Preguntas de Álgebra Universitaria con Respuestas
muestra 5 : Dominio y Rango de Funciones

Preguntas de álgebra universitaria sobre cómo encontrar el dominio y el rango de funciones con respuestas, se presentan a continuación. Las soluciones se encuentran al final de la página.

Preguntas

Pregunta 1

    Encuentre el dominio de las funciones
  1. \( f(x) = \dfrac{1}{|x^2 - 4|} \)
  2. \( g(x) = \dfrac{1}{x^2 + 4x + 3} \)
  3. \( h(x) = \sqrt{x^2 + 5x - 6} \)
  4. \( k(x) = \dfrac{1}{\sqrt{(x - 2)^2}} \)
  5. \( j(x) = \dfrac{1}{x - \sqrt{x + 2}} \)
  6. \( l(x) = \ln{|x + 3|} - 5 \)

Pregunta 2

    Encuentre el rango de las funciones
  1. \( f(x) = -x^2 + 6x + 5 \)
  2. \( g(x) = |x + 3| - 2 \)
  3. \( h(x) = \dfrac{x - 2}{x + 3} \)
  4. \( k(x) = |x^3 + 4| \)
  5. \( j(x) = |(x + 4)(x - 2)| \)
  6. \( l(x) = \left| \dfrac{1}{x - 3} \right| \)

Soluciones a las Preguntas Anteriores

Soluciones a la Pregunta 1

Encuentre el dominio.
  1. El dominio se encuentra estableciendo \( x^2 - 4 \neq 0 \) porque la división por 0 no está permitida.
    Dominio: \((- \infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, +\infty)\)
  2. \( x^2 + 4x + 3 \neq 0 \), división por 0 no permitida.
    Resuelva: \( x^2 + 4x + 3 = 0 \), soluciones: \( x = -3 \) y \( x = -1 \)
    Dominio: \((- \infty, -3) \cup (-3, -1) \cup (-1, +\infty)\)
  3. \( x^2 + 5x - 6 \geq 0 \), la cantidad bajo la raíz cuadrada debe ser positiva o igual a cero para que la función sea real.
    Resuelva: \( x^2 + 5x - 6 \geq 0 \), conjunto solución: \((- \infty, -6) \cup (1, +\infty)\)
    Dominio: \((- \infty, -6) \cup (1, +\infty)\)
  4. \( (x - 2)^2 > 0 \), la cantidad bajo la raíz cuadrada debe ser positiva. Es un cuadrado. No puede ser cero porque la división por cero no está permitida. Por lo tanto, \( x \) debe ser diferente de 2.
    Dominio: \((- \infty, 2) \cup (2, +\infty)\)
  5. \( x - \sqrt{x + 2} \neq 0 \), división por 0 no permitida.
    También: \( x + 2 > 0 \), la expresión bajo la raíz cuadrada debe ser positiva.
    Resuelva: \( x - \sqrt{x + 2} \neq 0 \), solución: \( x = 2 \)
    Resuelva: \( x + 2 > 0 \), conjunto solución: \([-2, 2) \cup (2, +\infty)\)
  6. \( x + 3 > 0 \), el argumento del logaritmo debe ser positivo para que la función tome valores reales.
    Dominio: \((-3, +\infty)\)

Soluciones a la Pregunta 2

Encuentre el rango.
  1. \( f(x) = -x^2 + 6x + 5 = -(x - 3)^2 + 14 \)
    \(-(x - 3)^2 \leq 0\), para todo \( x \) real.
    Sume 14 a ambos lados de la desigualdad
    \(-(x - 3)^2 + 14 \leq 14\)
    El lado izquierdo es la función dada. Por lo tanto, el rango está dado por el intervalo
    \((- \infty, 14]\)
  2. \( g(x) = |x + 3| - 2 \)
    \( |x + 3| \geq 0 \), para todo \( x \) real.
    Sume -2 a ambos lados de la desigualdad
    \( |x + 3| - 2 \geq -2 \)
    El lado izquierdo es la función dada. Por lo tanto, el rango está dado por el intervalo
    \([-2, +\infty)\)
  3. \( h(x) = \dfrac{x - 2}{x + 3} \)
    La función inversa de la función dada \( h \) es
    \( h^{-1}(x) = \dfrac{3x + 2}{1 - x} \)
    El rango de \( h \) es el dominio de \( h^{-1} \) y está dado por el intervalo \((- \infty, 1) \cup (1, +\infty)\)
  4. \( k(x) = |x^3 + 4| \)
    \( x^3 + 4 \) tiene un rango dado por el intervalo \((- \infty, +\infty)\)
    Debido a la función de valor absoluto, \( k(x) = |x^3 + 4| \) tiene un rango dado por el intervalo \([0, +\infty)\)
  5. \( j(x) = |(x + 4)(x - 2)| \)
    La gráfica de \( y = (x + 4)(x - 2) \) es una parábola con intersecciones en \( x = -4 \) y \( x = 2 \) y un vértice en \((-1, -9)\) que se abre hacia arriba. Parte de las gráficas en el intervalo \((-4, 2)\) entre las intersecciones con el eje \( x \) está debajo del eje \( x \) y, por lo tanto, se reflejará por encima del eje \( x \) cuando se aplica el valor absoluto. Por lo tanto, el rango de \( j(x) = |(x + 4)(x - 2)| \) está dado por el intervalo \([0, +\infty)\)
  6. \( l(x) = \left| \dfrac{1}{x - 3} \right| \)
    El rango de \( \dfrac{1}{x} \) está dado por \((- \infty, 0) \cup (0, +\infty)\). El rango de \( \dfrac{1}{|x|} \) está dado por \((0, +\infty)\). La gráfica de \( \dfrac{1}{|(x - 3)|} \) es la gráfica de \( \dfrac{1}{x} \) desplazada 3 unidades a la derecha y, por lo tanto, \( l(x) = \dfrac{1}{|(x - 3)|} \) tiene el mismo rango que \( \dfrac{1}{|x|} \) que es \((0, +\infty)\).

Más Referencias y Enlaces

dominio y rango
Preguntas y problemas de álgebra
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