Teorema de De Moivre: Potencia y Raíz
El teorema de De Moivre se utiliza para hallar potencias de números complejos y también se extiende para encontrar raíces de números complejos y resolver ecuaciones. Se presentan varias preguntas junto con sus soluciones detalladas.
Teorema de De Moivre para Hallar la Potencia de Números Complejos
Si z es un número complejo en forma polar escrito como
\[ z = r (\cos(\theta)+ i \sin(\theta)) \]
entonces
\[ z^n = r^n (\cos( n \theta)+ i \sin( n \theta)) \]
donde n es un número entero.
Ejemplo 1
Utiliza el teorema de De Moivre para simplificar y escribir en forma estándar las siguientes expresiones.
a) \( i^{23} \)
b) \( (1 - i)^{12} \)
c) \( (\sqrt2 / 2 - i\sqrt2 / 2)^{400} \)
Solución al Ejemplo 1
a) Escribe \( i \) en forma polar
\( i = \cos(\pi/2) + i \sin(\pi/2) \)
Utiliza el teorema de De Moivre para hallar \( i^{23} \)
\( i^{23} = (\cos(\pi/2) + i \sin(\pi/2))^{23} \)
\( = (\cos(23\pi/2) + i \sin(23\pi/2)) \)
Simplifica
\( = \cos(3\pi/2 + 5(2\pi)) + i \sin(3\pi/2 + 5(2\pi))\)
\(= \cos(3\pi/2) + i \sin(3\pi/2)\)
\( = - i \)
b) Escribe \( (1 - i)\) en forma polar
\( (1 - i) = \sqrt2 (\cos(7\pi/4) + i \sin(7\pi/4)) \)
Utiliza el teorema de De Moivre para hallar \( (1 - i)^{12} \)
\( (1 - i)^{12} = (\sqrt2 (\cos(7\pi/4) + i \sin(7\pi/4)))^{12} \)
\( = (\sqrt2)^{12} (\cos(12 \times 7\pi/4) + i \sin(12 \times 7\pi/4)) \)
Simplifica
\( = 64 (\cos(21\pi) + i \sin(21\pi)) \)
\( = 64(-1 + 0) \)
\( = - 64 \)
c) Escribe \( (\sqrt2 / 2 - i\sqrt2 / 2) \) en forma polar
\( (\sqrt2 / 2 - i\sqrt2 / 2) = \sqrt2 / 2 (1 - i) = (\cos(7\pi/4) + i \sin(7\pi/4)) \)
Utiliza el teorema de De Moivre para hallar \( (\sqrt2 / 2 - i\sqrt2 / 2)^{400}\)
\( (\sqrt2 / 2 - i\sqrt2 / 2)^{400} = (\cos(7\pi/4) + i \sin(7\pi/4))^{400} \)
\( = (\cos(400 \times 7\pi/4) + i \sin(400 \times 7\pi/4)) \)
Simplifica
\( = (\cos( 700 \pi) + i \sin(700 \pi)) \)
\( = 1 \)
Teorema de De Moivre para Hallar Raíces de Números Complejos
El teorema de De Moivre también se puede utilizar para hallar las raíces n-ésimas de un número complejo de la siguiente manera
Si z es un número complejo de la forma
\[ z = r (\cos(\theta)+ i \sin(\theta)) \]
entonces las raíces n-ésimas están dadas por
\[ z_k = r^{1/n} \left ( \cos \left( \dfrac{\theta + 2k\pi}{n} \right ) + i \sin \left ( \dfrac{\theta + 2k\pi}{n} \right) \right ) \]
donde k = 0, 1, ... , (n - 1).
