2
Calcula la derivada
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\ln(\sin x)}{dx} \\ = \cot x\]
Aplicando la fórmula para la longitud de arco
\[ L = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \; \sqrt{1+( \cot x)^2 } \; dx \]
Usa la identidad trigonométrica \( 1+(\cot x)^2 = \csc^2 x \), \( L \) se convierte en
\[ L = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \; |\csc x| \; dx \]
\( \csc x \) es positiva en el intervalo cerrado de integración \( [ \dfrac{\pi}{4} , \dfrac{\pi}{2} ] \) y por lo tanto \( |\csc x| = \csc x \) y \( L \) se convierte en
\[ L = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \; \csc x \; dx \]
Usa la integral común de \( \csc x \) : \( \displaystyle \int \csc x \; dx = \ln \left|\tan \left(\dfrac{x}{2}\right)\right|+C \) para escribir
\[ L = \left[ \ln \left|\tan \left(\dfrac{x}{2}\right)\right| \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \approx 0.88137 \]
Ejemplo 3
Encuentra la longitud del arco a lo largo del semicírculo dado por \( f(x) = 2 + \sqrt {9 - (x+2)^2} \) entre los puntos \( (-4, f(-4) ) \) y \( (0, f(0) ) \).
Solución al Ejemplo 3
Calcula la derivada
\[ \dfrac{df}{dx} = -\dfrac{x+2}{\sqrt{9 - (x+2)^2}} \]
Aplicando la fórmula para la longitud de arco
\[ L = \int_{-4}^{0} \; \sqrt{1+( -\dfrac{x+2}{\sqrt{9 - (x+2)^2}} )^2 } \; dx \]
La integral anterior es un desafío y por lo tanto se utilizó el software Symbolab para aproximar la integral anterior numéricamente.
\[ L \approx 4.29 \]