Se presenta una calculadora del método de Newton paso a paso.
El método de Newton para aproximar la solución de una ecuación \( f(x) = 0 \) es un proceso iterativo numérico expresado como
\( x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)} {f'(x_n) }\) para \( n = 0,1,2,3,... \)
y por lo tanto, comenzando con un valor inicial \( x_0 \) , calculamos \( x_1 \) usando el proceso anterior, luego usamos \( x_1 \) para calcular \( x_2 \) y así sucesivamente.
El proceso se continúa hasta obtener la convergencia de la solución.
Ejemplo
Sea \( \quad x^3 = \ln(x) + 2 \quad \) la ecuación a resolver.
Esta ecuación no se puede resolver analíticamente y, por lo tanto, podemos usar el método de Newton para encontrar una solución aproximada.
El primer paso es escribir la ecuación con el lado derecho igual a cero de la siguiente manera.
\( x^3 - \ln(x) - 2 = 0 \)
y luego escribir \( f(x) = x^3 - \ln(x) - 2 \)
que debe ingresar en la calculadora a continuación.
También tiene la opción de seleccionar un valor inicial \( x_0 \) cercano a la solución aproximada y el número de iteraciones necesarias.
Nota que
1) para ecuaciones con muchas soluciones como \( \sin(x) + 1/x \), todo depende del valor inicial \( x_0 \) que asigne. Generalmente dará la solución aproximada más cercana a \( X_0 \).
2) el método falla si en algún punto del proceso de iteración, \( x_n \) está fuera del dominio de \( f(x) \) o \( f'(x) \) o si \( f'(x) = 0 \). Puede ser posible simplemente cambiar el valor inicial \( x_0 \) para obtener una aproximación a la solución.
3) Puede graficar \( f(x) \) para tener un mejor valor inicial \( x_0 \) gráfico para usar en la calculadora.
1 - Ingrese y edite la función \( f(x)\) y haga clic en "Ingresar Función", luego verifique lo que ha ingresado. Ingrese el valor inicial \( x_0 \) que debe estar lo más cerca posible de la solución buscada.
2 - Haga clic en "Calcular".
3 - El resultado incluye la derivada \( f'(x) \) y los valores numéricos de \( x_n \), \( f(x_n) \) y \( f'(x_n) \).
Nota que
1) los cinco operadores utilizados son: + (más), - (menos), / (división), ^ (potencia) y * (multiplicación). (ejemplo: f(x) = x^3 - 1/x. (más notas sobre edición de funciones se encuentran abajo)
2) el logaritmo natural \( \ln(x) \) se ingresa como log(x), la exponencial natural \( e^x \) como exp(x).
3) una función \( f(x) \) elevada a una potencia \(n\) se ingresa como: \( (f(x))^n \). Ejemplo: \( \sin^2(2x-1) \) se ingresa como (sin(2x-1))^2.
4) las fracciones se ingresan como números decimales. Ejemplo 1/2 se ingresa como 0.5.
Notas: Al editar funciones, utilice lo siguiente:
1 - Los cinco operadores utilizados son: + (más), - (menos), / (división), ^ (potencia) y * (multiplicación). (ejemplo: f(x) = x^2-1/(2x)-log(x) )
2 - La función raíz cuadrada se escribe como (sqrt). (ejemplo: sqrt(x^2-1) para \( \sqrt {x^2 - 1} \) )
3 - La función exponencial se escribe como exp(x). (Ejemplo: exp(x+2) para \( e^{x+2} \) )
4 - La función logaritmo base e se escribe como log(x). (Ejemplo: log(x^2-2) para \( \ln(x^2 - 2 \) )
Aquí hay algunos ejemplos de funciones que puede copiar y pegar para practicar:
sqrt(x^3+1) - log(x) - 2 exp(x^2+1) + 2 x - 4 x^2+log(2*x + 2) (x+2)^2(x^2+1)-1