Longitud de una curva

Fórmulas, derivaciones, ejemplos resueltos con soluciones desplegables y referencias

Fórmula de la longitud de una curva

Para una función \( f \) que es continua y derivable en el intervalo \( [a, b] \), la longitud de la curva \( y = f(x) \) desde \( a \) hasta \( b \) está dada por [1] [2] [3]:

\[ L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left( \dfrac{df}{dx} \right)^2} \, dx \]
Longitud de arco
Fig.1 - Longitud de una curva desde el punto \( (a, f(a)) \) hasta el punto \( (b, f(b)) \)

Ejemplos y soluciones

Haz clic en cada ejemplo para ver su solución detallada paso a paso.

Ejemplo 1: Halla la longitud del arco de la parábola \( y = 0.1x^2 + 2 \) entre los puntos \( (-15, 24.5) \) y \( (10, 12) \).
Longitud de arco de una parábola
Fig.2 - Longitud de arco de una parábola

Solución al ejemplo 1:

Primero calculamos la derivada:

\[ \dfrac{dy}{dx} = 0.2x \]

Utiliza la fórmula para la longitud de arco:

\[ L = \int_{-15}^{10} \sqrt{1 + (0.2x)^2} \, dx \]

Utiliza la sustitución trigonométrica \( \tan u = 0.2x \). Tomando la derivada de ambos lados se obtiene:

\[ \sec^2 u \, du = 0.2 \, dx \implies dx = 5\sec^2 u \, du \]

Despejando \( u \) de \( \tan u = 0.2x \) se obtiene \( u = \arctan(0.2x) \). Los límites de integración después de la sustitución son:

  • \( u_1 = \arctan(0.2(-15)) = \arctan(-3) \approx -1.24904 \) (cuando \( x = -15 \))
  • \( u_2 = \arctan(0.2(10)) = \arctan(2) \approx 1.10714 \) (cuando \( x = 10 \))

Sustituyendo en la integral:

\[ L = 5 \int_{-1.24904}^{1.10714} \sqrt{1 + \tan^2 u} \sec^2 u \, du \]

Usando la identidad \( \sqrt{1 + \tan^2 u} = |\sec u| \):

\[ L = 5 \int_{-1.24904}^{1.10714} |\sec u| \sec^2 u \, du \]

Dado que \( \sec u > 0 \) en el intervalo \( [-1.24904, 1.10714] \), \( |\sec u| = \sec u \), lo que resulta en:

\[ L = 5 \int_{-1.24904}^{1.10714} \sec^3 u \, du \]

Usando la integral de \( \sec^3 u \):

\[ L = \left[ \dfrac{5}{2} \left( \sec u \tan u + \ln|\sec u + \tan u| \right) \right]_{-1.24904}^{1.10714} \approx 43.05 \]
Ejemplo 2: Halla la longitud del arco a lo largo de la curva \( f(x) = \ln(\sin x) \) entre los puntos \( \left(\dfrac{\pi}{4}, f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right) \) y \( \left(\dfrac{\pi}{2}, f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\right) \).
Longitud de arco a lo largo de la curva y = ln(sin(x))
Fig.3 - Longitud de arco a lo largo de la curva \( y = \ln(\sin x) \)

Solución al ejemplo 2:

Calcula la derivada:

\[ \dfrac{df}{dx} = \dfrac{d}{dx}[\ln(\sin x)] = \dfrac{\cos x}{\sin x} = \cot x \]

Aplicando la fórmula para la longitud de arco:

\[ L = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1 + (\cot x)^2} \, dx \]

Utiliza la identidad trigonométrica \( 1 + \cot^2 x = \csc^2 x \):

\[ L = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\csc^2 x} \, dx = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} |\csc x| \, dx \]

Dado que \( \csc x > 0 \) en el intervalo cerrado \( \left[\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{2}\right] \), \( |\csc x| = \csc x \):

\[ L = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \csc x \, dx \]

Usando la fórmula de integral estándar \( \displaystyle \int \csc x \, dx = \ln\left|\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)\right| + C \):

\[ L = \left[ \ln\left|\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)\right| \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = \ln(1) - \ln\left(\tan\left(\dfrac{\pi}{8}\right)\right) \approx 0 - (-0.88137) \approx 0.88137 \]
Ejemplo 3: Halla la longitud del arco a lo largo de la semicircunferencia dada por \( f(x) = 2 + \sqrt{9 - (x+2)^2} \) entre los puntos \( (-4, f(-4)) \) y \( (0, f(0)) \).
Longitud de arco a lo largo de una semicircunferencia
Fig.4 - Longitud de arco a lo largo de la semicircunferencia \( y = 2 + \sqrt{9 - (x+2)^2} \)

Solución al ejemplo 3:

Calcula la derivada utilizando la regla de la cadena:

\[ \dfrac{df}{dx} = \dfrac{-2(x+2)}{2\sqrt{9 - (x+2)^2}} = -\dfrac{x+2}{\sqrt{9 - (x+2)^2}} \]

Aplicando la fórmula de longitud de arco:

\[ L = \int_{-4}^{0} \sqrt{1 + \left( -\dfrac{x+2}{\sqrt{9 - (x+2)^2}} \right)^2} \, dx \]

Simplifica el integrando:

\[ 1 + \dfrac{(x+2)^2}{9 - (x+2)^2} = \dfrac{9 - (x+2)^2 + (x+2)^2}{9 - (x+2)^2} = \dfrac{9}{9 - (x+2)^2} \]

Tomando la raíz cuadrada:

\[ L = \int_{-4}^{0} \dfrac{3}{\sqrt{9 - (x+2)^2}} \, dx \]

Usando la sustitución \( u = x+2 \), \( du = dx \). Cuando \( x = -4 \), \( u = -2 \); cuando \( x = 0 \), \( u = 2 \):

\[ L = \int_{-2}^{2} \dfrac{3}{\sqrt{9 - u^2}} \, du = 3 \left[ \arcsin\left(\dfrac{u}{3}\right) \right]_{-2}^{2} \] \[ = 3 \left( \arcsin\left(\dfrac{2}{3}\right) - \arcsin\left(-\dfrac{2}{3}\right) \right) = 6 \arcsin\left(\dfrac{2}{3}\right) \approx 4.38 \]

Más referencias y enlaces

  1. University Calculus - Early Transcendentals - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13: 978-0134995540
  2. Calculus - Gilbert Strang - MIT - ISBN-13: 978-0961408824
  3. Calculus - Early Transcendentals - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8