Reglas de Integrales con Ejemplos

Un tutorial, con ejemplos y soluciones detalladas, sobre el uso de las reglas de las integrales indefinidas en cálculo. También se incluye un conjunto de preguntas con soluciones.

En lo que sigue, C es una constante de integración y puede tomar cualquier valor.


1 - Integral de una función potencia: \( f(x) = x^n \)

\[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c \]
Ejemplo: Evaluar la integral \[ \int x^5 dx \] Solución: \[ \int x^5 dx = \dfrac{x^{5 + 1}}{ 5 + 1} + c = \dfrac{x^6}{6} + c \]


2 - Integral de una función \( f \) multiplicada por una constante \( k \): \( k f(x) \)

\[ \int k f(x) \, dx = k \int f(x) \, dx \]
Ejemplo: Evaluar la integral \[ \int 5 \sin x dx \] Solución:
De acuerdo con la regla anterior
\[ \int 5 \sin (x) dx = 5 \int \sin(x) dx \]
\( \displaystyle \int \sin(x) dx \) está dada por 2.1 en la tabla de fórmulas de integrales, por lo tanto
\[ \displaystyle \int 5 \sin(x) dx = - 5 \cos x + C \]

3 - Integral de la Suma de Funciones.

\[ \int (f(x) + g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx \] Ejemplo: Evaluar la integral \[ \int (x + e^x) dx \] Solución:
Según la propiedad anterior \[ \displaystyle \int (x + e^x) dx = \int x \; dx + \int e^x \; dx \] \( \int x \; dx \) está dada por 1.3 y \( \displaystyle \int e^x \; dx \) por 4.1 en la tabla de fórmulas de integrales, por lo tanto \[ \int (x + e^x) \; dx = \dfrac{x^2}{2} + e^x + c \]


4 - Integral de la Diferencia de Funciones.

\[ \int (f(x) - g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx - \int g(x) \, dx \]
Ejemplo: Evaluar la integral \[ \int (2 - 1/x) \; dx \]
Solución:
De acuerdo con la propiedad anterior \[ \displaystyle \int (2 - 1/x) dx = \int 2 \; dx - \int (1/x) \; dx \]
\( \int 2 \; dx \) está dada por 1.2 y \( \int (1/x) \; dx \) por 1.4 en la tabla de fórmulas de integrales, por lo tanto \[ \int (2 - 1/x) \; dx = 2x - \ln |x| + c \]

5 - Integración por Sustitución.

\[ \int f(u) \frac{du}{dx} \, dx = \int f(u) \, du \]
Ejemplo: Evaluar la integral \[ \int (x^2 - 1)^{20} \; 2x \; dx \]
Solución:
Sea \( u = x^2 - 1 \), por lo tanto \( du/dx = 2x \) y la integral dada se puede escribir como \[ \int(x^2 - 1)^{20} \; 2x \; dx = \int u^{20} (du/dx) dx = \int u^{20} du \] que se evalúa como \[ = \dfrac{u^{21}}{21} + c \] Sustituyendo de nuevo \[ = \dfrac{(x^2 - 1)^{21}}{21} + c \]

6 - Integración por Partes.

\[ \int f(x) g'(x) \, dx = f(x)g(x) - \int f'(x) g(x) \, dx \]
Ejemplo: Evaluar la integral \[ \int \; x \; \cos x \; dx \]
Solución:
Sean \( f(x) = x \) y \( g'(x) = \cos x \), lo que da \[ f'(x) = 1 \quad \text{y} \quad g(x) = \sin x \] De la fórmula de integración por partes anterior, \[ \int \; x \cos x \; dx = x \sin x - \int 1 \sin x dx \] \[ = x \sin x + \cos x + c \]

Más Preguntas con Soluciones

Utiliza la tabla de fórmulas de integrales y las reglas anteriores para evaluar las siguientes integrales. [Nota: es posible que necesites usar más de una de las reglas anteriores para una misma integral].

  1. \( \displaystyle \int (1 / 2) \ln (x) dx \)
  2. \( \displaystyle \int (\sin (x) + x^5 ) \; dx \)
  3. \( \displaystyle \int (\sinh (x) - 3) \; dx \)
  4. \( \displaystyle \int x \sin (x) \; dx \)
  5. \( \displaystyle \int \sin^{10}(x) \; \cos(x) dx \)

Soluciones a las Preguntas Anteriores


  1. Sacar la constante \( \frac{1}{2} \) fuera de la integral. \[ \int \frac{1}{2} \ln(x) dx = \frac{1}{2} \int \ln(x) dx \] Usar integración por partes. Sean \[ u = \ln(x) \quad \text{y} \quad dv = dx \] Entonces \[ du = \frac{1}{x} dx \quad \text{y} \quad v = x \] \[ \int u dv = uv - \int vdu \] Sustituir: \[ \int \ln(x) dx = x\ln(x) - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x\ln(x) - \int 1 dx \] \[ \int \ln(x) dx = x\ln(x) - x + C \] \[ \int \frac{1}{2} \ln(x) dx = \frac{1}{2}\big(x\ln(x) - x\big) + C \]

  2. Usar la regla 3 (integral de una suma) para obtener:

    \[ \int (\sin x + x^5) \, dx = \int \sin x \, dx + \int x^5 \, dx \]

    Usamos la fórmula 2.1 en la tabla de fórmulas de integrales para evaluar \( \int \sin x \, dx \) y la regla 1 anterior para evaluar \( \int x^5 \, dx \). Por lo tanto:

    \[ \int (\sin x + x^5) \, dx = -\cos x + \frac{x^6}{6} + c \]

  3. Usar la regla 4 (integral de una diferencia) para obtener:

    \[ \int (\sinh x - 3) \, dx = \int \sinh x \, dx - \int 3 \, dx \]

    Usamos la fórmula 7.1 en la tabla de fórmulas de integrales para evaluar \( \int \sinh x \, dx \) y la integral de la constante 3 para obtener:

    \[ \int (\sinh x - 3) \, dx = \cosh x - 3x + c \]

  4. El integrando es el producto de dos funciones \( x \) y \( \sin x \). Usamos integración por partes (regla 6) de la siguiente manera:

    Sea \( f(x) = x \), \( g'(x) = \sin x \), y por lo tanto \( g(x) = -\cos x \).

    Entonces:

    \[ \int x \sin x \, dx = f(x) g(x) - \int f'(x) g(x) \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx \]

    Usando la fórmula 2.2 en la tabla de fórmulas de integrales para evaluar \( \int \cos x \, dx \), obtenemos:

    \[ \int x \sin x \, dx = - x \cos x + \sin x + c \]

  5. Sea \( u = \sin x \) y por lo tanto \( du = \cos x \, dx \). De ahí que la integral dada se pueda escribir como:

    \[ \int \sin^{10} x \cos x \, dx = \int u^{10} \, du \]

    Usar la regla 1 para escribir:

    \[ \int u^{10} \, du = \frac{u^{11}}{11} + c \]

    Sustituir \( u = \sin x \) para obtener:

    \[ \int \sin^{10} x \cos x \, dx = \frac{1}{11} \sin^{11} x + c \]

Más Referencias y Enlaces

Tabla de Fórmulas de Integrales
Integrales y sus aplicaciones en cálculo.
Evaluar integrales.
Integración por Sustitución.