Ejemplo 2
Utiliza el teorema de De Moivre para hallar
a) todas las raíces cúbicas de \( 1 \)
b) todas las raíces cúbicas de \( i \)
c) todas las raíces sextas de \( 2 + 2i \)
d) resolver en los números complejos la ecuación : \( z^4 = \sqrt3 / 2 - (1/2) i\)
Solución al Ejemplo 2
a) Escribe \( 1 \) en forma polar
\( 1 = 1(\cos(0)+ i \sin(0)) \)
Utiliza el teorema de De Moivre para hallar todas las raíces cúbicas
\( z_k = 1^{1/3} \left ( \cos \left( \dfrac{ 0 + 2k\pi}{3} \right ) + i \sin \left ( \dfrac{0 + 2k\pi}{3} \right) \right ) \) , k = 0, 1,2.
Las tres raíces son
Establece k = 0, 1 y 2 en la fórmula anterior para obtener las raíces:
\( z_0 = 1^{1/3} ( \cos( 0 ) + i \sin ( 0 )) = 1 \)
\(z_1 = 1^{1/3} (\cos(2\pi/3)+ i \sin (2\pi/3 )) = -\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2} \)
\( z_2 = 1^{1/3} ( \cos ( 4\pi/3 ) + i \sin (4\pi/3) = -\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2} ) \)
Las tres raíces cúbicas se muestran en el plano complejo a continuación. Están ubicadas en el mismo círculo porque sus módulos son iguales y están igualmente espaciadas porque la diferencia entre sus argumentos son iguales.
b) Escribe \( i \) en forma polar
\( i = 1(\cos(\pi/2) + i \sin(\pi/2)) \)
Utiliza el teorema de De Moivre para hallar todas las raíces cúbicas
\( z_k = 1^{1/3} ( \cos ( \dfrac{ \pi/2 + 2k\pi}{3} ) + i \sin ( \dfrac{\pi/2 + 2k\pi}{3} ) ) \) , k = 0, 1,2.
Establece k = 0, 1 y 2 en la fórmula anterior para obtener las raíces:
\( z_0 = 1^{1/3} ( \cos( \pi/6 ) + i \sin ( \pi/6 )) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}+i\dfrac{1}{2} \)
\( z_1 = 1^{1/3} ( \cos ( \dfrac{ \pi/2 + 2\pi}{3} ) + i \sin ( \dfrac{\pi/2 + 2\pi}{3} )) \)
\( = ( \cos ( 5\pi/6 ) + i \sin ( 5\pi/6 ) ) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}+i\dfrac{1}{2} \)
\( z_2 = 1^{1/3} ( \cos ( \dfrac{ \pi/2 + 4\pi}{3} ) + i \sin ( \dfrac{\pi/2 + 4\pi}{3} ) ) \)
\( = \cos ( 3\pi/2 ) + i \sin ( 3\pi/2 ) = - i \)
c) Escribe \( 2 + 2i \) en forma polar
\( 2 + 2i = 2\sqrt2 (\cos(\pi/4) + i\sin(\pi/4) \)
Utiliza el teorema de De Moivre para hallar las seis raíces.
\( z_k = (2\sqrt2)^{1/6} ( \cos ( \dfrac{ \pi/4 + 2k\pi}{6} ) + i \sin ( \dfrac{\pi/4 + 2k\pi}{6} ) ) \) , k = 0,1,2,3,4,5.
