Simplificar con Fracciones

Presentamos ejemplos sobre cómo usar las propiedades de conmutatividad, asociatividad y distributividad y las diferentes reglas de fracciones para simplificar expresiones que incluyen fracciones. Más preguntas y sus respuestas también están incluidas. También se incluyen fracciones con variables.
NO use la calculadora para responder las preguntas.

Es posible que necesite revisar las propiedades de conmutatividad, asociatividad y distributividad y las diferentes reglas de fracciones antes de comenzar los ejemplos y preguntas a continuación.

Aplicación de las Propiedades para Simplificar Expresiones con Fracciones

Ejemplo 1
Escriba como una sola fracción reducida (simplificada) si es posible. Justifique sus pasos.
a) \( \quad \dfrac{5}{3} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{3} - \dfrac{3}{5} \)

b) \( \quad \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{8} \right) - \dfrac{x}{6} \)

c) \( \quad \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{9}{2} - \dfrac{3}{8} \right) - \dfrac{1}{3} \left( - \dfrac{3}{8} + \dfrac{5}{2} \right) \)

d) \( \quad \dfrac{x}{2} \left( \dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{2x} \right) \) para \( x \ne 0 \)

Solución al Ejemplo 1
Puede haber varias formas de reducir (o simplificar) las fracciones dadas. En estos ejemplos, aplicamos las propiedades anteriores para reducir las fracciones dadas con el fin de explicar el uso de estas propiedades.
a)
Dado: \( \dfrac{5}{3} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{3} - \dfrac{3}{5} \)
Use la conmutatividad de la suma para escribir
\( \quad\quad \dfrac{5}{3} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{3} - \dfrac{3}{5} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{5}{3} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{3}{5} \)
Use la asociatividad para escribir lo anterior como
\( \quad\quad = (\dfrac{5}{3} - \dfrac{1}{3}) + (\dfrac{1}{5} - \dfrac{3}{5}) \)
Sume y reste las fracciones dentro de los corchetes
\( \quad\quad = \dfrac{4}{3} - \dfrac{2}{5} \)
Reescriba con denominador común
\( \quad\quad = \dfrac{4}{3} \times \dfrac{5}{5} - \dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{3} \)
Simplifique
\( \quad\quad = \dfrac{20}{15} - \dfrac{6}{15} \)
Reste las fracciones
\( \quad\quad = \dfrac{14}{15} \)

b)
Dado: \( \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{8} \right) - \dfrac{x}{6} \)
Use la distributividad para escribir
\( \quad\quad \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{8} \right) - \dfrac{x}{6} = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{8} - \dfrac{x}{6} \)
Simplifique
\( \quad\quad = \dfrac{x}{6} + \dfrac{1}{24} - \dfrac{x}{6} \)
Use la conmutatividad para escribir lo anterior como
\( \quad\quad = \dfrac{x}{6} - \dfrac{x}{6} + \dfrac{1}{24} \)
Use la asociatividad para escribir lo anterior como
\( \quad\quad = (\dfrac{x}{6} - \dfrac{x}{6}) + \dfrac{1}{24} \)
Simplifique
\( \quad\quad = 0 + \dfrac{1}{24} \)
Simplifique
\( \quad\quad = \dfrac{1}{24} \)

c)
Dado: \( \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{9}{2} - \dfrac{3}{8} \right) - \dfrac{1}{3} \left( - \dfrac{3}{8} + \dfrac{5}{2} \right) \)
Use la distributividad (de derecha a izquierda) para factorizar la fracción \( \dfrac{1}{3} \).
\( \quad\quad = \dfrac{1}{3} \left( \left( \dfrac{9}{2} - \dfrac{3}{8} \right) - \left( - \dfrac{3}{8} + \dfrac{5}{2} \right) \right) \)
Use la distributividad para escribir lo anterior como
\( \quad\quad = \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{9}{2} - \dfrac{3}{8} + \dfrac{3}{8} - \dfrac{5}{2} \right) \)
Use la conmutatividad para escribir lo anterior como
\( \quad\quad = \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{9}{2} - \dfrac{5}{2} + \dfrac{3}{8} - \dfrac{3}{8} \right) \)
Use la asociatividad para escribir lo anterior como
\( \quad\quad = \dfrac{1}{3} \left( (\dfrac{9}{2} - \dfrac{5}{2}) + (\dfrac{3}{8} - \dfrac{3}{8}) \right) \)
Reste las fracciones dentro de los corchetes
\( \quad\quad = \dfrac{1}{3} (\dfrac{4}{2} + 0) \)
Reduzca la fracción \( \dfrac{4}{2} \) a \( \dfrac{2}{1} \)
\( \quad\quad = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{2}{1} \)
Multiplique fracciones y simplifique
\( = \dfrac{2}{3} \)

d)
Dado: \( \dfrac{x}{2} \left( \dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{2x} \right) \)
Use la distributividad para escribir
\( \quad\quad = \dfrac{x}{2} \left( \dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{2x} \right) = \dfrac{x}{2} \times \dfrac{1}{x} + \dfrac{x}{2} \times \dfrac{3}{2x} \)
Multiplique las fracciones en la expresión anterior
\( \quad\quad = \dfrac{x}{2x} + \dfrac{3x}{4x} \)
\( x \) es un factor común tanto al numerador como al denominador y, por lo tanto, las fracciones pueden reducirse
\( \quad\quad = \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{4} \)
Reescriba la fracción \( \dfrac{1}{2} \) con denominador \( 4 \) de la siguiente manera
\( \quad\quad = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{2} + \dfrac{3}{4} \)
Simplifique
\( \quad\quad = \dfrac{2}{4} + \dfrac{3}{4} \)
Sume las fracciones y simplifique
\( \quad\quad = \dfrac{5}{4} \)

