A continuación se presentan problemas de cálculo de tasa de cambio y sus soluciones detalladas.
En lo que sigue, \( C \) representa la constante de integración cuando corresponda.
Ejemplos resueltos
Problema 1
Un tanque de agua rectangular (ver figura abajo) se está llenando a una tasa constante de \( 20 \) litros/segundo. La base del tanque tiene dimensiones \( w = 1 \) metro y \( L = 2 \) metros. ¿Cuál es la tasa de cambio de la altura del agua en el tanque? (Expresa la respuesta en cm/s).
Mostrar solución al problema 1
El volumen \( V \) de agua en el tanque está dado por:
\[ V = w \times L \times H \]Sabemos que la tasa de cambio del volumen es \( \dfrac{dV}{dt} = 20 \) litros/s. Debemos hallar la tasa de cambio de la altura \( H \), que es \( \dfrac{dH}{dt} \). Como \( V \) y \( H \) son funciones del tiempo \( t \), derivamos ambos lados de la fórmula del volumen con respecto a \( t \):
\[ \frac{dV}{dt} = w \times L \times \frac{dH}{dt} \]Nota que \( w \) y \( L \) no cambian con el tiempo y, por lo tanto, se tratan como constantes durante la derivación.
Despejando \( \dfrac{dH}{dt} \):
\[ \frac{dH}{dt} = \frac{\dfrac{dV}{dt}}{w \times L} \]Convertimos las unidades a centímetros y centímetros cúbicos:
- \( 1 \) litro = \( 1 \) decímetro cúbico = \( 1000 \; \text{cm}^3 \)
- \( 1 \) metro = \( 100 \; \text{cm} \)
Sustituyendo los valores:
\[ \frac{dH}{dt} = \frac{20 \times 1000 \; \text{cm}^3/\text{s}}{100 \; \text{cm} \times 200 \; \text{cm}} = \frac{20,000}{20,000} = 1 \; \text{cm/s} \]Problema 2
Un avión vuela en línea recta y a una altura constante de \( 5000 \) metros (ver figura abajo). El ángulo de elevación del avión desde un punto fijo de observación es \( a \). La velocidad del avión es de \( 500 \) km/h. ¿Cuál es la tasa de cambio del ángulo \( a \) cuando este es de \( 25^\circ \)? (Expresa la respuesta en grados/segundo y redondea a una cifra decimal).
Mostrar solución al problema 2
El avión vuela horizontalmente a una tasa de \( \dfrac{dx}{dt} = 500 \; \text{km/h} \). A partir de la trigonometría, relacionamos el ángulo \( a \), la altura \( h \) y la distancia horizontal \( x \):
\[ \tan a = \frac{h}{x} \]Como \( a \) y \( x \) son funciones del tiempo \( t \), derivamos ambos lados con respecto a \( t \):
\[ \frac{d(\tan a)}{dt} = \frac{d\left(\frac{h}{x}\right)}{dt} \]Utilizando la regla de la cadena:
\[ \frac{d(\tan a)}{dt} = (\sec^2 a) \frac{da}{dt} \] \[ \frac{d\left(\frac{h}{x}\right)}{dt} = h \left(-\frac{1}{x^2}\right) \frac{dx}{dt} \quad (\text{como } h \text{ es constante}) \]Igualando ambas derivadas:
\[ (\sec^2 a) \frac{da}{dt} = -\frac{h}{x^2} \frac{dx}{dt} \implies \frac{da}{dt} = \frac{-\frac{h}{x^2} \frac{dx}{dt}}{\sec^2 a} \]A partir de \( \tan a = \dfrac{h}{x} \), tenemos que \( x = \dfrac{h}{\tan a} \). Sustituyendo \( x^2 = \dfrac{h^2}{\tan^2 a} \):
\[ \frac{da}{dt} = \frac{-\frac{h \tan^2 a}{h^2} \frac{dx}{dt}}{\sec^2 a} = -\frac{\tan^2 a}{h} \frac{dx}{dt} \cdot \cos^2 a = -\frac{\sin^2 a}{h} \frac{dx}{dt} \]Utilizando conversiones de unidades (\( 1 \; \text{km} = 1000 \; \text{m} \), \( 1 \; \text{hora} = 3600 \; \text{s} \)), la velocidad \( \dfrac{dx}{dt} = 500 \; \text{km/h} = \dfrac{500,000 \; \text{m}}{3600 \; \text{s}} \), la altura \( h = 5000 \; \text{m} \) y \( a = 25^\circ \):
