Funciones Exponenciales: Preguntas con Soluciones
Esta página presenta preguntas cuidadosamente seleccionadas sobre
funciones exponenciales,
junto con soluciones detalladas, paso a paso y explicaciones claras.
Propiedades de las Funciones Exponenciales
Para todos los números reales \(x\) e \(y\), y para cualquier base \(a > 0\) con \(a \neq 1\):
-
\[
a^x a^y = a^{x+y}
\]
Ejemplo:
\[
2^3 \cdot 2^5 = 2^8
\]
-
\[
(a^x)^y = a^{xy}
\]
Ejemplo:
\[
(4^2)^5 = 4^{10}
\]
-
\[
(ab)^x = a^x b^x
\]
Ejemplo:
\[
(3 \times 7)^3 = 3^3 \cdot 7^3
\]
-
\[
\left(\frac{a}{b}\right)^x = \frac{a^x}{b^x}
\]
Ejemplo:
\[
\left(\frac{3}{5}\right)^3 = \frac{3^3}{5^3}
\]
-
\[
\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}
\]
Ejemplo:
\[
\frac{5^7}{5^4} = 5^3
\]
Preguntas con Soluciones Detalladas
Pregunta 1
Simplifica la siguiente expresión:
\[
2^x - 2^{x+1}
\]
Solución
-
Usa la propiedad \(a^{x+y} = a^x a^y\) para reescribir:
\[
2^{x+1} = 2^x \cdot 2
\]
-
Sustituye:
\[
2^x - 2^x \cdot 2
\]
-
Factoriza \(2^x\):
\[
2^x(1 - 2)
\]
-
Simplifica:
\[
-2^x
\]
Pregunta 2
Encuentra las constantes \(A\) y \(k\) tales que \(f(1)=1\) y \(f(2)=2\), donde
\[
f(x) = A e^{kx}
\]
Solución
-
De \(f(1)=1\):
\[
A e^k = 1
\]
-
De \(f(2)=2\):
\[
A e^{2k} = 2
\]
-
Reescribe:
\[
A e^k e^k = 2
\]
-
Usando \(A e^k = 1\):
\[
e^k = 2
\]
-
Toma el logaritmo natural:
\[
k = \ln(2)
\]
-
Sustituye en \(A e^k = 1\):
\[
A = \frac{1}{2}
\]
-
Forma final:
\[
f(x) = \frac{1}{2} e^{x\ln(2)} = 2^{x-1}
\]
Verificación:
\[
f(1) = 2^{0} = 1, \quad f(2) = 2^{1} = 2
\]
Pregunta 3
Las poblaciones de dos ciudades (en miles) están dadas por:
\[
P_1(t) = 100 e^{0.013t}, \qquad
P_2(t) = 110 e^{0.008t}
\]
Aquí, \(t\) es el tiempo en años desde 2004. ¿Cuándo serán iguales las poblaciones,
y cuál será esa población?
Solución
-
Iguala \(P_1(t) = P_2(t)\):
\[
100 e^{0.013t} = 110 e^{0.008t}
\]
-
Divide entre \(100 e^{0.008t}\):
\[
e^{0.005t} = 1.1
\]
-
Toma el logaritmo natural:
\[
0.005t = \ln(1.1)
\]
-
Resuelve:
\[
t = \frac{\ln(1.1)}{0.005} \approx 19
\]
-
Año:
\[
2004 + 19 = 2023
\]
-
Población:
\[
P_1(19) = 100 e^{0.013 \cdot 19} \approx 128
\]
miles.
Comprobación gráfica:
Pregunta 4
Una sustancia radiactiva se desintegra según:
\[
A(t) = A_0 e^{rt}
\]
Su vida media es de 10 días. Encuentra \(r\) con tres decimales.
Solución
-
En la vida media:
\[
A_0 e^{10r} = \frac{A_0}{2}
\]
-
Simplifica:
\[
e^{10r} = \frac{1}{2}
\]
-
Toma ln:
\[
10r = \ln\left(\frac{1}{2}\right)
\]
-
Resuelve:
\[
r = 0.1 \ln\left(\frac{1}{2}\right) \approx -0.069
\]
Más Referencias