Pregunta 1
Una pelota es lanzada hacia arriba desde la cima de un edificio de 20 metros de altura. Su altura $h$ en metros después de $t$ segundos está dada por:
$$h(t) = -5t^2 + 15t + 20$$
a) ¿Cuánto tiempo tarda la pelota en alcanzar su altura máxima?
b) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota?
c) ¿Cuándo golpea la pelota el suelo?
Ver solución
a) La altura máxima ocurre en el vértice de la parábola:
$$t = \frac{-b}{2a} = \frac{-15}{2(-5)} = \frac{15}{10} = 1.5\ \text{segundos}$$
b) Sustituya $t = 1.5$ en la ecuación para obtener la altura máxima:
$$h(1.5) = -5(1.5)^2 + 15(1.5) + 20 = -11.25 + 22.5 + 20 = 31.25\ \text{metros}$$
c) Establezca $h(t) = 0$:
$$-5t^2 + 15t + 20 = 0 \Rightarrow t^2 - 3t - 4 = 0$$
Factorice:
$$(t - 4)(t + 1) = 0 \Rightarrow t = 4\ \text{o}\ t = -1$$
El tiempo no puede ser negativo, por lo tanto, la pelota golpea el suelo $4$ segundos después de ser lanzada.
Pregunta 2
Tienes $30$ monedas en monedas de diez centavos y de veinticinco centavos. Su valor total es de $\$5.10$.
a) Establezca un sistema de ecuaciones para representar la situación.
b) Resuelva el sistema para encontrar cuántas monedas de diez y de veinticinco centavos tiene.
Ver solución
a) Sea $d$ el número de monedas de diez centavos y $q$ el número de monedas de veinticinco centavos.
El número total de monedas es $30$:
$$d + q = 30 \quad \text{(1)}$$
Una moneda de diez centavos vale $10$ centavos y una de veinticinco vale $25$ centavos, por lo tanto:
$$0.10d + 0.25q = 5.10 \quad \text{(2)}$$
b) De la ecuación (1): $d = 30 - q$
Sustituya en la ecuación (2):
$$0.10(30 - q) + 0.25q = 5.10$$
Expanda y simplifique:
$$3 - 0.10q + 0.25q = 5.10$$
$$0.15q = 2.10$$
$$q = 14$$
Entonces $d = 16$.
Tienes $16$ monedas de diez centavos y $14$ monedas de veinticinco centavos.
Pregunta 3
Un círculo tiene un centro en $(3,-2)$ y pasa por el punto $(6,2)$.
a) Encuentre el radio del círculo.
b) Escriba la ecuación del círculo en forma estándar: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ donde $(a,b)$ es el centro del círculo.
Ver solución
a) El radio es la distancia desde el centro hasta cualquier punto del círculo, de ahí el uso de la fórmula de distancia para encontrar el radio $r$ usando el centro $(3,-2)$ y el punto $(6,2)$:
$$r = \sqrt{(6 - 3)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$
b) La ecuación del círculo está dada por:
$$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$$
Pregunta 4
Simplifique:
$$\frac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6} \cdot \frac{x - 2}{x + 3}$$
Ver solución
Factorice todas las expresiones:
$$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$$
$$x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$$
Ahora sustituya en la expresión dada:
$$\frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)(x + 2)} \cdot \frac{x - 2}{x + 3}$$
Cancele los factores comunes $(x - 3)$ y $(x + 3)$ para obtener:
$$\frac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6} \cdot \frac{x - 2}{x + 3} = \frac{x - 2}{x + 2}$$
Cuando cancelamos factores comunes, como se hizo anteriormente, estamos dividiendo por factores comunes. No podemos dividir por cero, por lo tanto necesitamos imponer las condiciones de que los factores comunes cancelados no pueden ser cero:
$$x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$$
$$x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$$
La expresión dada se simplifica a:
$$\frac{x - 2}{x + 2}, \quad \text{donde } x \neq 3,\ -3$$
Pregunta 5
Resuelva la ecuación:
$$\sqrt{2x + 3} = x - 1$$
Ver solución
Eleve ambos lados al cuadrado:
$$(\sqrt{2x + 3})^2 = (x - 1)^2$$
$$2x + 3 = x^2 - 2x + 1$$
Reorganice:
$$0 = x^2 - 4x - 2$$
Use la fórmula cuadrática:
$$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2}$$
$$= \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 2 \pm \sqrt{6}$$
Compruebe si hay soluciones extrañas:
Pruebe $x = 2 + \sqrt{6} \approx 4.45$:
LHS = $\sqrt{2(4.45) + 3} = \sqrt{11.9} \approx 3.45$
RHS = $4.45 - 1 = 3.45$ (Válida)
Pruebe $x = 2 - \sqrt{6} \approx -0.45$:
LHS = $\sqrt{2(-0.45) + 3} = \sqrt{-0.9 + 3} = \sqrt{2.1} \approx 1.45$
RHS = $-0.45 - 1 = -1.45$ (Inválida)
La solución $x = 2 + \sqrt{6}$ verifica ambos lados de la ecuación dada pero $x = 2 - \sqrt{6}$ no lo hace y, por lo tanto, es una solución extraña.
