Ajuste Lineal por Mínimos Cuadrados

¿Qué es el Ajuste Lineal por Mínimos Cuadrados?

Sean (x1, y1), (x2, y2)... (xN, yN) puntos de datos experimentales como se muestra en el diagrama de dispersión a continuación y supongamos que queremos predecir la variable dependiente y para diferentes valores de la variable independiente x usando un modelo lineal de la forma

y = a x + b


Diagrama de dispersión de puntos de datos

Figura 1. Diagrama de dispersión

Un procedimiento ampliamente utilizado en matemáticas es minimizar la suma D de los cuadrados de las distancias verticales d1, d2, ... entre el modelo matemático y = f(x) y los puntos experimentales como se muestra en el gráfico a continuación.

Ajuste por mínimos cuadrados de un modelo a los datos

Figura 2. Ajuste por mínimos cuadrados de un modelo a los datos

Sea \( f(x) = a x + b \) el modelo lineal a utilizar. Por lo tanto, las distancias verticales \(d_1, d_2, ... \) vienen dadas por

\( d_1 = |y_1 - (a x_1 + b))| \) , \( d_2 = |y_2 - (a x_2 + b))| \) , ...

La suma D de los cuadrados de las distancias verticales d1, d2, ... puede escribirse como
\[ D = \sum_{i=1}^{N} (y_i - (a x_i + b))^2 \] Los valores de a y b que minimizan D son los valores que hacen que las derivadas parciales de D con respecto a a y b sean simultáneamente iguales a 0. Por lo tanto, primero calculamos las dos derivadas: \[ \dfrac {\partial D}{\partial a} = \sum_{i=1}^{N} - 2 x_i(y_i - a x_i - b) \] \[ \dfrac {\partial D}{\partial b } = \sum_{i=1}^{N} - 2 (y_i - a x_i - b) \] luego resolvemos para \( a \) y \( b \) el sistema de ecuaciones
\begin{cases} \sum_{i=1}^{N} - 2 x_i(y_i - a x_i - b) = 0 \\ \sum_{i=1}^{N} - 2 (y_i - a x_i - b) = 0 \end{cases} Dividimos ambos lados de cada ecuación por -2 y simplificamos para reescribir el sistema de ecuaciones como
\begin{cases} \sum_{i=1}^{N} x_i(y_i - a x_i - b) = 0 \\ \sum_{i=1}^{N} (y_i - a x_i - b) = 0 \end{cases} Es un sistema de ecuaciones con las dos incógnitas a y b. Expandimos las sumas.
\begin{cases} \sum_{i=1}^{N} x_iy_i - a \sum_{i=1}^{N} x_i x_i - \sum_{i=1}^{N} x_i b = 0 \\ \sum_{i=1}^{N} y_i - a\sum_{i=1}^{N} x_i - \sum_{i=1}^{N} b = 0 \end{cases} Ahora reescribimos el sistema de ecuaciones con los términos que contienen a y b a la izquierda y todos los demás términos a la derecha de la siguiente manera
\begin{cases} a \sum_{i=1}^{N} x_i^2 + b \sum_{i=1}^{N} x_i = \sum_{i=1}^{N} x_iy_i \\ a\sum_{i=1}^{N} x_i + b N = \sum_{i=1}^{N} y_i \end{cases} El sistema anterior en forma matricial se escribe como \[ \begin{bmatrix} \sum_{i=1}^{N} x_i^2 & \sum_{i=1}^{N} x_i \\ \sum_{i=1}^{N} x_i & N \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sum_{i=1}^{N} x_iy_i \\ \sum_{i=1}^{N} y_i \end{bmatrix} \] El sistema anterior puede resolverse utilizando la matriz inversa de la siguiente manera \[ \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sum_{i=1}^{N} x_i^2 & \sum_{i=1}^{N} x_i \\ \sum_{i=1}^{N} x_i & N \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} \sum_{i=1}^{N} x_iy_i \\ \sum_{i=1}^{N} y_i \end{bmatrix} \] donde usamos la inversa de una matriz de 2 por 2 para encontrar \[ \begin{bmatrix} \sum_{i=1}^{N} x_i^2 & \sum_{i=1}^{N} x_i \\ \sum_{i=1}^{N} x_i & N \end{bmatrix}^{ -1} = \dfrac{1}{N \sum_{i=1}^{N} x_i^2 - (\sum_{i=1}^{N} x_i)^2} \begin{bmatrix} N & - \sum_{i=1}^{N} x_i \\ - \sum_{i=1}^{N} x_i & \sum_{i=1}^{N} x_i^2 \end{bmatrix} \] Finalmente \[ \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \dfrac{1}{N \sum_{i=1}^{N} x_i^2 - (\sum_{i=1}^{N} x_i)^2} \begin{bmatrix} N & - \sum_{i=1}^{N} x_i \\ - \sum_{i=1}^{N} x_i & \sum_{i=1}^{N} x_i^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sum_{i=1}^{N} x_iy_i \\ \sum_{i=1}^{N} y_i \end{bmatrix} \] donde \[ a = \dfrac{N \sum_{i=1}^{N} x_iy_i - (\sum_{i=1}^{N} x_i)(\sum_{i=1}^{N} y_i)} {N \sum_{i=1}^{N} x_i^2 - (\sum_{i=1}^{N} x_i)^2} \]
\[ b = \dfrac{ - (\sum_{i=1}^{N} x_i) (\sum_{i=1}^{N} x_i y_i) + (\sum_{i=1}^{N} x_i^2)( \sum_{i=1}^{N}y_i) } {N \sum_{i=1}^{N} x_i^2 - (\sum_{i=1}^{N} x_i)^2} \]

