Ejemplos y Preguntas sobre Fracciones Equivalentes

Presentamos ejemplos de fracciones equivalentes y sus soluciones. Más preguntas y sus respuestas se incluyen al final de la página.

¿Qué son las Fracciones Equivalentes?

Las fracciones equivalentes representan la misma parte del todo y pueden escribirse con diferentes numeradores y denominadores.
Las imágenes de abajo representan la misma cantidad en rojo: la mitad del todo. Sin embargo, usando fracciones, pueden escribirse como:
$fracciones equivalentes$
imagen a): imagen b): imagen c):
Debido a que representan la misma cantidad, las llamamos fracciones equivalentes y escribimos que

Si dos fracciones Fracciones a/b y c/d son equivalentes, escribimos la siguiente igualdad
 Definición de Fracciones Equivalentes
Multiplica el lado izquierdo y el lado derecho por el producto $ b \times d $
\[ \color{red}{b \times d} \times \dfrac{a}{b} = \color{red}{b \times d} \times \dfrac{c}{d} \]
En el lado izquierdo, $ b $ es un factor común al numerador y al denominador y, por lo tanto, puede simplificarse. En el lado derecho, $ d $ es un factor común al numerador y al denominador y puede simplificarse. De ahí obtenemos la igualdad
\[ a \times d = b \times c \]
En general, las fracciones equivalentes se escriben como \[ \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \quad\quad \text{si y solo si} \quad\quad a \times d = b \times c\]

La igualdad $ \quad a \times d = b \times c$ se llama el producto cruzado de las dos fracciones y puede usarse para verificar si dos fracciones dadas son equivalentes.
La multiplicación cruzada se simboliza mediante
\[ \displaystyle {\dfrac{a}{b} \color{red}{\rlap{\nearrow}{\searrow}} \dfrac{c}{d}} \]

Ejemplo 1
¿Cuáles de los siguientes pares de fracciones son equivalentes?

a) $ \dfrac{2}{5} $ y $ \dfrac{3}{10} $

b) $ \dfrac{3}{4} $ y $ \dfrac{12}{16} $

c) $ \dfrac{5}{7} $ y $ \dfrac{3}{10} $

d) $ \dfrac{2}{15} $ y $ \dfrac{14}{105} $

e) $ \dfrac{-8}{7} $ y $ \dfrac{24}{-21} $

Solución al Ejemplo 1
Aplica la regla del producto cruzado dada arriba
a)
$ \dfrac{2}{5} \rlap{\nearrow}{\searrow} \dfrac{3}{10} $
$ 2 \times 10 \stackrel{?}{=} 5 \times 3 $
Simplifica los lados izquierdo y derecho
$ 20 \stackrel{?}{=} 15 $
No, las dos fracciones no son equivalentes.

b)
$ \dfrac{3}{4} \rlap{\nearrow}{\searrow} \dfrac{12}{16} $
$ 3 \times 16 \stackrel{?}{=} 4 \times 12 $
Simplifica
$ 48 \stackrel{?}{=} 48 $
Sí, las dos fracciones son equivalentes.

c)
$ \dfrac{5}{7} \rlap{\nearrow}{\searrow} \dfrac{3}{10} $
$ 5 \times 10 \stackrel{?}{=} 7 \times 3 $
Simplifica
$ 50 \stackrel{?}{=} 21 $
Las dos fracciones no son equivalentes.

d)
$ \dfrac{2}{15} \rlap{\nearrow}{\searrow} \dfrac{14}{105} $
$ 2 \times 105 \stackrel{?}{=} 15 \times 14 $
Simplifica
$ 210 \stackrel{?}{=} 210 $
Sí, las dos fracciones son equivalentes.

e)
$ \dfrac{-8}{7} \rlap{\nearrow}{\searrow} \dfrac{24}{-21} $
$ (-8) \times (-21) \stackrel{?}{=} 7 \times 24 $
Simplifica
$ 168 \stackrel{?}{=} 168 $
Sí, las dos fracciones son equivalentes.

Ejemplo 2
Encuentra la incógnita dado que los siguientes pares de fracciones son equivalentes
a) $ \dfrac{2}{5} $ = $ \dfrac{x}{10} $

b) $ \dfrac{3}{y} $ = $ \dfrac{9}{15} $

c) $ \dfrac{y}{-3} $ = $ \dfrac{6}{9} $

d) $ \dfrac{14}{z} $ = $ \dfrac{-7}{2} $

Solución al Ejemplo 2
Dado que las fracciones son equivalentes, aplicamos la regla del producto cruzado
a)
$ \dfrac{2}{5} \rlap{\nearrow}{\searrow} \dfrac{x}{10} $
$ 2 \times 10 = 5 \times x $
Simplifica y resuelve para $ x $
$ 20 = 5x $
$ x = 20 / 5 = 4$

