Esta página presenta la derivada de la función logaritmo natural ln(x) utilizando la definición de la derivada. También cubrimos la derivada de funciones compuestas de la forma \( \ln(u(x)) \) y proporcionamos ejemplos detallados.
Demostración de la Derivada de ln(x) Usando la Definición
La derivada de una función \( f \) se define como:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \]Sea \( f(x) = \ln(x) \). Entonces:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\ln(x+h) - \ln(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{\ln\left(\dfrac{x+h}{x}\right)}{h} \]Utilizando la propiedad de potencias de los logaritmos, escribimos:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \ln\left(1+\dfrac{h}{x}\right)^{\dfrac{1}{h}} \]Sustituimos \( y = \dfrac{h}{x} \), de modo que \( h = yx \) y \( \lim_{h \to 0} y = 0 \). Entonces:
\[ f'(x) = \lim_{y \to 0} \dfrac{1}{x} \ln\left(1+y\right)^{\dfrac{1}{y}} = \dfrac{1}{x} \ln(e) = \dfrac{1}{x} \]
Fórmula:
\[ \dfrac{d}{dx} \ln(x) = \dfrac{1}{x} \]
Derivada de la Función Compuesta \( y = \ln(u(x)) \)
Utilizando la regla de la cadena:
Fórmula de la Regla de la Cadena:
\[ \dfrac{d}{dx} \ln(u(x)) = \dfrac{1}{u} \dfrac{du}{dx} \]
Ejemplos con Soluciones
Ejemplos Resueltos: Derivación de Funciones ln Compuestas
Encuentre las derivadas de las siguientes funciones:
- \( f(x) = \ln\left(\dfrac{x^2}{x-2}\right) \)
- \( g(x) = \ln\left(\sqrt{x^3+1}\right) \)
- \( h(x) = \ln(x^2 + 2x - 5) \)
Soluciones:
- Sea \( u(x) = \dfrac{x^2}{x-2} \), entonces \( u'(x) = \dfrac{2x(x-2) - x^2(1)}{(x-2)^2} = \dfrac{x^2-4x}{(x-2)^2} \). \[ f'(x) = \dfrac{1}{u} u' = \dfrac{1}{\dfrac{x^2}{x-2}} \cdot \dfrac{x^2-4x}{(x-2)^2} = \dfrac{x-4}{x(x-2)} \]
- Sea \( u(x) = \sqrt{x^3+1} \), entonces \( u'(x) = \dfrac{3x^2}{2\sqrt{x^3+1}} \). \[ g'(x) = \dfrac{1}{u} u' = \dfrac{1}{\sqrt{x^3+1}} \cdot \dfrac{3x^2}{2\sqrt{x^3+1}} = \dfrac{3x^2}{2(x^3+1)} \]
- Sea \( u(x) = x^2+2x-5 \), entonces \( u'(x) = 2x+2 \). \[ h'(x) = \dfrac{1}{u} u' = \dfrac{2x+2}{x^2+2x-5} \]