Preguntas sobre Funciones con Soluciones
Esta página presenta un conjunto de preguntas cuidadosamente seleccionadas sobre funciones, cada una seguida de una solución detallada.
Las preguntas cubren conceptos clave como la definición de una función,
dominio y rango,
evaluación,
composición,
y transformaciones de gráficas.
Pregunta 1
¿Es la gráfica que se muestra a continuación la gráfica de una función?
Solución
Mediante la prueba de la línea vertical, una línea vertical en \(x = 0\) intersecta la gráfica en dos puntos.
Por lo tanto, la gráfica no representa una función.
Pregunta 2
¿La ecuación
\[
y^2 + x = 1
\]
representa una función \(y\) en términos de \(x\)?
Solución
Resolviendo para \(y\),
\[
y^2 = 1 - x
\]
\[
y = \pm \sqrt{1 - x}
\]
Para un valor dado de \(x\), hay dos posibles valores de \(y\).
Por lo tanto, la relación no define una función.
Pregunta 3
La función \(f\) está definida por
\[
f(x) = -2x^2 + 6x - 3
\]
Encuentra \(f(-2)\).
Solución
\[
f(-2) = -2(-2)^2 + 6(-2) - 3 = -23
\]
Pregunta 4
La función \(h\) está definida por
\[
h(x) = 3x^2 - 7x - 5
\]
Encuentra \(h(x - 2)\).
Solución
Sustituye \(x - 2\) por \(x\):
\[
h(x - 2) = 3(x - 2)^2 - 7(x - 2) - 5
\]
\[
= 3(x^2 - 4x + 4) - 7x + 14 - 5
\]
\[
= 3x^2 - 19x + 7
\]
Pregunta 5
Las funciones \(f\) y \(g\) están definidas por
\[
f(x) = -7x - 5, \qquad g(x) = 10x - 12
\]
Encuentra \((f + g)(x)\).
Solución
\[
(f + g)(x) = (-7x - 5) + (10x - 12) = 3x - 17
\]
Pregunta 6
\[
f(x) = \frac{1}{x} + 3x, \qquad g(x) = -\frac{1}{x} + 6x - 4
\]
Encuentra \((f + g)(x)\) y su dominio.
Solución
\[
(f + g)(x) = 9x - 4
\]
El dominio excluye \(x = 0\):
\[
(-\infty, 0) \cup (0, \infty)
\]
Pregunta 7
\[
f(x) = x^2 - 2x + 1, \qquad g(x) = (x - 1)(x + 3)
\]
Encuentra \((f / g)(x)\) y su dominio.
Solución
\[
\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{(x - 1)^2}{(x - 1)(x + 3)} = \frac{x - 1}{x + 3}
\]
Restricciones: \(x \neq -3, 1\)
\[
(-\infty,-3)\cup(-3,1)\cup(1,\infty)
\]
Pregunta 8
Encuentra el dominio de
\[
h(x) = \sqrt{x - 2}
\]
Solución
\[
x - 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2
\]
Dominio:
\[
[2, \infty)
\]
Pregunta 9
\[
g(x) = \sqrt{-x^2 + 9} + \frac{1}{x - 1}
\]
Encuentra el dominio.
Solución
\[
-x^2 + 9 \ge 0 \Rightarrow -3 \le x \le 3
\]
\[
x \neq 1
\]
Dominio:
\[
[-3,1) \cup (1,3]
\]
Pregunta 10
\[
f(x) = |x - 2| + 3
\]
Encuentra el rango.
Solución
Para \( x \) en \( \R \)
\[
|x - 2| \ge 0 \Rightarrow |x - 2| + 3 \ge 3 \Rightarrow f(x) \ge 3
\]
Rango:
\[
[3, \infty)
\]
Pregunta 11
\[
f(x) = -x^2 - 10
\]
Encuentra el rango.
Solución
Para \( x \) en \( \R \)
\[
-x^2 \le 0 \Rightarrow -x^2 - 10 \le -10 \Rightarrow f(x) \le -10
\]
Rango:
\[
(-\infty, -10]
\]
Pregunta 12
\[
h(x) = x^2 - 4x + 9
\]
Encuentra el rango.
Solución
Completa el cuadrado y escribe
\[
h(x) = (x - 2)^2 + 5
\]
Para \( x \) en \( \R \)
\[
(x - 2)^2 \ge 0 \Rightarrow (x - 2)^2 + 5 \ge 5 \Rightarrow f(x) \ge 5
\]
Rango:
\[
[5, \infty)
\]
Pregunta 13
\[
g(x) = \sqrt{x - 1}, \qquad h(x) = x^2 + 1
\]
Encuentra \((g \circ h)(x)\).
Solución
\[
(g \circ h)(x) = g(h(x)) = \sqrt{h(x) - 1} = \sqrt{x^2} = |x|
\]
Pregunta 14
Expresa el área \(A \) de un cuadrado como una función de su perímetro \( P \).
Solución
\[
P = 4x \Rightarrow x = \frac{P}{4}
\]
\[
A = x^2 = \frac{P^2}{16}
\]
Ejercicios
- \(f(x) = |x - 6| + x^2 - 1\), encuentra \(f(3)\)
- \(f(x) = ax + b\), encuentra \(f(x+h)-f(x)\)
- Encuentra el dominio de \(\sqrt{-x^2 - x + 2}\)
- Encuentra el rango de \(-\sqrt{-x + 2} - 6\)
- \(f(x)=\sqrt{x},\, g(x)=x^2-2x+1\), encuentra \((f\circ g)(x)\)
Respuestas
- 11
- \(ah\)
- \([-2,1]\)
- \((-\infty,-6]\)
- \(|x-1|\)