El límite de \(\arctan(x)\) cuando \(x\) tiende a infinito se examina utilizando dos enfoques diferentes. El primero se basa en el triángulo rectángulo, y el segundo se basa en la definición de la función inversa \(\arctan(x)\).
Enfoque de \(\arctan(x)\) en un Triángulo Rectángulo
Sea \(\alpha = \arctan(x)\), lo que da \(\tan \alpha = x = \dfrac{x}{1}\) y se utiliza la definición de tan en un triángulo rectángulo para visualizar \(x = \tan \alpha\).
Fig. 1 - \(\alpha = \arctan(x)\) en un Triángulo Rectángulo
Enfoque Geométrico
A medida que \(x\) aumenta indefinidamente, geométricamente \(\alpha\) se acerca a \(\dfrac{\pi}{2}\) y por lo tanto escribimos el límite:
\[
\lim_{x \to \infty} \alpha = \dfrac{\pi}{2}
\]
Enfoque Algebraico
También podemos usar \(\sin(\alpha)\) dado por:
\[
\sin(\alpha) = \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}
\]
Calcular el límite:
\[
\lim_{x \to \infty} \sin(\alpha) = \lim_{x \to \infty} \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} = 1
\]
lo que da:
\[
\lim_{x \to \infty} \sin(\alpha) = \sin\dfrac{\pi}{2}
\]
Usando el límite de funciones compuestas:
\[
\lim_{x \to \infty} \sin(\alpha) = \sin\Big(\lim_{x \to \infty} \alpha\Big)
\]
Dado que \(\dfrac{\pi}{2}\) es una constante, podemos escribir:
\[
\dfrac{\pi}{2} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\pi}{2}
\]
de modo que:
\[
\lim_{x \to \infty} \sin(\alpha) = \sin\Big(\lim_{x \to \infty} \alpha\Big) = \sin\Big(\lim_{x \to \infty} \dfrac{\pi}{2}\Big)
\]
Finalmente, usando \(\alpha = \arctan(x)\):
\[
\lim_{x \to \infty} \alpha = \lim_{x \to \infty} \arctan(x) = \dfrac{\pi}{2}
\]
Enfoque de las Gráficas de Tan(x) y Arctan(x)
A continuación se muestra la gráfica de la función \(y = \tan x\) (en azul) en el intervalo \(\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)\), con \(x = \dfrac{\pi}{2}\) y \(x = -\dfrac{\pi}{2}\) siendo asíntotas verticales (línea azul discontinua). Es una función uno a uno y por lo tanto tiene la función inversa \(y = \arctan(x)\) como se muestra a continuación (en rojo).
Las asíntotas verticales de \(y = \tan x\) se convierten en asíntotas horizontales (línea roja discontinua) de la función inversa \(y = \arctan(x)\), que por definición puede escribirse usando límites de la siguiente manera:
\[
\lim_{x \to \infty} \arctan(x) = \dfrac{\pi}{2}, \quad
\lim_{x \to -\infty} \arctan(x) = -\dfrac{\pi}{2}
\]
Fig. 2 - Gráfica de \( \tan(x) \) y \( \arctan(x) \)
