Preguntas del Examen de Práctica de Matemáticas de Grado 10

Solución a: Expande los lados izquierdos: \( -2x+4-y-3=3 \rightarrow -2x-y=2 \) (Ec. I) y \( 2x+6-3y+6=10 \rightarrow 2x-3y=-2 \) (Ec. II). Suma (I) y (II) para eliminar \( x \): \( (-2x-y) + (2x-3y) = 2 + (-2) \rightarrow -4y = 0 \rightarrow y = 0 \). Sustituye \( y=0 \) en (I): \( -2x-0=2 \rightarrow x = -1 \). Respuesta Final: (-1, 0).

Solución b: Multiplica la primera ecuación por 3 y la segunda por 5: \( x-1+3y=15 \rightarrow x+3y=16 \) (I) y \( 10(x+3)-y=35 \rightarrow 10x-y=5 \) (II). Multiplica (II) por 3: \( 30x-3y=15 \). Suma a (I): \( 31x=31 \rightarrow x=1 \). Sustituye: \( 1+3y=16 \rightarrow 3y=15 \rightarrow y=5 \). Respuesta Final: (1, 5).

Solución c: Resuelve (II) para \( y \): \( 2y = 4x-6 \rightarrow y = 2x-3 \). Sustituye en (I): \( (x-1)^2 + (2x-3) = -1 \rightarrow x^2-2x+1+2x-3 = -1 \rightarrow x^2-1=0 \). Así \( x = 1 \) o \( x = -1 \). Para \( x=1, y=-1 \). Para \( x=-1, y=-5 \). Respuesta Final: (1, -1) y (-1, -5).

Solución a: Primero, expande los productos: \( (x+2)(x-1) = x^2+x-2 \) y \( (x-2)^2 = x^2-4x+4 \). Aplica el signo negativo: \( -(x^2+x-2) = -x^2-x+2 \). Combina: \( (-x^2-x+2) + (x^2-4x+4) = -5x+6 \). Respuesta Final: -5x+6.

Solución b: Expande el producto cúbico: \( x(x^2+3x-3) - 2(x^2+3x-3) = x^3+3x^2-3x - 2x^2-6x+6 = x^3+x^2-9x+6 \). Expande la diferencia de cuadrados: \( (x-1)(x+1) = x^2-1 \). Combina: \( (x^3+x^2-9x+6) - (x^2-1) = x^3+x^2-9x+6-x^2+1 = x^3-9x+7 \). Respuesta Final: x³-9x+7.

Solución a: Identifica el MCD (Máximo Común Divisor): \( 3 \) y \( x^2 \). Forma factorizada: 3x²(x + 2).

Solución b: Factoriza el binomio común \( (x-3) \): \( (x-3)[(x^2+3x+2) - (x+1)] = (x-3)(x^2+2x+1) \). Reconociendo el trinomio cuadrado perfecto \( a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2 \), obtenemos: (x - 3)(x + 1)².

Solución c: Usa la fórmula de la Diferencia de Cuadrados \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \). Aquí \( a=9x \) y \( b=4y \). Respuesta Final: (9x - 4y)(9x + 4y).

Solución d: Factoriza -1: \( -(6x^2-7x+2) \). Usando el método AC donde \( a \cdot c = 12 \) y \( b = -7 \), los números son -3 y -4. Factorizando da: -(2x - 1)(3x - 2).

Solución a: Factoriza -2 de los términos con x: \( -2(x^2+x)+4 \). Suma y resta \( (1/2)^2 = 1/4 \) adentro: \( -2[(x+1/2)^2 - 1/4] + 4 = -2(x+1/2)^2 + 1/2 + 4 \). Forma del vértice: \( f(x) = -2(x+0.5)^2 + 4.5 \). Vértice: (-0.5, 4.5).

Solución b: Intersección con y: \( f(0) = \mathbf{4} \). Para las intersecciones con x, resuelve \( -2x^2-2x+4=0 \rightarrow -2(x^2+x-2)=0 \rightarrow -2(x+2)(x-1)=0 \). Intersecciones: x = 1, x = -2.

Solución c: El eje de simetría es la línea vertical a través del vértice \( x = h \). Respuesta Final: x = -0.5.

Tabla a: Prueba la razón \( y/x \): \( 1.8/0.3 = 6, 4.2/0.7 = 6 \). Esta es una proporción directa con la fórmula \( y = 6x \). Para \( x=0.2, y = 6(0.2) = \mathbf{1.2} \).

Tabla b: Prueba el producto \( xy \): \( 0.1 \cdot 2 = 0.2, 0.5 \cdot 0.4 = 0.2 \). Esta es una proporción inversa con la fórmula \( xy = 0.2 \). Para \( x=20, y = 0.2/20 = \mathbf{0.01} \).

