Problemas de Álgebra Universitaria Con Respuestas
muestra 3 : Funciones Exponenciales y Logarítmicas

Problemas de álgebra universitaria sobre funciones logarítmicas y exponenciales con respuestas, se presentan junto con sus soluciones al final de la página.

Problemas

  1. Sea la función logarítmica \( f \) definida por \( f(x) = 2\ln(2x - 1) \).
    a) Encuentra el dominio de \( f \).
    b) Encuentra la asíntota vertical de la gráfica de \( f \).

  2. Sea la función exponencial \( h \) definida por \( h(x) = 2 + e^x \).
    a) Encuentra el rango de \( h \).
    b) Encuentra la asíntota horizontal de la gráfica de \( h \).

  3. La población de la ciudad A cambia según la función exponencial
    \( A(t) = 2.9 \times 2^{0.11t} \) (millones)

    y la población de la ciudad B cambia según la función exponencial
    \( B(t) = 1.7 \times 2^{0.17t} \) (millones)

    donde \( t = 0 \) corresponde a 2009.
    a) ¿Qué ciudad tenía una población más grande en 2009?
    b) ¿Cuándo serán iguales los tamaños de las poblaciones de las dos ciudades?

  4. Encuentra la inversa de la función logarítmica \( f \) definida por \( f(x) = 2 \log_5(2x - 8) + 3 \).

  5. Encuentra la inversa de la función exponencial \( h \) definida por \( h(x) = -2 \cdot 3^{-3x + 9} - 4 \).

  6. Resuelve la ecuación logarítmica definida por
    \( \ln(2x - 2) + \ln(4x - 3) = 2 \ln(2x) \)


  7. \( A \), \( B \) y \( k \) en la función exponencial \( f \) dada por
    \( f(x) = Ae^{kx} + B \)

    son constantes. Encuentra \( A \), \( B \) y \( k \) si \( f(0) = 1 \) y \( f(1) = 2 \) y la gráfica de \( f \) tiene una asíntota horizontal \( y = -4 \).

Soluciones a los Problemas Anteriores

    1. resuelve \( 2x - 1 > 0 \) para encontrar el dominio: \( x > \dfrac{1}{2} \)
    2. resuelve \( 2x - 1 = 0 \) para encontrar la asíntota vertical: \( x = \dfrac{1}{2} \)

    1. rango de \( h \): \( (2, +\infty) \)
    2. asíntota horizontal: \( y = 2 \)

    1. \( A(0) = 2.9 \) millones , \( B(0) = 1.7 \) millones, la ciudad A tenía una población más grande.
    2. resuelve \( 2.9 \times 2^{0.11t} = 1.7 \times 2^{0.17t} \), para encontrar \( t \).
      toma \( \ln \) de ambos lados de la ecuación
      \( \ln[ 2.9 \times 2^{0.11t} ] = \ln[ 1.7 \times 2^{0.17t} ] \)
      \( \ln(2.9) + 0.11t \ln(2) = \ln(1.7) + 0.17t \ln(2) \)
      resuelve para \( t \):
      \( t = \dfrac{\ln1.7 - \ln2.9}{0.11\ln2 - 0.17\ln2} = 13 \) (aproximado a la unidad más cercana)
      El tamaño de las dos poblaciones será el mismo en 2009 + 13 = 2022.

    4. resuelve la ecuación: \( x = 2 \log_5(2y - 8) + 3 \) para \( y \) y obtén la inversa de la función.
      \( f^{-1}(x) = \dfrac{1}{2} 5^{ \dfrac{x-3}{2} } + 4 \)

    5. resuelve la ecuación: \( x = -2 \cdot 3^{-3y + 9} - 4 \) para \( y \) y obtén la inversa de la función.
      \( h^{-1}(x) = \dfrac {-1}{3}\log_3 \left( \dfrac{x+4}{-2} \right) + 3 \)

    6. Reescribe la ecuación dada de la siguiente manera
      \( \ln(2x - 2)(4x - 3) = \ln(2x)^2 \)

      Lo anterior da la ecuación algebraica
      \( (2x - 2)(4x - 3) = (2x)^2 \)

      Resuelve la ecuación cuadrática anterior para \( x \)
      \( x = 3 \) y \( x = \dfrac{1}{2} \)

      Verifica los dos valores de \( x \) y solo \( x = 3 \) es una solución para la ecuación dada.

    7. La asíntota horizontal \( y = -4 \) da \( B = -4 \).
      \( f(0) = A + B = 1 \)

      lo que da \( A = 5 \) ya que \( B = -4 \)
      \( f(1) = 5e^k - 4 = 2 \)

      resuelve para \( k \) y obtén: \( k = \ln\left(\dfrac{6}{5}\right) \)

    Más Referencias y Enlaces

    funciones logarítmicas
    funciones exponenciales
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