Se presentan varios ejemplos relacionados con los límites de funciones trigonométricas, con soluciones detalladas y ejercicios con respuestas.
Encuentra el límite \[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} \]
Solución al Ejemplo 1:
Multipliquemos el numerador y el denominador por \( 1 + \cos x \) y escribamos \[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} \cdot \frac{1 + \cos x}{1 + \cos x} \] El numerador se convierte en \( 1 - \cos^2 x = \sin^2 x \), por lo tanto \[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{x} \cdot \frac{1}{1 + \cos x} \] El límite se puede escribir como \[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right) \cdot \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin x}{1 + \cos x} \right) = (1)\left(\frac{0}{2}\right) = 0 \] Hemos utilizado el teorema: \(\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1\).
Encuentra el límite \[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 4 x}{4 x} \]
Solución al Ejemplo 2:
Sea \( t = 4 x \). Cuando \( x \) se aproxima a 0, \(t\) se aproxima a 0, por lo que \[ \lim_{x \to 0} \dfrac {\sin 4 x}{4 x} = \lim_{t \to 0} \dfrac {\sin t}{t} \] Ahora usamos el teorema: \( \lim_{t \to 0} \dfrac {\sin t}{t} = 1 \) para encontrar el límite \[ \lim_{x \to 0} \dfrac {\sin 4 x}{4 x} = \lim_{t \to 0} \dfrac {\sin t}{t} = 1 \]
Encuentra el límite \[ \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin 6 x}{5 x} \]
Solución al Ejemplo 3:
Sea \( t = 6 x \) o \( x = t / 6 \). Cuando \( x \) se aproxima a 0, \( t \) se aproxima a 0, por lo que \[ \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin 6 x}{5 x} = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t}{5 t/6} \] \[ = \lim_{t \to 0} (6 / 5) \dfrac {\sin t}{t} \] \[ = (6 / 5) \lim_{t \to 0} \dfrac {\sin t}{t} \] \[ = (6 / 5) \cdot 1 = 6 / 5 \]
Encuentra el límite \[ \lim_{x \to -3} \dfrac{\sin (x + 3)}{x^2 +7x + 12} \]
Solución al Ejemplo 4:
Si aplicamos el teorema del límite del cociente de dos funciones, obtendremos la forma indeterminada \( \dfrac{0}{0} \). Necesitamos encontrar otra forma. Para \( x = -3 \), el denominador es igual a cero y, por lo tanto, se puede factorizar, por consiguiente \[ \lim_{x \to -3} \dfrac{\sin (x + 3)}{x^2 +7x + 12} \] \[ = \lim_{x \to -3} \dfrac{\sin (x + 3)}{(x + 3)(x + 4)} \] Sea \( t = x + 3 \) o \( x = t - 3 \). A medida que \( x \) se aproxima a \( -3 \), \( t \) se aproxima a 0. \[ \lim_{x \to -3} \dfrac{\sin (x + 3)}{x^2+7x + 12} \] \[ = \lim_{t \to 0} \dfrac {\sin t} { t (t + 1) }\] Ahora aplicamos el teorema del límite del producto de dos funciones. \[ = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t}{t} \cdot \lim_{t \to 0} \dfrac{1}{t+1} \] \[ = 1 \cdot 1 = 1 \]
Encuentra el límite \[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin|x|}{x} \]
Solución al Ejemplo 5:
Encontraremos el límite a medida que $x$ se aproxima a 0 desde la izquierda y a medida que \( x \) se aproxima a $0$ desde la derecha. Para \( x \lt 0 \), \( | x | = -x \) \[ \lim_{x \to 0^-} \dfrac{\sin|x|}{x} \] \[ = \lim_{x \to 0^-} \dfrac{\sin (- x)}{x} \] \[ = - \lim_{x \to 0^-} \dfrac{\sin x}{x} \] \[ = -1 \] Para \( x \gt 0 \), \( | x | = x \) \[ \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\sin | x |}{x} \] \[ \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\sin x }{x} \] \[ = 1 \] Los límites desde la izquierda y desde la derecha tienen valores diferentes, por lo tanto, el límite anterior no existe. \[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin | x |}{x} \quad \text{NO EXISTE} \]
Encuentra el límite \[ \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\tan x} \]
Solución al Ejemplo 6:
Primero usamos la identidad trigonométrica \( \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} \) \[ \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\tan x} \] \[ = \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\dfrac{\sin x}{\cos x}} \] \[ = \lim_{x \to 0} \dfrac{ x \cos x}{\sin x} \] \[ = \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos x}{\sin x / x} \] Ahora usamos el teorema del límite del cociente. \[ = \dfrac{\lim_{x \to 0} \cos x}{\lim_{x \to 0} (\sin x / x)} = 1 / 1 = 1 \]
Encuentra el límite \[ \lim_{x \to 0} x \csc x \]
Solución al Ejemplo 7:
Primero usamos la identidad trigonométrica \( \csc x = 1 / \sin x \) \[ \lim_{x \to 0} x \csc x \] \[ = \lim_{x \to 0} x / \sin x \] \[ = \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{\sin x / x} \] Se utiliza el límite del cociente. \[ = 1 / 1 = 1 \]
Encuentra los límites
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