Ejemplo de Aplicación del Ajuste Lineal por Mínimos Cuadrados

Encuentre el ajuste lineal por mínimos cuadrados y = a x + b para los puntos de datos experimentales dados por: {(1 , 2) , (3 , 4) , (2 , 6) , (4 , 8) , (5 , 12) , (6 , 13) , (7 , 15)}
Solución
Configure una tabla con las cantidades incluidas en las fórmulas anteriores para a y b.
\(x_i\) \(y_i\) \(x_i\) \(y_i\) \(x_i^{2}\)
1 2 2 1
3 4 12 9
2 6 12 4
4 8 32 16
5 12 60 25
6 13 78 36
7 15 105 49

El número total de puntos es N = 7.

\( \sum_{i=1}^{7} x_i \) = 1 + 3 + 2 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28

\( \sum_{i=1}^{7} y_i \) = 2 + 4 + 6 + 8 + 12 + 13 + 15 = 60

\( \sum_{i=1}^{7} x_iy_i \) = 2 + 12 + 12 + 32 + 60 + 78 + 105 = 301

\( \sum_{i=1}^{7} x_i^2 \) = 1 + 9 + 4 + 16 + 25 + 36 + 49 = 140

Sustituimos para obtener

\( a = \dfrac{7 \times 301 - 28 \times 60} {7 \times 140 - 28^2} = 2.17857142857 \)

\( b = \dfrac{ - 28 \times 301 + 140 \times 60 } {7 \times 140 - 28^2} = -0.14285714285 \)

Calculadora de Ajuste Lineal por Mínimos Cuadrados

Dados puntos experimentales, esta calculadora calcula los coeficientes a y b y, por lo tanto, la ecuación de la recta y = a x + b y la correlación. También traza los puntos experimentales y la ecuación y = a x + b donde a y b vienen dados por las fórmulas anteriores.
Ingrese los puntos experimentales (x1, y1), (x2, y2)... (xN, yN) separados por comas, verifique los datos ingresados y luego presione "Calcular y Trazar". Si tiene datos ya formateados como puntos separados por comas, puede copiarlos y pegarlos en el área de texto de entrada a continuación.
Ingrese Valores de Datos: (x1, y1), (x2, y2)... (xN, yN) =
Lugares Decimales =


    
    
Pase el cursor del mouse en la esquina superior derecha y puede usar la opción de descargar el gráfico en formato png.

Más Referencias y Enlaces