La solución a la ecuación dada es: $$x = 2 + \sqrt{6}$$
Pregunta 6
Dados los puntos: $A(2, 3)$, $B(6, 7)$, $C(10, 5)$, $D(6, 1)$
Demuestre que el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo.
Ver solución
Encuentre la pendiente de $AB$ y $CD$:
$$m_{AB} = \frac{7 - 3}{6 - 2} = \frac{4}{4} = 1$$
$$m_{CD} = \frac{5 - 1}{10 - 6} = \frac{4}{4} = 1$$
Encuentre la pendiente de $BC$ y $AD$:
$$m_{BC} = \frac{5 - 7}{10 - 6} = \frac{-2}{4} = -0.5$$
$$m_{AD} = \frac{1 - 3}{6 - 2} = \frac{-2}{4} = -0.5$$
Dado que ambos pares de lados opuestos son paralelos, ABCD es un paralelogramo.
Pregunta 7
Resuelva para $x$:
$$\dfrac{5^{2x}}{5} = 625$$
Ver solución
Primero, exprese 625 como una potencia de 5:
$$625 = 5^4$$
Use las reglas de los exponentes para escribir:
$$\dfrac{5^{2x}}{5} = 5^{2x-1}$$
Reescriba la ecuación:
$$5^{2x - 1} = 5^4$$
Lo cual da la ecuación algebraica:
$$2x - 1 = 4$$
Resuelva para $x$:
$$x = \frac{5}{2}$$
Pregunta 8
En el triángulo $ABC$, el lado $a = 7$ cm, el lado $b = 10$ cm, y el ángulo $C = 120^\circ$.
Encuentre la longitud del lado $c$.
Ver solución
Use la Ley de los Cosenos:
$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)$$
$$c^2 = 7^2 + 10^2 - 2(7)(10)\cos(120^\circ)$$
$$c^2 = 49 + 100 - 140(-0.5)$$
$$c^2 = 149 + 70 = 219$$
$$c = \sqrt{219} \approx 14.8 \ \text{cm}$$
Pregunta 9
La función $f(x) = a(x - 2)^2 + 3$ pasa por el punto $(4, 15)$.
Encuentre el coeficiente \( a \) y determine las coordenadas del vértice.
Ver solución
Sustituya $x = 4$, $f(x) = 15$ en la ecuación:
$$15 = a(4 - 2)^2 + 3$$
Resuelva para $a$:
$$15 = a(2)^2 + 3$$
$$a = 3$$
La función $f(x)$ es una función cuadrática dada por:
$$f(x) = 3(x - 2)^2 + 3$$
De la forma del vértice $a(x - h)^2 + k$, el vértice es $(h, k) = (2, 3)$.
Pregunta 11
Desde un punto a $50$ m de distancia, el ángulo de elevación a la cima de una torre es de $32^\circ$.
a) ¿Qué altura tiene la torre?
b) Si un dron está $30$ m por encima de la torre, ¿cuál es el nuevo ángulo de elevación desde el mismo punto hasta el dron?