Establece k = 0, 1, 2, 3, 4 y 5 en la fórmula anterior para obtener las raíces:
\( z_0 = (2\sqrt2)^{1/6} ( \cos ( \dfrac{ \pi/4}{6} ) + i \sin ( \dfrac{\pi/4}{6} ) ) \)
\( = 2^{1/4}( \cos (\pi/24 ) + i \sin (\pi/24) ) \)
\( z_1 = (2\sqrt2)^{1/6} ( \cos ( \dfrac{ \pi/4 + 2\pi}{6} ) + i \sin ( \dfrac{\pi/4 + 2\pi}{6} ) ) \)
\( = 2^{1/4} ( \cos ( 3\pi/8 ) + i \sin ( 3\pi/8 )) \)
\( z_2 = (2\sqrt2)^{1/6} ( \cos ( \dfrac{ \pi/4 + 4\pi}{6} ) + i \sin ( \dfrac{\pi/4 + 4\pi}{6} ) ) \)
\( = 2^{1/4} ( \cos ( 17\pi/24 ) + i \sin ( 17\pi/24 )) \)
\( z_3 = (2\sqrt2)^{1/6} ( \cos ( \dfrac{ \pi/4 + 6\pi}{6} ) + i \sin ( \dfrac{\pi/4 + 6\pi}{6} ) ) \)
\( = 2^{1/4} ( \cos ( 25\pi/24 ) + i \sin ( 25\pi/24 )) \)
\( z_4 = (2\sqrt2)^{1/6} ( \cos ( \dfrac{ \pi/4 + 8\pi}{6} ) + i \sin ( \dfrac{\pi/4 + 8\pi}{6} ) ) \)
\( = 2^{1/4} ( \cos ( 11\pi/8 ) + i \sin ( 11\pi/8 )) \)
\( z_5 = (2\sqrt2)^{1/6} ( \cos ( \dfrac{ \pi/4 + 10\pi}{6} ) + i \sin ( \dfrac{\pi/4 + 10\pi}{6} ) ) \)
\( = 2^{1/4} ( \cos ( 41\pi/24 ) + i \sin ( 41\pi/24 )) \)
d) Las soluciones de la ecuación dada son las raíces cuartas del número complejo \(\sqrt3 / 2 - (1/2) i \)
Escribe \(\sqrt3 / 2 - (1/2) i \) en forma polar
\(\sqrt3 / 2 - (1/2) i = \cos (11\pi/6) + i \sin(11\pi/6)\)
Las cuatro raíces están dadas por el teorema de De Moivre de la siguiente manera
\( z_k = 1^{1/4} ( \cos ( \dfrac{11\pi/6 + 2k\pi}{4} ) + i \sin ( \dfrac{11\pi/6 + 2k\pi}{4} ) ) \)
donde k = 0, 1,2,3.
Las soluciones (o raíces) de la ecuación dada son:
\( z_0 = 1^{1/4} ( \cos ( \dfrac{11\pi/6}{4} ) + i \sin ( \dfrac{11\pi/6}{4} ) ) = \cos ( 11\pi/24 ) + i \sin ( 11\pi/24 ) \)
\( z_1 = 1^{1/4} ( \cos ( \dfrac{11\pi/6 + 2\pi}{4} ) + i \sin \left( \dfrac{11\pi/6 + 2\pi}{4} \right) ) = \cos ( 23\pi/24) + i \sin ( 23\pi/24) \)
\( z_2 = 1^{1/4} ( \cos ( \dfrac{11\pi/6 + 4\pi}{4} ) + i \sin ( \dfrac{11\pi/6 + 4\pi}{4} ) ) = \cos ( 35\pi/24) + i \sin ( 35\pi/24) \)
\( z_3 = 1^{1/4} ( \cos ( \dfrac{11\pi/6 + 6\pi}{4} ) + i \sin ( \dfrac{11\pi/6 + 6\pi}{4} ) ) = \cos ( 47\pi/24) + i \sin ( 47\pi/24) \)
Las seis raíces sextas se muestran en el plano complejo a continuación; sus módulos son iguales y están igualmente espaciadas.
