Calcular límites de funciones trigonométricas

Multipliquemos el numerador y el denominador por \( 1 + \cos x \) y escribamos:

\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x} \cdot \dfrac{1 + \cos x}{1 + \cos x} \]

El numerador pasa a ser igual a \( 1 - \cos^2 x = \sin^2 x \), por lo tanto:

\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin^2 x}{x} \cdot \dfrac{1}{1 + \cos x} \]

El límite se puede escribir como:

\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x} = \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin x}{x} \right) \cdot \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin x}{1 + \cos x} \right) = (1) \left(\dfrac{0}{2}\right) = 0 \]

Hemos utilizado el teorema: \( \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1 \).

Sea \( t = 4x \). Cuando \( x \) se aproxima a 0, \( t \) se aproxima a 0, de modo que:

\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 4x}{4x} = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t}{t} \]

Ahora utilizamos el teorema \( \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t}{t} = 1 \) para hallar el límite:

\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 4x}{4x} = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t}{t} = 1 \]

Sea \( t = 6x \), o \( x = t / 6 \). Cuando \( x \) se aproxima a 0, \( t \) se aproxima a 0, de modo que:

\[ \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin 6x}{5x} = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t}{5t/6} \] \[ = \lim_{t \to 0} \left(\dfrac{6}{5}\right) \dfrac{\sin t}{t} \] \[ = \left(\dfrac{6}{5}\right) \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t}{t} \] \[ = \left(\dfrac{6}{5}\right) \cdot 1 = \dfrac{6}{5} \]

Si aplicamos el teorema del límite del cociente de dos funciones, obtendremos la forma indeterminada \( \dfrac{0}{0} \). Necesitamos encontrar otra manera. Para \( x = -3 \), el denominador es igual a cero y por lo tanto puede factorizarse, por lo que:

\[ \lim_{x \to -3} \dfrac{\sin (x + 3)}{x^2 + 7x + 12} = \lim_{x \to -3} \dfrac{\sin (x + 3)}{(x + 3)(x + 4)} \]

Sea \( t = x + 3 \), o \( x = t - 3 \). A medida que \( x \) se aproxima a \( -3 \), \( t \) se aproxima a 0:

\[ = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t}{t(t + 1)} \]

Ahora aplicamos el teorema del límite del producto de dos funciones:

\[ = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t}{t} \cdot \lim_{t \to 0} \dfrac{1}{t + 1} \] \[ = 1 \cdot 1 = 1 \]

Hallaremos el límite cuando \( x \) se aproxima a 0 por la izquierda y cuando \( x \) se aproxima a 0 por la derecha. Para \( x < 0 \), \( |x| = -x \):

\[ \lim_{x \to 0^-} \dfrac{\sin|x|}{x} = \lim_{x \to 0^-} \dfrac{\sin(-x)}{x} = -\lim_{x \to 0^-} \dfrac{\sin x}{x} = -1 \]

Para \( x > 0 \), \( |x| = x \):

\[ \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\sin|x|}{x} = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\sin x}{x} = 1 \]

Los límites por la izquierda y por la derecha tienen valores diferentes, por lo tanto el límite anterior no existe:

\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin|x|}{x} \quad \text{NO EXISTE} \]

Primero utilizamos la identidad trigonométrica \( \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} \):

\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\tan x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\dfrac{\sin x}{\cos x}} = \lim_{x \to 0} \dfrac{x \cos x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos x}{\dfrac{\sin x}{x}} \]

Ahora utilizamos el teorema del límite del cociente:

\[ = \dfrac{\lim_{x \to 0} \cos x}{\lim_{x \to 0} \left(\dfrac{\sin x}{x}\right)} = \dfrac{1}{1} = 1 \]

Primero utilizamos la identidad trigonométrica \( \csc x = \dfrac{1}{\sin x} \):

\[ \lim_{x \to 0} x \csc x = \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{\dfrac{\sin x}{x}} \]

Se utiliza el límite del cociente:

\[ = \dfrac{1}{1} = 1 \]