\[ \frac{da}{dt} = -\frac{\sin^2(25^\circ)}{5000} \left(\frac{500,000}{3600}\right) \approx -0.005 \; \text{radianes/s} \]Convirtiendo radianes a grados (\( 180/\pi \)):
\[ \frac{da}{dt} = -0.005 \times \frac{180}{\pi} \approx -0.2865 \approx -0.3 \; \text{grados/s} \]Problema 3
Si dos resistencias con resistencias \( R_1 \) y \( R_2 \) se conectan en paralelo como se muestra en la figura de abajo, su comportamiento eléctrico es equivalente a una resistencia de resistencia \( R \) tal que:
\[ \frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \]Si \( R_1 \) cambia con el tiempo a una tasa \( \dfrac{dR_1}{dt} \) y \( R_2 \) es constante, expresa la tasa de cambio \( \dfrac{dR}{dt} \) en términos de \( \dfrac{dR_1}{dt} \), \( R_1 \) y \( R_2 \).
Mostrar solución al problema 3
Derivando ambos lados de la ecuación de resistencia en paralelo con respecto al tiempo \( t \) (notando que \( R_2 \) es constante):
\[ -\frac{1}{R^2} \frac{dR}{dt} = -\frac{1}{R_1^2} \frac{dR_1}{dt} \]Reorganizando para \( \dfrac{dR}{dt} \):
\[ \frac{dR}{dt} = \left(\frac{R}{R_1}\right)^2 \frac{dR_1}{dt} \]A partir de \( \dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} \), podemos expresar \( R \) de forma explícita:
\[ R = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} \]Sustituyendo \( R \) en la ecuación de la derivada:
\[ \frac{dR}{dt} = \left(\frac{\frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}}{R_1}\right)^2 \frac{dR_1}{dt} = \left(\frac{R_2}{R_1 + R_2}\right)^2 \frac{dR_1}{dt} \]Ejercicios y soluciones
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Halla una fórmula para la tasa de cambio \( \dfrac{dV}{dt} \) del volumen de un globo que se está inflando de tal manera que su radio \( R \) aumenta a una tasa igual a \( \dfrac{dR}{dt} \).
Mostrar solución al ejercicio 1
\[ V = \frac{4}{3}\pi R^3 \implies \frac{dV}{dt} = \frac{4}{3}\pi (3R^2) \frac{dR}{dt} = 4\pi R^2 \frac{dR}{dt} \] -
Halla una fórmula para la tasa de cambio \( \dfrac{dA}{dt} \) del área \( A \) de un cuadrado cuya longitud de lado \( x \) en centímetros cambia a una tasa igual a \( 2 \; \text{cm/s} \).
Mostrar solución al ejercicio 2
\[ A = x^2 \implies \frac{dA}{dt} = 2x \frac{dx}{dt} = 2x(2) = 4x \; \text{cm}^2/\text{s} \] -
Dos automóviles comienzan a moverse desde el mismo punto en dos direcciones que forman un ángulo de \( 90^\circ \) a velocidades constantes \( s_1 \) y \( s_2 \). Halla una fórmula para la tasa de cambio de la distancia \( D \) entre los dos automóviles.
Mostrar solución al ejercicio 3
\[ D^2 = x^2 + y^2 \] Derivando implícitamente con respecto a \( t \): \[ 2D \frac{dD}{dt} = 2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} \implies \frac{dD}{dt} = \frac{x s_1 + y s_2}{D} \] Dado que \( x = s_1 t \), \( y = s_2 t \) y \( D = \sqrt{(s_1 t)^2 + (s_2 t)^2} = t\sqrt{s_1^2 + s_2^2} \): \[ \frac{dD}{dt} = \sqrt{s_1^2 + s_2^2} \]