b)
$ \dfrac{3}{y} \rlap{\nearrow}{\searrow} \dfrac{9}{15} $
$ 3 \times 15 = y \times 9 $
Simplifica y resuelve para $ y $
$ 45 = 9 y $
$ y = 45 / 9 = 5$

c)
$ \dfrac{y}{-3} \rlap{\nearrow}{\searrow} \dfrac{6}{9} $
$ y \times 9 = (-3) \times 6 $
Simplifica y resuelve para $ y $
$ 9y = -18 $
$ y = -18 / 9 = -2$

d)
$ \dfrac{14}{z} \rlap{\nearrow}{\searrow} \dfrac{-7}{2} $
$ 14 \times 2 = z \times (-7) $
Simplifica y resuelve para $ y $
$ 28 = -7z $
$ z = 28 / (-7) = -4 $

Creando Fracciones Equivalentes

Puedes crear una fracción equivalente dividiendo o multiplicando tanto el numerador como el denominador de la fracción dada por el mismo número entero $ k $ distinto de CERO:
$ \quad \quad \quad \dfrac{a}{b} = \dfrac{a \div k}{b \div k} $

$ \quad \quad \quad \dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times k}{b \times k} $

Ejemplo 3
Escribe una fracción equivalente, mediante multiplicación, para cada una de las fracciones dadas. Hay muchas respuestas posibles.
a) $ \dfrac{3}{7} $ b) $ \dfrac{2}{-9} $ c) $ \dfrac{1}{5} $ d) $ \dfrac{-3}{2} $ e) $ \dfrac{-2}{-7} $

Solución al Ejemplo 3
a)
Multiplica el numerador y el denominador por cualquier número entero distinto de cero, por ejemplo $ 3 $.
$ \dfrac{3}{7} = \dfrac{3 \times 3}{7 \times 3} = \dfrac{9}{21} $

b)
Multiplica el numerador y el denominador por cualquier número entero distinto de cero, por ejemplo $ -2 $.
$ \dfrac{2}{-9} = \dfrac{2 \times (-2)}{-9 \times (-2)} = \dfrac{-4}{18} $

c)
Multiplica el numerador y el denominador por $ 5 $.
$ \dfrac{1}{5} = \dfrac{1 \times 5}{5 \times 5} = \dfrac{5}{25} $

d)
Multiplica el numerador y el denominador por $ -7 $.
$ \dfrac{-3}{2} = \dfrac{-3 \times (-7)}{2 \times (-7)} = \dfrac{21}{-14} $

e)
Multiplica el numerador y el denominador por $ -1 $.
$ \dfrac{-2}{-7} = \dfrac{-2 \times (-1)}{-7 \times (-1)} = \dfrac{2}{7} $

Ejemplo 4
Crea una fracción equivalente, mediante división, para cada una de las fracciones dadas.
a) $ \dfrac{8}{6} $ b) $ \dfrac{3}{12} $ c) $ \dfrac{-2}{10} $ d) $ \dfrac{-3}{-9} $ e) $ \dfrac{5}{-15} $

Solución al Ejemplo 4
a)
Encuentra el factor común del numerador $ 8 $ y el denominador $ 6 $, que es $ 2 $, luego divide el numerador y el denominador por este factor.
$ \dfrac{8}{6} = \dfrac{8 \div 2}{6 \div 2} = \dfrac{4}{3} $

b)
Encuentra el factor común del numerador $ 3 $ y el denominador $ 12 $, que es $ 3 $, luego divide el numerador y el denominador por este factor.
$ \dfrac{3}{12} = \dfrac{3 \div 3}{12 \div 3} = \dfrac{1}{4} $

c)
Encuentra el factor común del numerador $ -2 $ y el denominador $ 10 $, que es $ 2 $, luego divide el numerador y el denominador por este factor.
$ \dfrac{-2}{10} = \dfrac{-2 \div 2}{10 \div 2} = \dfrac{-1}{5} $

d)
Encuentra el factor común del numerador $ -3 $ y el denominador $ -9 $, que es $ 3 $, luego divide el numerador y el denominador por este factor.
$ \dfrac{-3}{-9} = \dfrac{-3 \div 3}{-9 \div 3} = \dfrac{-1}{-3} $

e)
Encuentra el factor común del numerador $ 5 $ y el denominador $ -15 $, que es $ 5 $, luego divide el numerador y el denominador por este factor.
$ \dfrac{5}{-15} = \dfrac{5 \div 5}{-15 \div 5} = \dfrac{1}{-3} $

Ejemplo 5
Dada una fracción, encuentra la que es equivalente.
1) Dada $ \dfrac{1}{3} $
¿Cuál de las siguientes es equivalente a la fracción dada?
a) $ \dfrac{2}{9} $        b) $ \dfrac{4}{15} $        c) $ \dfrac{3}{9} $        d) $ \dfrac{9}{3} $

