El límite de \( \arctan(x) \) cuando \( x \) tiende a infinito se examina utilizando dos enfoques diferentes. El primero se basa en el triángulo rectángulo y el segundo se basa en la definición de la función inversa \( \arctan(x) \).
En lo que sigue, \( C \) representa la constante de integración cuando corresponda.
\( \arctan(x) \) en un enfoque de triángulo rectángulo
Sea \( \alpha = \arctan(x) \), lo que da \( \tan \alpha = x = \dfrac{x}{1} \) y utiliza la definición de tan en un triángulo rectángulo para visualizar \( x = \tan \alpha \).
Enfoque geométrico
A medida que \( x \) aumenta indefinidamente, geométricamente \( \alpha \) se aproxima a \( \dfrac{\pi}{2} \) y por lo tanto escribimos el límite:
\[ \lim_{x \to \infty} \alpha = \dfrac{\pi}{2} \]Enfoque algebraico
También podemos utilizar \( \sin(\alpha) \) dado por:
\[ \sin(\alpha) = \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} \]Calcula el límite:
\[ \lim_{x \to \infty} \sin(\alpha) = \lim_{x \to \infty} \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} = 1 \]lo que da:
\[ \lim_{x \to \infty} \sin(\alpha) = \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) \]Utilizando el límite de funciones compuestas:
\[ \lim_{x \to \infty} \sin(\alpha) = \sin\left(\lim_{x \to \infty} \alpha\right) \]Dado que \( \dfrac{\pi}{2} \) es una constante, podemos escribir:
\[ \dfrac{\pi}{2} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\pi}{2} \]de modo que:
\[ \lim_{x \to \infty} \sin(\alpha) = \sin\left(\lim_{x \to \infty} \alpha\right) = \sin\left(\lim_{x \to \infty} \dfrac{\pi}{2}\right) \]Finalmente, utilizando \( \alpha = \arctan(x) \):
\[ \lim_{x \to \infty} \alpha = \lim_{x \to \infty} \arctan(x) = \dfrac{\pi}{2} \]Enfoque mediante las gráficas de Tan(x) y Arctan(x)
A continuación se muestra el gráfico de la función \( y = \tan x \) (en azul) en el intervalo \( \left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right) \), siendo \( x = \dfrac{\pi}{2} \) y \( x = -\dfrac{\pi}{2} \) asíntotas verticales (línea azul discontinua). Es una función uno a uno y por lo tanto tiene la función inversa \( y = \arctan(x) \) como se muestra a continuación (en rojo).
Las asíntotas verticales de \( y = \tan x \) se convierten en asíntotas horizontales (línea roja discontinua) de la función inversa \( y = \arctan(x) \), las cuales por definición se pueden escribir usando límites de la siguiente manera:
\[ \lim_{x \to \infty} \arctan(x) = \dfrac{\pi}{2}, \quad \lim_{x \to -\infty} \arctan(x) = -\dfrac{\pi}{2} \]