Función Gaussiana

Funciones gaussianas de la forma
\[ \large{ f(x) = a e^{-\dfrac{(x-b)^2}{c^2}} } \]
y se exploran las propiedades de sus gráficas.

Propiedades de las Gráficas de Funciones Gaussianas

A continuación se muestran funciones gaussianas con \( a = 1 \), \( b = 0 \) y diferentes valores de \( c \). Note que todas las funciones de la forma \( f(x) = e^{-\dfrac{x^2}{c^2}} \) tienen un máximo igual a \( 1 \) en \( x = 0 \). También concluimos que el parámetro \( c \) controla el ancho de la gráfica de \( f \). A medida que \( c \) aumenta, el ancho de la gráfica se hace mayor.

Funciones gaussianas con diferentes anchos
A continuación se muestran funciones gaussianas con \( a = 1 \), \( c^2 = 2 \) y diferentes valores de \( b \). También concluimos que el parámetro \( b \) controla la posición horizontal (o desplazamiento) de la gráfica. Para \( b \) positivo la gráfica se desplaza hacia la derecha, y cuando \( b \) es negativo, la gráfica se desplaza hacia la izquierda.

Funciones gaussianas con diferentes posiciones horizontales

Función Gaussiana como Función de Densidad de Probabilidad

La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria que está distribuida normalmente con media \( \mu \) y varianza \( \sigma^2 \), está dada por la forma gaussiana. \[ \large{ f(x) = \dfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\dfrac{x-\mu}{\sigma} \right)^2} } \] y \[ \large{\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\dfrac{x-\mu}{\sigma} \right)^2} dx = 1 } \]

Tutorial Interactivo para Explorar Más Funciones Gaussianas

Cambie los parámetros \( a \), \( b \) y \( c \) en la función \[ f(x) = a e^{-\frac{(x-b)^2}{c^2}} \] siguiendo las actividades a continuación y explique.

1 - haga clic en el botón "dibujar" para comenzar. Se muestra la gráfica de la función gaussiana.

2 - Use los controles deslizantes para establecer el parámetro b en 0 y c en 1 y cambie el parámetro a. ¿Qué sucede con la gráfica?

3 - Ahora establezca los parámetros a en 1 y c en 1 y cambie el parámetro b. ¿Qué sucede con la gráfica? Explique analíticamente.

4 - Establezca los parámetros a en 1 y b en 0 y cambie el parámetro c. ¿Qué sucede con la gráfica cuando c toma valores pequeños? ¿Qué sucede con la gráfica cuando c toma valores grandes?

Respuestas a las Preguntas Anteriores

2 - La gráfica se expande verticalmente a medida que a aumenta. Los valores y de los puntos que forman la gráfica se multiplican por el valor de a.

3 - A medida que b aumenta, la gráfica se desplaza hacia la derecha. A medida que b disminuye, la gráfica se desplaza hacia la izquierda.

4 - Cuando c se hace pequeño, la gráfica se contrae horizontalmente. Cuando c se hace grande, la gráfica se expande horizontalmente.

Más Referencias y Enlaces

Aplicaciones, Gráficas, Dominio y Rango de Funciones