Derivada de tan(x) con Ejemplos y Regla de la Cadena

Aquí aprendemos cómo encontrar la derivada de tan(x) paso a paso. Usando la identidad trigonométrica \( \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} \), junto con las derivadas conocidas de \( \sin x \) y \( \cos x \), aplicamos la regla del cociente para derivar la fórmula \( \dfrac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x \). También extendemos este resultado a funciones compuestas de la forma \( \tan(u(x)) \) usando la regla de la cadena, y trabajamos con varios ejemplos para reforzar la comprensión.

Cálculo de la Derivada de tan x

Una identidad trigonométrica que relaciona \( \tan x \), \( \sin x \) y \( \cos x \) está dada por

\[ \tan x = \dfrac { \sin x }{ \cos x } \]

Una forma de encontrar la derivada de \( \tan x \) es usar la regla del cociente de diferenciación; por lo tanto

\[ {\dfrac {d}{dx} \tan x = \dfrac {d}{dx} (\dfrac{\sin x }{\cos x}) = \dfrac{{ (\dfrac {d}{dx}\sin x) }{ \cos x } - \sin x (\dfrac {d}{dx} \cos x) }{\cos^2 x}} \]

Usa las fórmulas para las derivadas de las funciones trigonométricas \( \sin x \) y \( \cos x \) dadas por \( \dfrac {d}{dx}\sin x = \cos x \) y \( \dfrac {d}{dx}\cos x = - \sin x \) y sustituye para obtener

\[ {\dfrac {d}{dx} \tan x = (\dfrac{{ \cos x \cos x } - \sin x (-\sin x) }{\cos^2 x}} \]

Simplifica

\[ = \dfrac{ \cos^2 x + \sin^2 x } {\cos^2 x} = \dfrac{ 1 }{\cos^2 x} = \sec^2 x \]

Conclusión
\[ \displaystyle {\dfrac {d}{dx} \tan x = \sec^2 x} \]

Gráfica de tan x y su Derivada

Las gráficas de \( \tan(x) \) y su derivada se muestran a continuación.

Gráfica de tan x y su derivada

Derivada de la Función Compuesta tan (u(x))

Ahora tenemos una función compuesta que es una función (tan) de otra función (u). Usa la regla de la cadena de diferenciación para escribir



\( \displaystyle \dfrac{d}{dx} \tan (u(x)) = (\dfrac{d}{du} \tan u) (\dfrac{d}{dx} u ) \)

Simplifica



\( = \sec^2 u \dfrac{d}{dx} u \)

Conclusión



\[ \displaystyle \dfrac{d}{dx} \tan (u(x)) = \sec^2 u \dfrac{d}{dx} u \]

Ejemplo 1
Encuentra la derivada de las funciones tangente compuestas

  1. \( f(x) = \tan (2x -1) \)
  2. \( g(x) = \tan (\cos(x)) \)
  3. \( h(x) = \tan (\dfrac{x-1}{x+2}) \)

Solución al Ejemplo 1


  1. Sea \( u(x) = 2x - 1 \) y por lo tanto \( \dfrac{d}{dx} u = \dfrac{d}{dx} (2x - 1) = 2 \) y aplica la regla

    \( \displaystyle \dfrac{d}{dx} f(x) = \sec^2 u \dfrac{d}{dx} u = \sec^2 (2x-1) \times 2 = 2 \sec^2 (2x-1) \)


  2. Sea \( u(x) = \cos x \) y por lo tanto \( \dfrac{d}{dx} u = \dfrac{d}{dx} \cos x = - \sin x \) y aplica la regla

    \( \displaystyle \dfrac{d}{dx} g(x) = \sec^2 u \dfrac{d}{dx} u = \sec^2 (\cos x) \times (- \sin x) = - \sin x \sec^2 (\cos x) \)


  3. Sea \( u(x) = \dfrac{x-1}{x+2} \) y por lo tanto \( \dfrac{d}{dx} u = \dfrac{3}{(x+2)^2} \) y aplica la regla obtenida anteriormente

    \( \displaystyle \dfrac{d}{dx} h(x) = \sec^2 u \dfrac{d}{dx} u = \sec^2 (\dfrac{x-1}{x+2}) \times \dfrac{3}{(x+2)^2} = \dfrac {3 \sec^2 (\dfrac{x-1}{x+2})}{(x+2)^2} \)


Más Referencias y Enlaces

Reglas de Diferenciación de Funciones en Cálculo.
Identidades y Fórmulas Trigonométricas.
Derivadas de las Funciones Trigonométricas.
Regla de la Cadena de Diferenciación en Cálculo.