Ver solución
a) Sea $h$ la altura de la torre. Use la fórmula de la tangente en un triángulo rectángulo:
$$\tan(32^\circ) = \frac{h}{50}$$
Resuelva para $h$:
$$h = 50 \cdot \tan(32^\circ) \approx 50 \cdot 0.6249 = 31.2\ \text{m}$$
b) Altura del dron: $31.2 + 30 = 61.2$
Sea $\theta$ el ángulo de elevación al dron:
$$\tan(\theta) = \frac{61.2}{50}$$
$$\theta = \tan^{-1}(1.224) \approx 50.8^\circ$$
Pregunta 12
Un barco tarda 3 horas en viajar río abajo desde el punto A al punto B, y 5 horas en viajar río arriba desde B hasta A. ¿Cuánto tiempo le tomaría al mismo barco ir de A a B en aguas tranquilas (sin corriente)?
Ver solución
Sea:
$S$ la velocidad del barco en aguas tranquilas (en km/h),
$r$ la velocidad de la corriente del río (en km/h),
$d$ la distancia entre los puntos A y B (en km).
De lo dado: Río abajo:
$$d = 3(S + r)$$
Río arriba:
$$d = 5(S - r)$$
Igualando ambas expresiones para $d$:
$$3(S + r) = 5(S - r)$$
Expanda ambos lados:
$$3S + 3r = 5S - 5r$$
Ponga los términos con $r$ en un lado y los términos con $S$ en el otro lado:
$$8r = 2S$$
Resuelva para $r$:
$$r = \frac{S}{4}$$
Ahora sustituya $r = \frac{S}{4}$ en la ecuación de río abajo:
$$d = 3\left(S + \frac{S}{4}\right) = 3\left(\frac{5S}{4}\right) = \frac{15S}{4}$$
Ahora, en aguas tranquilas (sin corriente), la velocidad es simplemente $S$. Tiempo para viajar de A a B en aguas tranquilas:
$$\text{Tiempo} = \frac{d}{S} = \frac{\frac{15S}{4}}{S} = \frac{15}{4} = 3.75 \text{ horas}$$
Por lo tanto, el tiempo que le tomaría al barco ir de A a B en aguas tranquilas es de $3 \text{ horas y } 45 \text{ minutos}$.
Pregunta 13
¿Para qué valor de $x$ la función $f(x) = -3(x - 10)(x - 4)$ tendrá un valor máximo? Encuentre el valor máximo.
Ver solución
Expanda la función:
$$f(x) = -3(x^2 - 14x + 40) = -3x^2 + 42x - 120$$
Esta es una función cuadrática de la forma $f(x) = ax^2 + bx + c$ donde $a = -3, \, b = 42$.
La función alcanza su máximo en el vértice cuya coordenada x está dada por:
$$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{42}{2(-3)} = \frac{42}{6} = 7$$
Para encontrar el valor máximo, sustituya $x = 7$ en la función:
$$f(7) = -3(7 - 10)(7 - 4) = -3(-3)(3) = -3 \cdot -9 = 27$$
La función tiene un máximo en $x = 7$ y el valor máximo de $f(x)$ es $f(7) = 27$.
Pregunta 14
Una clase tiene una nota promedio de examen de $70$. La nota promedio de los estudiantes que obtuvieron menos de $60$ es $50$, y el promedio de los estudiantes que obtuvieron $60$ o más es $75$. Si el número total de estudiantes en la clase es $20$, ¿cuántos estudiantes obtuvieron menos de $60$?
Ver solución
Sea $n$ el número de estudiantes que obtuvieron menos de 60 y $N$ el número de estudiantes que obtuvieron 60 o más.
El promedio para los estudiantes que obtuvieron menos de 60 es:
$$\frac{\sum X_i}{n} = 50 \Rightarrow \sum X_i = 50n$$
El promedio para los estudiantes que obtuvieron 60 o más es:
$$\frac{\sum Y_i}{N} = 75 \Rightarrow \sum Y_i = 75N$$
El promedio general de la clase es 70:
$$\frac{\sum X_i + \sum Y_i}{20} = 70$$
Sustituya:
$$\frac{50n + 75N}{20} = 70$$
Multiplique todos los términos por 20 y simplifique:
$$50n + 75N = 1400 \quad \text{(1)}$$
También tenemos:
$$n + N = 20 \Rightarrow N = 20 - n$$
Sustituya $N$ en la ecuación (1):
$$50n + 75(20 - n) = 1400$$
Expanda y simplifique:
$$-25n + 1500 = 1400$$
Resuelva para $n$:
$$-25n = -100 \Rightarrow n = 4$$
$n = 4$ estudiantes que obtuvieron menos de 60.
