Para encontrar una posible ecuación de una función exponencial a partir de su gráfica, generalmente consideramos la forma:
\[ f(x) = a \cdot b^{x-c} + d \]
Se recomienda revisar el tutorial sobre gráficas de funciones exponenciales para comprender las propiedades de estas gráficas antes de intentar encontrar la función a partir de una gráfica.
Encuentra la función exponencial de la forma \( y = b^x \) cuya gráfica se muestra a continuación.
De la gráfica, para \( x = 1 \), tenemos \( y = 4 \). Sustituyendo en la ecuación \( y = b^x \):
\[ b^1 = 4 \implies b = 4 \]
Por lo tanto, la función es:
\[ y = 4^x \]
Encuentra la función exponencial de la forma \( y = b^{x-c} \) cuya gráfica se muestra a continuación.
De la gráfica: \( x = 2 \), \( y = 1 \) y \( x = 3 \), \( y = 2 \). Sustituyendo en \( y = b^{x-c} \):
\[ b^{2 - c} = 1 \quad \text{(ecuación 1)}, \quad b^{3 - c} = 2 \quad \text{(ecuación 2)} \]
La ecuación (1) da \( b^{2-c} = b^0 \implies 2-c = 0 \implies c = 2 \). Sustituyendo \( c = 2 \) en la ecuación (2):
\[ b^{3-2} = 2 \implies b = 2 \]
Por lo tanto, la función es:
\[ y = 2^{x-2} \]
Encuentra la función exponencial de la forma \( y = -b^x + d \) cuya gráfica se muestra a continuación.
De la gráfica: \( x = 0 \), \( y = 0 \) y \( x = 1 \), \( y = -2 \). Sustituyendo en \( y = -b^x + d \):
\[ -b^0 + d = 0 \implies -1 + d = 0 \implies d = 1 \]
\[ -b^1 + 1 = -2 \implies b = 3 \]
Por lo tanto, la función es:
\[ y = -3^x + 1 \]
Encuentra la función exponencial de la forma \( y = a \cdot b^x + d \) con asíntota horizontal \( y = 1 \).
Asíntota horizontal: \( y = d \implies d = 1 \). De la gráfica: \( x = 0 \), \( y = 4 \):
\[ a \cdot b^0 + 1 = 4 \implies a = 3 \]
El punto \( (1,7) \) en la gráfica da:
\[ 3 \cdot b^1 + 1 = 7 \implies b = 2 \]
Por lo tanto, la función es:
\[ y = 3 \cdot 2^x + 1 \]
Encuentra la función exponencial de la forma \( y = a \cdot e^{x-1} + d \) con asíntota horizontal \( y = -2 \).
Asíntota horizontal: \( d = -2 \). Para \( x = 1 \), \( y = -4 \):
\[ a \cdot e^{1-1} - 2 = -4 \implies a \cdot 1 - 2 = -4 \implies a = -2 \]
Por lo tanto, la función es:
\[ y = -2 \cdot e^{x-1} - 2 \]
Encuentra la función exponencial de la forma \( y = a \cdot b^{x-1} + d \) con asíntota horizontal \( y = -1 \).
Asíntota horizontal: \( d = -1 \). De la gráfica: \( (1,2) \) y \( (2,5) \):
\[ a \cdot b^{1-1} - 1 = 2 \implies a = 3 \]
\[ 3 \cdot b^{2-1} - 1 = 5 \implies b = 2 \]
Por lo tanto, la función es:
\[ y = 3 \cdot 2^{x-1} - 1 \]
Encuentra la función exponencial para cada gráfica a continuación. La línea discontinua representa la asíntota.
