La primera derivada se utiliza para minimizar el área superficial de una pirámide con base cuadrada.
En lo que sigue, \( C \) representa la constante de integración cuando corresponda.
Problema
A continuación se muestra una pirámide con base cuadrada de longitud de lado \( x \) y altura \( h \). Halla el valor de \( x \) para que el volumen de la pirámide sea \( 1000 \; \text{cm}^3 \) y su área superficial sea mínima.
Mostrar solución al problema
Este problema se ha resuelto gráficamente. Aquí lo resolvemos de forma más rigurosa utilizando la primera derivada.
Primero utilizamos la fórmula para el volumen de una pirámide para escribir la ecuación:
\[ \frac{1}{3} h x^2 = 1000 \]La pirámide consta de 4 caras triangulares y 1 base cuadrada. El área de una cara triangular está dada por:
\[ s = \frac{1}{2} H x \]La altura inclinada \( H \) está dada por el teorema de Pitágoras:
\[ H = \sqrt{h^2 + \left(\frac{x}{2}\right)^2} \]El área superficial total \( S \) de la pirámide es la suma de las áreas de los 4 triángulos y el área de la base \( x^2 \):
\[ S = 4\left(\frac{1}{2} H x\right) + x^2 = 2x \sqrt{h^2 + \left(\frac{x}{2}\right)^2} + x^2 \]Resuelve la ecuación del volumen \( \dfrac{1}{3} h x^2 = 1000 \) para \( h \):
\[ h = \frac{3000}{x^2} \]Sustituye \( h \) en la fórmula del área superficial para expresar \( S \) como función de \( x \) únicamente:
\[ S(x) = 2x \sqrt{\left(\frac{3000}{x^2}\right)^2 + \frac{x^2}{4}} + x^2 = 2x \sqrt{\frac{9 \times 10^6}{x^4} + \frac{x^2}{4}} + x^2 \] \[ S(x) = 2x \sqrt{\frac{36 \times 10^6 + x^6}{4x^4}} + x^2 = 2x \cdot \frac{\sqrt{36 \times 10^6 + x^6}}{2x^2} + x^2 \] \[ S(x) = \frac{\sqrt{36 \times 10^6 + x^6}}{x} + x^2 \]Sea la constante \( k = 36 \times 10^6 \) y deriva \( S \) con respecto a \( x \):
\[ \frac{dS}{dx} = \frac{x \cdot \frac{1}{2}(k + x^6)^{-1/2}(6x^5) - \sqrt{k + x^6}}{x^2} + 2x \] \[ \frac{dS}{dx} = \frac{\frac{3x^6}{\sqrt{k + x^6}} - \sqrt{k + x^6}}{x^2} + 2x = \frac{3x^6 - (k + x^6)}{x^2 \sqrt{k + x^6}} + 2x = \frac{2x^6 - k}{x^2 \sqrt{k + x^6}} + 2x \]
Para \( x > 0 \), \( \dfrac{dS}{dx} \) tiene un único cero, siendo negativa a la izquierda y positiva a la derecha. Esto confirma que \( S \) tiene un valor mínimo ubicado al establecer \( \dfrac{dS}{dx} = 0 \):
\[ \frac{2x^6 - k}{x^2 \sqrt{k + x^6}} + 2x = 0 \implies \frac{2x^6 - k}{x^2} = -2x \sqrt{k + x^6} \]Sea \( u = x^3 \) (por lo que \( u^2 = x^6 \)) y sustituye:
\[ \frac{2u^2 - k}{u^{2/3}} \quad \text{o simplificando directamente:} \] \[ 2x^6 - k = -2x^3 \sqrt{k + x^6} \implies 2u^2 - k = -2u \sqrt{k + u^2} \]Eleva al cuadrado ambos lados:
\[ (2u^2 - k)^2 = 4u^2(k + u^2) \implies 4u^4 + k^2 - 4ku^2 = 4ku^2 + 4u^4 \] \[ k^2 - 4ku^2 = 4ku^2 \implies k^2 = 8ku^2 \implies u^2 = \frac{k}{8} \]Dado que \( u > 0 \):
\[ u = \sqrt{\frac{k}{8}} \implies x^3 = \sqrt{\frac{k}{8}} \implies x = \left(\frac{k}{8}\right)^{1/6} \]Sustituye \( k = 36 \times 10^6 \):
\[ x = \left(\frac{36 \times 10^6}{8}\right)^{1/6} = (4,500,000)^{1/6} \approx 16.19 \; \text{cm} \](Nota: Redondeado a 1 cifra decimal como \( 16.2 \; \text{cm} \).)
