Se presenta un tutorial, con ejemplos y soluciones detalladas, sobre el uso de las reglas de las integrales indefinidas en cálculo. También se incluye un conjunto de preguntas con soluciones.
En lo que sigue, \( C \) es una constante de integración y puede tomar cualquier valor.
1 - Integral de una función potencia: \( f(x) = x^n \)
\[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c \]Ejemplo: Evalúa la integral \( \displaystyle \int x^5 \, dx \)
Solución:
\[ \int x^5 \, dx = \dfrac{x^{5 + 1}}{5 + 1} + c = \dfrac{x^6}{6} + c \]2 - Integral de una función \( f \) multiplicada por una constante \( k \): \( k f(x) \)
\[ \int k f(x) \, dx = k \int f(x) \, dx \]Ejemplo: Evalúa la integral \( \displaystyle \int 5 \sin(x) \, dx \)
Solución:
Según la regla anterior:
\[ \int 5 \sin(x) \, dx = 5 \int \sin(x) \, dx \]\( \displaystyle \int \sin(x) \, dx \) está dada por la fórmula 2.1 en la tabla de fórmulas de integrales, por lo tanto:
\[ \int 5 \sin(x) \, dx = -5 \cos x + C \]3 - Integral de la suma de funciones
\[ \int (f(x) + g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx \]Ejemplo: Evalúa la integral \( \displaystyle \int (x + e^x) \, dx \)
Solución:
Según la propiedad anterior:
\[ \int (x + e^x) \, dx = \int x \, dx + \int e^x \, dx \]\( \int x \, dx \) está dada por 1.3 y \( \displaystyle \int e^x \, dx \) por 4.1 en la tabla de fórmulas de integrales, por lo tanto:
\[ \int (x + e^x) \, dx = \dfrac{x^2}{2} + e^x + c \]4 - Integral de la diferencia de funciones
\[ \int (f(x) - g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx - \int g(x) \, dx \]Ejemplo: Evalúa la integral \( \displaystyle \int \left(2 - \frac{1}{x}\right) \, dx \)
Solución:
Según la propiedad anterior:
\[ \int \left(2 - \frac{1}{x}\right) dx = \int 2 \, dx - \int \frac{1}{x} \, dx \]\( \int 2 \, dx \) está dada por 1.2 y \( \int \frac{1}{x} \, dx \) por 1.4 en la tabla de fórmulas de integrales, por lo tanto:
\[ \int \left(2 - \frac{1}{x}\right) dx = 2x - \ln|x| + c \]5 - Integración por sustitución
\[ \int f(u) \dfrac{du}{dx} \, dx = \int f(u) \, du \]Ejemplo: Evalúa la integral \( \displaystyle \int (x^2 - 1)^{20} \cdot 2x \, dx \)
Solución:
Sea \( u = x^2 - 1 \), por lo tanto \( \dfrac{du}{dx} = 2x \) y la integral dada se puede escribir como:
\[ \int (x^2 - 1)^{20} \cdot 2x \, dx = \int u^{20} \dfrac{du}{dx} \, dx = \int u^{20} \, du \]Lo cual se evalúa como:
\[ = \dfrac{u^{21}}{21} + c \]Sustituye de nuevo \( u = x^2 - 1 \):
\[ = \dfrac{(x^2 - 1)^{21}}{21} + c \]6 - Integración por partes
\[ \int f(x) g'(x) \, dx = f(x)g(x) - \int f'(x) g(x) \, dx \]Ejemplo: Evalúa la integral \( \displaystyle \int x \cos x \, dx \)
Solución:
Sea \( f(x) = x \) y \( g'(x) = \cos x \), lo que da \( f'(x) = 1 \) y \( g(x) = \sin x \).
A partir de la fórmula de integración por partes anterior:
\[ \int x \cos x \, dx = x \sin x - \int 1 \cdot \sin x \, dx \] \[ = x \sin x + \cos x + c \]Más preguntas con soluciones
Utiliza la tabla de fórmulas de integrales y las reglas anteriores para evaluar las siguientes integrales. [Nota que es posible que necesites usar más de una de las reglas anteriores para una sola integral].
Haz clic en cada pregunta para ver su solución detallada paso a paso.
Pregunta 1: Evalúa \( \displaystyle \int \frac{1}{2} \ln(x) \, dx \)
Solución:
Saca la constante \( \frac{1}{2} \) fuera de la integral:
\[ \int \frac{1}{2} \ln(x) \, dx = \frac{1}{2} \int \ln(x) \, dx \]Utiliza la integración por partes. Sea \( u = \ln(x) \) y \( dv = dx \), entonces \( du = \frac{1}{x} \, dx \) y \( v = x \):
\[ \int u \, dv = u v - \int v \, du \] \[ \int \ln(x) \, dx = x\ln(x) - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x\ln(x) - \int 1 \, dx = x\ln(x) - x + C \]Por lo tanto:
\[ \int \frac{1}{2} \ln(x) \, dx = \frac{1}{2}\bigl(x\ln(x) - x\big) + C \]Pregunta 2: Evalúa \( \displaystyle \int (\sin x + x^5) \, dx \)
Solución:
Utiliza la regla 3 (integral de una suma) para obtener:
\[ \int (\sin x + x^5) \, dx = \int \sin x \, dx + \int x^5 \, dx \]Utilizamos la fórmula 2.1 en la tabla de fórmulas de integrales para evaluar \( \int \sin x \, dx \) y la regla 1 anterior para evaluar \( \int x^5 \, dx \). Por lo tanto:
\[ \int (\sin x + x^5) \, dx = -\cos x + \frac{x^6}{6} + c \]Pregunta 3: Evalúa \( \displaystyle \int (\sinh x - 3) \, dx \)
Solución:
Utiliza la regla 4 (integral de una diferencia) para obtener:
\[ \int (\sinh x - 3) \, dx = \int \sinh x \, dx - \int 3 \, dx \]Utilizamos la fórmula 7.1 en la tabla de fórmulas de integrales para evaluar \( \int \sinh x \, dx \) y la integral de la constante \( 3 \) para obtener:
\[ \int (\sinh x - 3) \, dx = \cosh x - 3x + c \]Pregunta 4: Evalúa \( \displaystyle \int x \sin x \, dx \)
Solución:
El integrando es el producto de dos funciones \( x \) y \( \sin x \). Utilizamos la integración por partes (regla 6):
Sea \( f(x) = x \) y \( g'(x) = \sin x \), por lo tanto \( f'(x) = 1 \) y \( g(x) = -\cos x \).
Luego:
\[ \int x \sin x \, dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) \, dx = -x \cos x - \int 1 \cdot (-\cos x) \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx \]Utilizando la fórmula 2.2 en la tabla de fórmulas de integrales para evaluar \( \int \cos x \, dx \), obtenemos:
\[ \int x \sin x \, dx = -x \cos x + \sin x + c \]Pregunta 5: Evalúa \( \displaystyle \int \sin^{10}(x) \cos(x) \, dx \)
Solución:
Sea \( u = \sin x \), por lo tanto \( du = \cos x \, dx \). Así, la integral dada se puede escribir como:
\[ \int \sin^{10} x \cos x \, dx = \int u^{10} \, du \]Utiliza la regla 1 para escribir:
\[ \int u^{10} \, du = \frac{u^{11}}{11} + c \]Sustituye \( u = \sin x \) para obtener:
\[ \int \sin^{10} x \cos x \, dx = \frac{1}{11} \sin^{11} x + c \]