Tutorial para hallar integrales que involucran el producto de potencias de \( \sin(x) \) y \( \cos(x) \) con una de las dos teniendo una potencia impar. Se incluyen ejemplos y ejercicios con soluciones.
En lo que sigue, \( C \) representa la constante de integración.
Ejemplos con soluciones detalladas
Haz clic en cada ejemplo para ver su solución detallada paso a paso.
Ejemplo 1: Evalúa \( \displaystyle \int \sin^3(x) \cos^2(x) \, dx \)
Solución al ejemplo 1:
La idea principal es reescribir la integral separando el término con la potencia impar en el producto de una potencia par y una potencia simple:
\[ \sin^3(x) = \sin^2(x) \sin(x) \]Por lo tanto, la integral dada se puede escribir como:
\[ \int \sin^3(x) \cos^2(x) \, dx = \int \sin^2(x) \cos^2(x) \sin(x) \, dx \]Ahora utilizamos la identidad pitagórica \( \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) \) y sustituimos:
\[ \int \sin^3(x) \cos^2(x) \, dx = \int (1 - \cos^2(x)) \cos^2(x) \sin(x) \, dx \]Sea \( u = \cos(x) \), lo que da \( \dfrac{du}{dx} = -\sin(x) \) o \( -du = \sin(x) \, dx \). Sustituyendo esto en la integral:
\[ = -\int (1 - u^2) u^2 \, du \]Desarrolla y calcula la integral:
\[ = \int (u^4 - u^2) \, du = \dfrac{1}{5}u^5 - \dfrac{1}{3}u^3 + C \]Sustituye de nuevo \( u = \cos(x) \):
\[ \int \sin^3(x) \cos^2(x) \, dx = \dfrac{1}{5}\cos^5(x) - \dfrac{1}{3}\cos^3(x) + C \]Ejemplo 2: Evalúa \( \displaystyle \int \sin^{12}(x) \cos^5(x) \, dx \)
Solución al ejemplo 2:
Reescribe \( \cos^5(x) \) como \( \cos^4(x) \cos(x) \):
\[ \int \sin^{12}(x) \cos^5(x) \, dx = \int \sin^{12}(x) \cos^4(x) \cos(x) \, dx \]Utiliza la identidad \( \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) \) para reescribir \( \cos^4(x) \) en términos de potencias de \( \sin(x) \):
\[ = \int \sin^{12}(x) (1 - \sin^2(x))^2 \cos(x) \, dx \]Sea \( u = \sin(x) \), lo que da \( du = \cos(x) \, dx \). Sustituyendo en la integral:
\[ = \int u^{12} (1 - u^2)^2 \, du \]Desarrolla el integrando:
\[ = \int u^{12} (1 - 2u^2 + u^4) \, du = \int (u^{12} - 2u^{14} + u^{16}) \, du \]Integra término por término:
\[ = \dfrac{1}{13}u^{13} - \dfrac{2}{15}u^{15} + \dfrac{1}{17}u^{17} + C \]Sustituye de nuevo \( u = \sin(x) \):
\[ \int \sin^{12}(x) \cos^5(x) \, dx = \dfrac{1}{17}\sin^{17}(x) - \dfrac{2}{15}\sin^{15}(x) + \dfrac{1}{13}\sin^{13}(x) + C \]Ejercicios
Evalúa las siguientes integrales. Haz clic en cada ejercicio para revelar la solución paso a paso.
Ejercicio 1: Evalúa \( \displaystyle \int \cos^3(x) \sin^2(x) \, dx \)
Solución:
Reescribe \( \cos^3(x) = \cos^2(x)\cos(x) = (1 - \sin^2(x))\cos(x) \):
\[ \int \cos^3(x) \sin^2(x) \, dx = \int (1 - \sin^2(x))\sin^2(x) \cos(x) \, dx \]Sea \( u = \sin(x) \), \( du = \cos(x) \, dx \):
\[ = \int (1 - u^2)u^2 \, du = \int (u^2 - u^4) \, du = \dfrac{1}{3}u^3 - \dfrac{1}{5}u^5 + C \]Sustituye de nuevo \( u = \sin(x) \):
\[ = \dfrac{1}{3}\sin^3(x) - \dfrac{1}{5}\sin^5(x) + C \]Ejercicio 2: Evalúa \( \displaystyle \int \sin^3(x) \cos^{14}(x) \, dx \)
Solución:
Reescribe \( \sin^3(x) = \sin^2(x)\sin(x) = (1 - \cos^2(x))\sin(x) \):
\[ \int \sin^3(x) \cos^{14}(x) \, dx = \int (1 - \cos^2(x))\cos^{14}(x) \sin(x) \, dx \]Sea \( u = \cos(x) \), \( du = -\sin(x) \, dx \implies -du = \sin(x) \, dx \):
\[ = -\int (1 - u^2)u^{14} \, du = \int (u^{16} - u^{14}) \, du = \dfrac{1}{17}u^{17} - \dfrac{1}{15}u^{15} + C \]Sustituye de nuevo \( u = \cos(x) \):
\[ = \dfrac{1}{17}\cos^{17}(x) - \dfrac{1}{15}\cos^{15}(x) + C \]