La primera derivada se utiliza para minimizar el área superficial de una pirámide con base cuadrada.
A continuación se muestra una pirámide con base cuadrada, longitud de lado \(x\), y altura \(h\). Encuentra el valor de \(x\) para que el volumen de la pirámide sea de 1000 cm3 y su área superficial sea mínima.
Solución al Problema 1:
Este problema se ha resuelto gráficamente. Aquí lo resolvemos de forma más rigurosa utilizando la primera derivada.
Primero usamos la fórmula del volumen de una pirámide para escribir la ecuación:
\[ \frac{1}{3} h x^2 = 1000\]
La pirámide está compuesta por 4 triángulos y un cuadrado (la base).
El área de un triángulo está dada por:
\( s = \dfrac{1}{2} H x \)
La altura oblicua \( H \) se obtiene mediante:
\( H = \sqrt{h^2 + \left(\frac{x}{2}\right)^2} \)
El área superficial \(S\) de la pirámide es la suma de las 4 áreas de los 4 triángulos y el área de la base \( x^2 \).
\(S = 4 (\dfrac{1}{2} H x) + x^2\)
\(= 2x \sqrt{h^2 + \left(\frac{x}{2}\right)^2} + x^2\)
Resuelve la ecuación \(\dfrac{1}{3} h x^2 = 1000\) para \(h\) y obtén:
\(h = \dfrac{3000}{x^2}\)
Sustituye \(h\) en la fórmula del área superficial por \(\dfrac{3000}{x^2}\) para obtener una fórmula para \(S\) en términos de \(x\) (con \(x\) positivo) y reescríbela de la siguiente manera:
\( S = 2x \sqrt{\left(\dfrac{3000}{x^2}\right)^2 + \left(\frac{x}{2}\right)^2} + x^2 \)
Reescribe \( S \) como:
\(S = \sqrt{(36 \times 10^6 + x^6)} \cdot \dfrac{1}{x} + x^2\)
\( \quad = \dfrac{\sqrt{36 \times 10^6 + x^6}}{x} + x^2\)
Sea la constante \(k = 36 \times 10^6\) y diferencia \(S\) con respecto a \(x\).
\(\dfrac{dS}{dx} = \left[\dfrac{3x^6(k + x^6)^{-1/2} - (k + x^6)^{1/2}}{x^2}\right] + 2x\)
Multiplica el numerador y el denominador por \((k + x^6)^{1/2}\) y simplifica.
\(\dfrac{dS}{dx} = \dfrac{2x^6 - k}{x^2(k + x^6)^{1/2}} + 2x\)
A continuación se muestra una gráfica de \(\dfrac{dS}{dx}\). Para \(x > 0\), \(\dfrac{dS}{dx}\) tiene un cero y es negativa a la izquierda de ese cero y positiva a la derecha. Esto significa que \(S\) tiene un valor mínimo que se puede localizar igualando \(\dfrac{dS}{dx} = 0\) y resolviendo para \(x\).
\[\frac{2x^6 - k}{x^2(k + x^6)^{1/2}} + 2x = 0\]
Reescribe como:
\[\frac{2x^6 - k}{x^2} = -2x(k + x^6)^{1/2}\]
Sea \(u = x^3\) y \(u^2 = x^6\) y reescribe la ecuación anterior de la siguiente forma:
\[2u^2 - k = -2u(k + u^2)^{1/2}\]
Eleva al cuadrado ambos lados:
\[4u^4 + k^2 - 4ku^2 = 4u^2(k + u^2)\]
Simplifica para obtener:
\[k^2 - 4ku^2 = 4ku^2\]
Resuelve para \(u\): (\(u\) es positiva ya que \(x\) es positivo)
\[u = \sqrt{\frac{k}{8}}\]
Finalmente, resuelve para \(x\) y obtén:
\[x = \left(\sqrt{\frac{k}{8}}\right)^{1/3}\]
Sustituye \(k\) por su valor y calcula \(x\):
\[x = 12.8 \text{ cm}\] (redondeado a 1 decimal).
A continuación se muestran las gráficas del área superficial y su derivada.