Ejemplo 2
Expanda y simplifique las siguientes expresiones.
a) \( \quad \dfrac{1}{3} ( \dfrac{x}{2} - \dfrac{1}{2} ) + \dfrac{1}{2} ( \dfrac{2 x}{3} - \dfrac{4}{3} ) \)

b) \( \quad - \dfrac{1}{2} ( \dfrac{1}{5} - \dfrac{x}{5} ) + \dfrac{1}{5} ( \dfrac{3 x}{2} - \dfrac{3}{2} ) \)

Solución al Ejemplo 2
a)
Dado: \( \quad \dfrac{1}{3} ( \dfrac{x}{2} - \dfrac{1}{2} ) + \dfrac{1}{2} ( \dfrac{2 x}{3} - \dfrac{4}{3} ) \)
Use la distributividad para expandir las expresiones dadas
\( \quad = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{x}{2} - \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} \times \dfrac{2 x}{3} - \dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{3} \)
Multiplique fracciones y simplifique
\( \quad = \dfrac{x}{6} - \dfrac{1}{6} + \dfrac{2x}{6} - \dfrac{4}{6} \)
Las fracciones tienen un denominador común y, por lo tanto, lo anterior puede escribirse como
\( \quad = \dfrac{x + 2x - 1 - 4}{6} \)
Simplifique
\( \quad = \dfrac{3x - 5}{6} \)

b)
Dado: \( \quad - \dfrac{1}{2} ( \dfrac{1}{5} - \dfrac{x}{5} ) + \dfrac{1}{5} ( \dfrac{3 x}{2} - \dfrac{3}{2}) \)
Use la distributividad para expandir las expresiones dadas
\( \quad = - \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{2} \times (- \dfrac{x}{5}) + \dfrac{1}{5} \times \dfrac{3 x}{2} + \dfrac{1}{5} \times (- \dfrac{3}{2}) \)
Multiplique fracciones y simplifique
\( \quad = - \dfrac{1}{10} + \dfrac{x}{10} + \dfrac{3x}{10} - \dfrac{3}{10} \)
Las fracciones en la expresión anterior tienen un denominador común y, por lo tanto, lo anterior puede escribirse como
\( \quad = \dfrac{-1 + x + 3x - 3}{6} \)
Simplifique
\( \quad = \dfrac{4x - 4}{10} \)
Factorice numerador y denominador
\( \quad = \dfrac{2(2x - 2)}{2 \times 5} \)
Reduzca
\( = \dfrac{2x - 2}{5} \)

Preguntas

NO use la calculadora

Escriba como una sola fracción reducida (simplificada) si es posible.

1. \( \quad \dfrac{11}{6} + \dfrac{3}{10} - \dfrac{5}{6} + \dfrac{3}{10} \)
   
   
2. \( \quad \dfrac{2}{5} \left( \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{5} \right) - \dfrac{x}{5} \)
   
   
3. \( \quad \dfrac{1}{7} \left( \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{5} \right) - \dfrac{1}{7} \left( - \dfrac{3}{5} + \dfrac{5}{2} \right) \)
   
   
4. \( \quad \dfrac{- x}{3} \left( \dfrac{1}{2 x} + \dfrac{1}{5x} \right) \) para \( x \ne 0 \)
   
   
5. \( \quad \dfrac{1}{5} ( \dfrac{x}{4} - \dfrac{1}{4} ) - \dfrac{3}{4} ( \dfrac{2 x}{5} - \dfrac{4}{5} ) \)
   
   
6. \( \quad - \dfrac{1}{9} ( \dfrac{1}{3} - \dfrac{x}{3} ) + \dfrac{1}{3} ( \dfrac{3 x}{9} - \dfrac{1}{3} ) \)
   
   

Respuestas a las Preguntas Anteriores

1. \( \quad \dfrac{11}{6} + \dfrac{3}{10} - \dfrac{5}{6} + \dfrac{3}{10} = \dfrac{8}{5}\)
   
   
2. \( \quad \dfrac{2}{5} \left( \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{5} \right) - \dfrac{x}{5} = \dfrac{2}{25}\)
   
   
3. \( \quad \dfrac{1}{7} \left( \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{5} \right) - \dfrac{1}{7} \left( - \dfrac{3}{5} + \dfrac{5}{2} \right) = \dfrac{-2}{7} \)
   
   
4. \( \quad \dfrac{- x}{3} \left( \dfrac{1}{2 x} + \dfrac{1}{5x} \right) \) para \( x \ne 0 = \dfrac{-7}{30}\)
   
   
5. \( \quad \dfrac{1}{5} ( \dfrac{x}{4} - \dfrac{1}{4} ) - \dfrac{3}{4} ( \dfrac{2 x}{5} - \dfrac{4}{5} ) = \dfrac{-5x+11}{20}\)
   
   
6. \( \quad - \dfrac{1}{9} ( \dfrac{1}{3} - \dfrac{x}{3} ) + \dfrac{1}{3} ( \dfrac{3 x}{9} - \dfrac{1}{3} ) = \dfrac{4x-4}{27}\)
   
   

Más Referencias y Enlaces