Tabla c: Las razones y los productos no son constantes. Por lo tanto, no se puede establecer una regla de proporcionalidad específica para encontrar el valor faltante.

Aplica el Teorema de Pitágoras: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
\( (2x+1)^2 + 12^2 = (4x-1)^2 \)
\( (4x^2 + 4x + 1) + 144 = 16x^2 - 8x + 1 \)
\( 12x^2 - 12x - 144 = 0 \). Divide por 12: \( x^2 - x - 12 = 0 \).
Factorizar da \( (x-4)(x+3) = 0 \). Dado que la longitud debe ser positiva, x = 4.
Lados: \( \overline{AB}=2(4)+1=9 \), \( \overline{BC}=12 \), \( \overline{AC}=4(4)-1=15 \).
Ángulos: \( \angle C = \tan^{-1}(9/12) \approx \mathbf{36.87^\circ} \). \( \angle A = 90 - 36.87 = \mathbf{53.13^\circ} \).

Usando la Identidad Pitagórica: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).
Sustituye el valor dado: \( (0.6)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \)
\( 0.36 + \cos^2 \alpha = 1 \rightarrow \cos^2 \alpha = 0.64 \).
Dado que \( \alpha \) es agudo, tomamos la raíz positiva: \( \cos \alpha = 0.8 \).
Usando la identidad \( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \):
\( \tan \alpha = \frac{0.6}{0.8} = \mathbf{0.75} \).

Debido a que \( BE \parallel CD \), los triángulos \( ABE \) y \( ACD \) son semejantes (\( \triangle ABE \sim \triangle ACD \)) por Semejanza AA.
Encuentra x: \( \frac{AB}{AC} = \frac{BE}{CD} \rightarrow \frac{10}{10+2} = \frac{6}{x} \rightarrow 10x = 72 \rightarrow \mathbf{x = 7.2} \).
Encuentra y: \( \frac{AE}{AD} = \frac{EB}{DC} \rightarrow \frac{11}{11+y} = \frac{6}{7.2} \).
\( 6(11+y) = 79.2 \rightarrow 66 + 6y = 79.2 \rightarrow 6y = 13.2 \rightarrow \mathbf{y = 2.2} \).

Aplica la Ley de los Senos: \( \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \).
\( \frac{10}{\sin A} = \frac{14}{\sin 49^\circ} \rightarrow \sin A = \frac{10 \cdot \sin 49^\circ}{14} \approx 0.539 \).
\( A = \sin^{-1}(0.539) \approx \mathbf{32.62^\circ} \).
Encuentra el ángulo B: \( B = 180^\circ - (49^\circ + 32.62^\circ) = \mathbf{98.38^\circ} \).
Encuentra el lado \( b \): \( \frac{b}{\sin 98.38^\circ} = \frac{14}{\sin 49^\circ} \rightarrow b = \frac{14 \cdot \sin 98.38^\circ}{\sin 49^\circ} \approx \mathbf{18.35 \text{ cm}} \).

1. La intersección en y está en \( (0, 3) \). Sustituye en la ecuación: \( A(0) + B(3) = 1 \rightarrow 3B = 1 \rightarrow \mathbf{B = 1/3} \).
2. La línea pasa por \( (1, 5) \). Sustituye \( x=1, y=5, B=1/3 \):
\( A(1) + (1/3)(5) = 1 \rightarrow A + 5/3 = 1 \).
\( A = 1 - 5/3 = \mathbf{-2/3} \).

Sea \( x \) = volumen de la solución al 20% e \( y \) = volumen de la solución al 55%.
Ecuación 1 (Volumen Total): \( x + y = 5 \)
Ecuación 2 (Contenido de Ácido): \( 0.20x + 0.55y = 0.45(5) \rightarrow 0.20x + 0.55y = 2.25 \).
Multiplica la Ec. 1 por 0.20: \( 0.20x + 0.20y = 1.0 \).
Resta de la Ec. 2: \( 0.35y = 1.25 \rightarrow \mathbf{y \approx 3.58 \text{ L}} \).
Sustituye de nuevo: \( x = 5 - 3.58 = \mathbf{1.42 \text{ L}} \).

Sea \( x \) = distancia a 80 km/h e \( y \) = distancia a 120 km/h.
Usando la fórmula \( \text{Tiempo} = \frac{\text{Distancia}}{\text{Velocidad}} \):
Ec 1 (Distancia Total): \( x + y = 1000 \)
Ec 2 (Tiempo Total): \( \frac{x}{80} + \frac{y}{120} = 10 \).
Multiplica la Ec 2 por 240 (MCM): \( 3x + 2y = 2400 \).
De la Ec 1, \( y = 1000 - x \). Sustituye en la Ec 2 simplificada:
\( 3x + 2(1000 - x) = 2400 \rightarrow 3x + 2000 - 2x = 2400 \).
x = 400 km a 80 km/h, e y = 600 km a 120 km/h.

