Aplicaciones de Funciones

En esta lección, resolvemos problemas geométricos prácticos expresando cantidades como área, perímetro, volumen, longitud de cuerda y distancia como funciones de una variable.

Problema 1: Área de un Triángulo Rectángulo

Un triángulo rectángulo tiene un lado \( x \) y la hipotenusa mide 10 metros. Encuentra el área como función de \( x \).

Solución

El área de un triángulo rectángulo con catetos \( x \) y \( y \) es:

\[ A = \frac{1}{2}xy \]

Usando el teorema de Pitágoras:

\[ 10^2 = x^2 + y^2 \] \[ y = \sqrt{100 - x^2} \]

Sustituyendo en la fórmula del área:

\[ A(x) = \frac{1}{2}x\sqrt{100 - x^2} \]

Problema 2: Perímetro de un Rectángulo

Un rectángulo tiene un área de \(100 \text{ cm}^2\) y un ancho \(x\). Encuentra el perímetro como función de \(x\).

Solución

\[ 100 = xy \] \[ y = \frac{100}{x} \] \[ P = 2(x + y) \] \[ P(x) = 2\left(x + \frac{100}{x}\right) \]

Problema 3: Área de un Cuadrado

Encuentra el área de un cuadrado como función de su perímetro \(x\).

Solución

\[ x = 4L \] \[ L = \frac{x}{4} \] \[ A = L^2 \] \[ A(x) = \left(\frac{x}{4}\right)^2 = \frac{x^2}{16} \]

Problema 4: Volumen de un Cilindro

Un cilindro circular recto tiene radio \(r\) y altura \(2r\). Encuentra el volumen como función de \(r\).

Solución

\[ V = \pi r^2 h \] \[ V(r) = \pi r^2 (2r) \] \[ V(r) = 2\pi r^3 \]

Problema 5: Longitud de una Cuerda como Función de la Longitud de Arco

Un círculo tiene radio \( r = 10 \) cm. Expresa la longitud de la cuerda \(L\) como función de la longitud de arco \(s\).

Diagrama de la relación entre cuerda y arco

Solución

\[ \sin\left(\frac{a}{2}\right) = \frac{L/2}{r} \] \[ L = 20 \sin\left(\frac{a}{2}\right) \] \[ s = ra = 10a \] \[ a = \frac{s}{10} \] \[ L(s) = 20 \sin\left(\frac{s}{20}\right) \]

Problema 6: Distancia como Función de \(x\)

Distancia compuesta por las hipotenusas de dos triángulos rectángulos

Solución

\[ d_1 = \sqrt{x^2 + 9} \] \[ d_2 = \sqrt{25 + (7 - x)^2} \] \[ d(x) = \sqrt{x^2 + 9} + \sqrt{25 + (7 - x)^2} \]

Ejercicios

  1. Expresa el área \(A\) de un disco en términos de su circunferencia \(C\).
  2. El ancho de un rectángulo es \(w\). Expresa el área \(A\) en términos del perímetro \(P\) y el ancho \(w\).

Respuestas

\[ A = \frac{C^2}{4\pi} \] \[ A = \frac{1}{2}w(P - 2w) \]

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