Preguntas
1) Evalúa las siguientes expresiones: \( (\cos(-\pi/3) - i \sin(-\pi/3))^{18} \)
2) Demuestra que \( 1 - i \) es una de las raíces cúbicas de \( -2 - 2 i \)
3) Halla todas las raíces cuartas de \( i \)
4) Resuelve para el número complejo z la ecuación: \( (z - i)^2 = - 1 \)
Soluciones a las Preguntas Anteriores
1)
Usa las identidades trigonométricas: \( \cos(-x) = \cos(x) \) y \( \sin(-x) = - \sin(x) \) para reescribir las expresiones dadas como
\( = (\cos(\pi/3) + i \sin(\pi/3))^{18} \)
que está en forma polar, de ahí el uso del teorema de De Moivre
\( = (\cos(18\pi/3) + i \sin(18\pi/3)) = (\cos(6\pi) + i \sin(6\pi)) = 1 \)
2)
Reescribe \((1 - i)\) en forma polar y evalúa \( (1 - i)^3 \)
\( (1 - i)^3 = (\sqrt(2) (\cos(7\pi/4) + i \sin(7\pi/4)))^3 \)
\( = 2\sqrt(2) (\cos(21\pi/4) + i \sin(21\pi/4)) \)
\( = 2\sqrt(2) ( - \sqrt(2) / 2 - i \sqrt(2) / 2) = - 2 - 2 i \)
Dado que \( (1 - i)^3 = - 2 - 2 i \) , \( 1 - i\) es una de las raíces cúbicas de \( - 2 - 2 i \).
3)
Reescribe \( i \) en forma polar y usa el teorema de De Moivre para hallar las raíces.
\( i = ( \cos(\pi/2) + i\sin(\pi/2)) \)
las raíces son
\(z_k = 1^{1/4} ( \cos ( \dfrac{\pi/2 + 2k\pi}{4} ) + i \sin ( \dfrac{\pi/2 + 2k\pi}{4} ) ) \)
donde k = 0,1,2,3.
\(z_0 = 1^{1/4} ( \cos ( \dfrac{\pi/2}{4} ) + i \sin ( \dfrac{\pi/2}{4}) ) = \cos ( \pi/8 ) + i \sin ( \pi/8 )) \)
\(z_1 = 1^{1/4} ( \cos ( \dfrac{\pi/2 + 2\pi}{4} ) + i \sin ( \dfrac{\pi/2 + 2\pi}{4}) ) = \cos(5\pi/8) + i \sin(5\pi/8) \)
\(z_2 = 1^{1/4} ( \cos ( \dfrac{\pi/2 + 4\pi}{4} ) + i \sin ( \dfrac{\pi/2 + 4\pi}{4}) ) = \cos(9\pi/8) + i \sin(9\pi/8) \)
\(z_3 = 1^{1/4} ( \cos ( \dfrac{\pi/2 + 6\pi}{4} ) + i \sin ( \dfrac{\pi/2 + 6\pi}{4}) ) = \cos(13\pi/8) + i \sin(13\pi/8) \)
4)
Sea \( w = z - i \) y reescribe la ecuación como
\( w^2 = - 1 \)
Las soluciones de la ecuación anterior son las raíces segundas de \( - 1 \). Reescribe \( - 1 \) en forma polar y encuentra las raíces.
\( - 1 = \cos(3\pi/2) + i \sin(3\pi/2) \)
las raíces son
\(w_k = 1^{1/2} ( \cos ( \dfrac{3\pi/2 + 2k\pi}{2} ) + i \sin ( \dfrac{3\pi/2 + 2k\pi}{2} ) ) \)
donde k = 0,1.
\(w_0 = 1^{1/2} ( \cos ( \dfrac{3\pi/2}{2} ) + i \sin ( \dfrac{3\pi/2}{2} ) ) = \cos ( 3\pi/4 ) + i \sin ( 3\pi/4 ) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2} \)
\(w_1 = 1^{1/2} ( \cos ( \dfrac{3\pi/2 + 2\pi}{2} ) + i \sin ( \dfrac{3\pi/2 + 2\pi}{2} ) ) = \cos ( 7\pi/4 ) + i \sin ( 7\pi/4 ) =\dfrac{\sqrt{2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2}}{2} \)
Ahora resolvemos para z
\( z_0 = w_0 + i = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2} + i = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{2+\sqrt{2}}{2} \)
\( z_1 = w_1 + i = \dfrac{\sqrt{2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2}}{2} + i = \dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{2-\sqrt{2}}{2} \)
Más Referencias y Enlaces
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