Sea \( C = (-1, b) \). Para que \( AC \) sea la hipotenusa, el ángulo recto debe estar en el vértice \( B \). Por Pitágoras: \( AC^2 = AB^2 + BC^2 \).
Fórmula de la Distancia al Cuadrado: \( d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 \).
\( AB^2 = (2 - (-3))^2 + (3 - 4)^2 = 25 + 1 = 26 \).
\( BC^2 = (-3 - (-1))^2 + (4 - b)^2 = 4 + (4 - b)^2 \).
\( AC^2 = (2 - (-1))^2 + (3 - b)^2 = 9 + (3 - b)^2 \).
Establece la ecuación: \( 9 + (3 - b)^2 = 26 + 4 + (4 - b)^2 \).
\( 9 + 9 - 6b + b^2 = 30 + 16 - 8b + b^2 \).
\( 18 - 6b = 46 - 8b \rightarrow 2b = 28 \rightarrow \mathbf{b = 14} \). Coordenada final: (-1, 14).

1. Encuentra el Presupuesto Total (\(B\)):
Dado que el 5% del presupuesto es $200, escribimos la ecuación:
\( 0.05 \cdot B = 200 \)
\( B = \frac{200}{0.05} \)
\( B = \$4,000 \)

2. Determina el total combinado para Vivienda (\(h\)) y Comida (\(f\)):
Estas categorías componen el 70% del presupuesto:
\( h + f = 0.70 \cdot 4000 \)
\( h + f = \$2,800 \) — (Ecuación I)

3. Relaciona la Vivienda con la Comida:
La vivienda es $500 más que la comida:
\( h = f + 500 \) — (Ecuación II)

4. Resuelve el sistema de ecuaciones:
Sustituye la Ecuación II en la Ecuación I:
\( (f + 500) + f = 2800 \)
\( 2f + 500 = 2800 \)
\( 2f = 2300 \)
\( f = \$1,150 \)

5. Encuentra el costo de Vivienda:
\( h = 1150 + 500 \)
\( h = \$1,650 \)

Respuesta Final: Linda gasta $1,650 en vivienda y $1,150 en comida.

Fórmula para el Área de una Cometa: \( \text{Área} = \frac{\overline{AC} \cdot \overline{BD}}{2} \).
En el triángulo rectángulo \( DMC \), \( \angle MDC = 45^\circ \), por lo que es isósceles. \( \overline{DM} = \overline{MC} \).
\( \overline{DM}^2 + \overline{MC}^2 = 10^2 \rightarrow 2\overline{DM}^2 = 100 \rightarrow \overline{DM} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \).
Diagonal 1 (\( \overline{BD} \)) = \( 2 \cdot 5\sqrt{2} = 10\sqrt{2} \).
Diagonal 2 (\( \overline{AC} \)) = \( \overline{AM} + \overline{MC} \). \( \overline{AM} = 5\sqrt{2} \cdot \tan(65^\circ) \approx 15.15 \).
\( \overline{AC} = 15.15 + 7.07 = 22.22 \).
Área: \( \frac{22.22 \cdot 14.14}{2} \approx \mathbf{157.23 \text{ cm}^2} \).

1. Sea el ángulo transversal en la línea \( n \) \( \alpha = 33^\circ \). Dado que \( m \parallel n \), el Ángulo Correspondiente \( \beta \) en la línea \( m \) también es \( 33^\circ \).
2. Dentro del triángulo formado por las intersecciones, la suma de los ángulos debe ser \( 180^\circ \). Los ángulos conocidos son \( 89^\circ \) y \( 34^\circ \). El tercer ángulo \( \theta = 180 - (89 + 34) = \mathbf{57^\circ} \).
3. El ángulo total entre la línea \( m \) y la línea \( r \) es la suma de los ángulos adyacentes \( \beta \) y \( \theta \):
\( \text{Ángulo Total} = 33^\circ + 57^\circ = \mathbf{90^\circ} \).
Dado que el ángulo es \( 90^\circ \), las líneas \( m \) y \( r \) son perpendiculares.

Volumen de una Pirámide: \( V = \frac{1}{3} \cdot \text{Área de la Base} \cdot h \).
Sea el lado de la base cuadrada \( s \). Diagonal \( d = s\sqrt{2} \rightarrow 10 = s\sqrt{2} \rightarrow s^2 = 50 \) (Área de la Base).
Sustituye los valores: \( 1500 = \frac{1}{3} \cdot 50 \cdot h \).
\( 4500 = 50h \rightarrow \mathbf{h = 90 \text{ cm}} \).