Una tabla de valores de
seguida de la gráfica de \( f \) se muestra a continuación.
La función exponencial natural f es una función exponencial con base igual a la Constante de Euler e y tiene la forma
Una tabla de valores de seguida de la gráfica de \( f \) se muestra a continuación.
La función exponencial natural tiene varias propiedades que deben destacarse.
Dominio: \( (-\infty , +\infty) \)
Rango: \( (0 , +\infty) \)
Intersección con el eje y: \( (0,1) \)
Asíntota horizontal: \( y = 0 \)
Monotonía: creciente en el intervalo \( (-\infty , +\infty) \)
Continuidad: continua en el intervalo \( (-\infty , +\infty) \)
Diferenciabilidad: diferenciable en el intervalo \( (-\infty , +\infty) \)
Función biunívoca: Es una función biunívoca y por lo tanto tiene inversa.
Función inversa: La inversa de \( f(x) = e^x \) es el logaritmo natural \( \ln (x) \)
Composición con su inversa: \( e^{\ln(x)} = x \) para \( x \gt 0 \) y \( \ln(e^x) = x \)
Derivada: \( \dfrac{d e^x}{dx} = e^x \)
Integral indefinida: \( \int e^x dx = e^x + C \), donde C es una constante de integración
Muchos modelos matemáticos utilizados en física, ingeniería, química, economía,... están descritos por funciones relacionadas con las funciones exponenciales naturales definidas anteriormente.
A continuación se enumeran ejemplos de algunos de los modelos matemáticos más utilizados basados en funciones exponenciales naturales, junto con sus gráficas.
A continuación discutimos cuantitativamente algunas de las aplicaciones de las funciones exponenciales naturales.
Ejemplo 1: Modelado de Crecimiento Poblacional
La población P de una ciudad aumenta continuamente según la fórmula
\[ P = 120000 e^{0.01 t} \]
donde t es el número de años después del año 2000.
¿Cuál será la población de esta ciudad en el año 2030?
Solución del Ejemplo 1
El número de años t entre los años 2000 y 2030 es 30
Por lo tanto, la población en 2030 está dada por
\( P = 120000 e^{0.01 \times 30} = 161983 \)
Ejemplo 2: Modelado de Decaimiento de Material Radiactivo
La cantidad \( A \) de un material radiactivo en descomposición después de \( t \) días está dada por
\[ A = A_0 e^{-0.005 t} \]
donde t está en días.
Si la cantidad inicial en t = 0 es 20 miligramos, entonces
a) ¿Cuál es la cantidad de material radiactivo restante después de 30 días? Redondee su respuesta a la centésima más cercana.
b) ¿Cuántos días tarda la cantidad de material radiactivo en descomponerse a 10 miligramos?
Solución del Ejemplo 2
a)
A = 20 en t = 0, por lo tanto
\( 20 = A_0 e^{-0.005 \times 0} = A_0 e^0 = A_0 \)
La fórmula para A puede escribirse como
\( A = 20 e^{-0.005 t} \)
en t = 30, A está dado por
\( A = 20 e^{-0.005 \times 30} = 17.21 \) mg
b)
La cantidad es conocida, por lo tanto
\( 10 = 20 e^{-0.005 t} \)
ahora necesitamos encontrar t, dividiendo ambos lados de la ecuación entre 20.
\( e^{-0.005 t} = 10/20 = 0.5 \)
Tomamos el logaritmo natural ln de ambos lados
\( \ln(e^{-0.005 t}) = \ln(0.5) \)
Usamos la propiedad \( \ln(e^x) = x \) para simplificar el lado izquierdo de la ecuación
\( -0.005 t = \ln(0.5) \)
\( t = \dfrac{\ln(0.5)}{-0.005} = 138.63 \) días
Ejemplo 3: Modelado de Circuito RC
En el circuito a continuación, cuando el interruptor está encendido, la corriente i a través de la resistencia r carga el capacitor c y por lo tanto crea un voltaje a través de él. El voltaje \( V_c \) a través del capacitor c está dado por una función que incluye la función exponencial natural de la siguiente manera:
\[ V_c = V (1 - e^{-t/rc} ) \]
donde \( t \) está en segundos, \( V \) en voltios, \( r \) en Ohmios y \( c \) en Faradios.
a) Sea V = 10 voltios y elabore una tabla de valores de \( V_c \) en función de \( t \) para valores de \( t = 0, 2rc, 3rc, 4rc, 5rc, .... \). Redondee las respuestas a la centésima más cercana.
b) Use los valores obtenidos en la tabla anterior para graficar \( V_c \) en función de \( t \).
c) Encuentre los valores de \( t \) en términos de rc para los cuales \( V_c \) es igual a 9.99 voltios.
Solución del Ejemplo 3
a)
b)
c)
Necesitamos resolver la ecuación
\( 9.99 = 10 (1 - e^{-t/rc} ) \)
expandimos el lado derecho de la ecuación
\( 9.99 = 10 - 10 e^{-t/rc} \)
\( - 10 e^{-t/rc} = 9.99 - 10 \)
\( e^{-t/rc} = 0.001 \)
tomamos el logaritmo natural ln de ambos lados de la ecuación
\( \ln(e^{-t/rc}) = \ln(0.001) \)
evaluamos el lado derecho y usamos la propiedad \( \ln(e^x) = x \) para simplificar el lado izquierdo de la ecuación.
\( - t / rc = -6.90 \)
resolvemos para t
\( t = 6.9 rc \)
Ejemplo 4: Interés Compuesto Continuo
El saldo B en una cuenta de ahorros después de \( t \) años con capitalización continua de la tasa de interés anual r está dado por
\[ B = P e^{r t}\]
donde \( P \) es el capital inicial.
Una cantidad de \( \$ 10000 \) se invierte a la tasa \( r = 6.25\% \) y se capitaliza continuamente. ¿Cuántos años, después del depósito inicial de $10000, tomará para que la inversión se duplique?
Solución del Ejemplo 4
Sea t = 0 cuando se depositan los $10000 iniciales. Por lo tanto, el saldo B está dado por
\[ B = 10000 e^{0.0625 t}\]
ahora necesitamos encontrar t cuando B es el doble del depósito inicial, por lo tanto \( B = 20000 \).
\( 20000 = 10000 e^{0.0625 t} \)
dividimos ambos lados entre 10000 y simplificamos para obtener
\( 2 = e^{0.0625 t} \)
tomamos el logaritmo natural ln de ambos lados
\( \ln(2) = \ln(e^{0.0625 t}) \)
Usamos la propiedad \( \ln(e^x) = x \) para simplificar el lado derecho de la ecuación
\( 0.0625 t = \ln(2) \)
\( t = \ln(2) / 0.0625 \approx 11 \) años
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