Pregunta 15
El área del trapecio es igual a 270 unidades cuadradas. Encuentre su perímetro y redondee su respuesta a la unidad más cercana.
Ver solución
Sea $h$ la altura del trapecio.
$$\text{Área} = \frac{1}{2} \cdot h \cdot (\text{base}_1 + \text{base}_2) = \frac{1}{2} \cdot h \cdot (10 + 10 + 3 + 4) = 270$$
Resuelva para $h$:
$$\frac{1}{2} \cdot h \cdot 27 = 270 \Rightarrow h = 20$$
Aplique el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo de la izquierda (hipotenusa $L$):
$$20^2 + 3^2 = L^2 \Rightarrow L = \sqrt{409}$$
Aplique el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo de la derecha (hipotenusa $R$):
$$20^2 + 4^2 = R^2 \Rightarrow R = \sqrt{416}$$
El perímetro del trapecio es:
$$\text{Perímetro} = \sqrt{409} + 10 + \sqrt{416} + 17 = 27 + \sqrt{409} + \sqrt{416} \approx 68 \text{ unidades}$$
Pregunta 16
El área de un campo rectangular es igual a $300$ metros cuadrados. Su perímetro es igual a $70$ metros. Encuentre la longitud y el ancho de este rectángulo.
Ver solución
Sea la longitud $L$ metros y el ancho $W$ metros tal que $L > W$.
Use el área para escribir:
$$L \times W = 300$$
Use el perímetro para escribir:
$$2L + 2W = 70$$
Divida todos los términos por 2:
$$L + W = 35$$
Resuelva para $L$:
$$L = 35 - W$$
Sustituya en la ecuación del área:
$$(35 - W) \cdot W = 300$$
Expanda y reorganice en la forma cuadrática estándar:
$$35W - W^2 = 300$$
$$W^2 - 35W + 300 = 0$$
Resuelva usando la fórmula cuadrática:
$$W = \frac{35 \pm \sqrt{(-35)^2 - 4(1)(300)}}{2(1)}$$
$$W = \frac{35 \pm \sqrt{1225 - 1200}}{2} = \frac{35 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{35 \pm 5}{2}$$
$$W = 20 \text{ o } W = 15$$
Para $W = 15$, $L = 35 - 15 = 20$.
Para $W = 20$, $L = 35 - 20 = 15$.
Dado que $L > W$, el rectángulo tiene dimensiones $L = 20$ y $W = 15$.
Pregunta 17
Un motor eléctrico da $3,000$ revoluciones por minuto. ¿Cuántos grados gira en un segundo?
Ver solución
El motor tiene una velocidad de $3000$ revoluciones por minuto.
1 revolución son $360^\circ$
1 minuto son $60$ segundos
Use análisis dimensional:
$$\frac{3000 \, \text{rev}}{1 \, \text{min}} \times \frac{360^\circ}{1 \, \text{rev}} \times \frac{1 \, \text{min}}{60 \, \text{seg}}$$
Cancele las unidades para obtener grados por segundo:
$$= \frac{3000 \times 360}{60} = \frac{1,080,000}{60} = 18,000^\circ \, \text{por segundo}$$
Pregunta 18
Un agente de bienes raíces recibió una comisión del $6\%$ sobre el precio de venta de una casa. Si su comisión fue de $\$8,880$, ¿cuál fue el precio de venta de la casa?
Ver solución
Sea $x$ el precio de venta de la casa.
$$6\% \text{ de } x = 8,880$$
$$0.06x = 8,880$$
Resuelva para $x$:
$$x = \frac{8,880}{0.06}$$
$$x = 148,000$$
El precio de venta de la casa fue de $\$148,000$.
Pregunta 19
Si una llanta gira a $400$ revoluciones por minuto cuando el automóvil viaja a $72$ km/h, ¿cuál es la circunferencia $C$ de la llanta?
