Se presenta un conjunto de preguntas sobre el concepto de función en cálculo, junto con soluciones detalladas. Estos ejercicios están diseñados para ayudarte a obtener una comprensión profunda de las funciones, incluyendo su dominio y rango. Si tienes dificultades con alguna pregunta, revisa las definiciones y teoremas relacionados.
Verdadero o Falso: ¿Son iguales las dos funciones \( f \) y \( g \) definidas por \[ f(x) = 3x + 3, \quad x \in \mathbb{R}, \quad \text{y} \quad g(t) = 3t + 3, \quad t > 0 \]?
Respuesta: Falso. Dos funciones son iguales si sus reglas son las mismas y sus dominios son idénticos.
Si las funciones \( f \) y \( g \) tienen dominios \( D_f \) y \( D_g \), respectivamente, entonces el dominio de \( \frac{f}{g} \) es:
Respuesta: (C). No se permite la división por cero.
Verdadero o Falso: La gráfica de \( f(x) \) y \( f(x+2) \) son la misma.
Respuesta: Falso. La gráfica de \( f(x+2) \) es la gráfica de \( f(x) \) desplazada 2 unidades a la izquierda.
Sea \( [a, b] \) el dominio de \( f \). ¿Cuál es el dominio de \( f(x-3) \)?
Respuesta: (D). La gráfica de \( f(x-3) \) está desplazada 3 unidades a la derecha, por lo que los extremos del intervalo se incrementan en 3.
Sea \( (a, +\infty) \) el rango de \( f \). ¿Cuál es el rango de \( f(x)-4 \)?
Respuesta: (A). Dado que \( f(x) > a \), al restar 4 obtenemos \( f(x)-4 > a-4 \), por lo que el rango es \( (a-4, +\infty) \).
Verdadero o Falso: La ecuación \( y = |x| \), con \( y \ge 0 \), representa a \( y \) como una función de \( x \).
Respuesta: Verdadero.
Verdadero o Falso: La ecuación \( x = |y| \), con \( x \ge 0 \), representa a \( y \) como una función de \( x \).
Respuesta: Falso. Despejando \( y \) obtenemos \( y = x \) o \( y = -x \); para un valor de \( x \), hay dos valores posibles de \( y \), por lo tanto no es una función.