2) Dada $ \dfrac{5}{9} $
¿Cuál de las siguientes es equivalente a la fracción dada?
a) $ \dfrac{9}{5} $        b) $ \dfrac{10}{27} $        c) $ \dfrac{-10}{18} $        d) $ \dfrac{10}{18} $

3) Dada $ \dfrac{-5}{7} $
¿Cuál de las siguientes es equivalente a la fracción dada?
a) $ \dfrac{15}{-21} $        b) $ \dfrac{-15}{14} $        c) $ \dfrac{10}{14} $        d) $ \dfrac{-4}{7} $

4) Dada $ \dfrac{-3}{-8} $
¿Cuál de las siguientes es equivalente a la fracción dada?
a) $ \dfrac{-3}{8} $        b) $ \dfrac{-6}{16} $        c) $ \dfrac{6}{-16} $        d) $ \dfrac{3}{8} $

Solución al Ejemplo 5
Una forma de responder esta pregunta es usar la multiplicación cruzada que ya hemos utilizado en el ejemplo 1. Otra forma es mostrar que una fracción se obtiene de la segunda mediante la multiplicación o división del numerador y el denominador por el mismo número entero.
1)
La fracción dada $ \dfrac{1}{3} $ es equivalente a la fracción $ \dfrac{3}{9} $ en la parte c) porque el producto cruzado de las dos fracciones $ 1 \times 9 = 3 \times 3 $ produce una declaración verdadera después del cálculo: $ 9 = 9 $.
Otra forma de explicar que las fracciones son equivalentes: si tanto el numerador como el denominador de la fracción dada $ \dfrac{1}{3} $ se multiplican por $ 3 $, obtenemos $ \dfrac{3}{9} $.

2)
La fracción dada $ \dfrac{5}{9} $ es equivalente a la fracción $ \dfrac{10}{18} $ en la parte d) porque el producto cruzado de las dos fracciones $ 5 \times 18 = 9 \times 10 $ produce una declaración verdadera después del cálculo: $ 90 = 90 $.
Si tanto el numerador como el denominador de la fracción dada $ \dfrac{5}{9} $ se multiplican por $ 2 $, obtenemos $ \dfrac{10}{18} $.

3)
La fracción dada $ \dfrac{-5}{7} $ es equivalente a la fracción $ \dfrac{-15}{21} $ en la parte a) porque el producto cruzado de las dos fracciones $ -5 \times 21 = 7 \times (-15) $ produce una declaración verdadera después del cálculo: $ -105 = -105 $.
Si tanto el numerador como el denominador de la fracción dada $ \dfrac{-5}{7} $ se multiplican por $ 3 $, obtenemos $ \dfrac{-15}{21} $.

4)
La fracción dada $ \dfrac{-3}{-8} $ es equivalente a la fracción $ \dfrac{3}{8} $ en la parte d) porque el producto cruzado de las dos fracciones $ -3 \times 8 = -8 \times 3 $ produce una declaración verdadera después del cálculo: $ -24 = -24 $.
Si tanto el numerador como el denominador de la fracción dada $ \dfrac{-3}{-8} $ se multiplican por $ -1 $, obtenemos $ \dfrac{3}{8} $.

Preguntas

¿Cuáles de los siguientes pares de fracciones son equivalentes?
1. $ \dfrac{1}{10} $ y $ \dfrac{2}{20} $
2. $ \dfrac{7}{3} $ y $ \dfrac{14}{8} $
3. $ \dfrac{2}{7} $ y $ \dfrac{10}{70} $
4. $ \dfrac{3}{15} $ y $ \dfrac{1}{15} $
5. $ \dfrac{9}{17} $ y $ \dfrac{18}{34} $
Encuentra la incógnita dado que los siguientes pares de fracciones son equivalentes
1. $ \dfrac{1}{4} $ = $ \dfrac{x}{16} $
2. $ \dfrac{7}{y} $ = $ \dfrac{-21}{15} $
3. $ \dfrac{y}{-6} $ = $ \dfrac{6}{9} $
4. $ \dfrac{3}{z} $ = $ \dfrac{15}{75} $

Respuestas a las Preguntas Anteriores

1. $ \dfrac{1}{10} = \dfrac{2}{20} $
2. $ \dfrac{7}{3} \ne \dfrac{14}{8} $
3. $ \dfrac{2}{7} \ne \dfrac{10}{70} $
4. $ \dfrac{3}{15} \ne \dfrac{1}{15} $
5. $ \dfrac{9}{17} = \dfrac{18}{34} $
Encuentra la incógnita dado que los siguientes pares de fracciones son equivalentes
1. $ x = 4 $
2. $ y = -5 $
3. $ y = -4 $
4. $ z = 15 $

Más Referencias y Enlaces

Fracciones
Calculadora de Fracciones
Fracciones Complejas con Variables