Ver solución
Se nos da:
Velocidad de rotación: $400 \, \text{rev/min}$
Velocidad lineal: $72 \, \text{km/h} = 72,000 \, \text{m/h}$
Primero, convierta revoluciones por minuto a revoluciones por hora:
$$400 \, \dfrac{\text{rev}}{\text{min}} \times 60 \, \dfrac{\text{min}}{\text{h}} = 24,000 \, \dfrac{\text{rev}}{\text{h}}$$
Sea $C$ la circunferencia de la llanta en metros. La distancia total viajada en una hora es igual al número de revoluciones por hora multiplicado por la circunferencia:
$$24,000 \cdot C = 72,000$$
Resolviendo para $C$:
$$C = \frac{72,000}{24,000} = 3 \, \text{metros}$$
Pregunta 20
En una tienda, el costo de $4$ camisas, $4$ pares de pantalones y $2$ sombreros es de $\$560$. El costo de $9$ camisas, $9$ pares de pantalones y $6$ sombreros es de $\$1,290$. ¿Cuál es el costo total de $1$ camisa, $1$ par de pantalones y $1$ sombrero?
Ver solución
Sea $x$ el costo de una camisa, $y$ el costo de un par de pantalones y $z$ el costo de un sombrero. Se nos da:
(1) $4x + 4y + 2z = 560$
(2) $9x + 9y + 6z = 1290$
Divida la ecuación (2) por 3:
(3) $3x + 3y + 2z = 430$
Ahora reste la ecuación (1) de la ecuación (3):
$$(3x + 3y + 2z) - (4x + 4y + 2z) = 430 - 560$$
$$-x - y = -130 \Rightarrow x + y = 130 \quad \text{(4)}$$
Sustituya la ecuación (4) en la ecuación (3):
$$3(x + y) + 2z = 430$$
$$3(130) + 2z = 430$$
$$390 + 2z = 430$$
$$2z = 40 \Rightarrow z = 20$$
Ahora sustituya de nuevo para encontrar el costo total de 1 camisa, 1 par de pantalones y 1 sombrero:
$$x + y + z = 130 + 20 = 150$$
El costo total es de $\$150$.
Pregunta 21
Cuatro niños tienen juguetes pequeños. El primer niño tiene $\frac{1}{10}$ de los juguetes, el segundo niño tiene 12 juguetes más que el primero, el tercer niño tiene un juguete más que el primer niño, y el cuarto niño tiene el doble del número de juguetes del tercer niño. ¿Cuántos juguetes hay?
Ver solución
Sea $x$ representar el número total de juguetes.
El primer niño tiene $\frac{x}{10}$ juguetes.
El segundo niño tiene $\frac{x}{10} + 12$ juguetes.
El tercer niño tiene $\frac{x}{10} + 1$ juguetes.
El cuarto niño tiene $2 \left( \frac{x}{10} + 1 \right)$ juguetes.
Establecemos la ecuación para el número total de juguetes:
$$\frac{x}{10} + \left( \frac{x}{10} + 12 \right) + \left( \frac{x}{10} + 1 \right) + 2 \left( \frac{x}{10} + 1 \right) = x$$
Expanda:
$$\frac{x}{10} + \frac{x}{10} + 12 + \frac{x}{10} + 1 + \frac{2x}{10} + 2 = x$$
Combine términos semejantes:
$$\frac{5x}{10} + 15 = x$$
$$\frac{x}{2} + 15 = x$$
Reste $\frac{x}{2}$ de ambos lados:
$$15 = \frac{x}{2}$$
Resuelva para $x$:
$$x = 30$$
Por lo tanto, el número total de juguetes es $30$.
Pregunta 22
Evalúe la expresión:
$$\left( 1 - \frac{1}{10} \right) \left( 1 - \frac{1}{11} \right) \left( 1 - \frac{1}{12} \right) \cdots \left( 1 - \frac{1}{100} \right)$$
Ver solución
Primero, escribimos cada término en el producto como una fracción:
$$\left( \frac{9}{10} \right) \left( \frac{10}{11} \right) \left( \frac{11}{12} \right) \cdots \left( \frac{99}{100} \right)$$
Ahora, observe el patrón de cancelación telescópico. El numerador de cada fracción cancela el denominador de la fracción anterior, dejando solo el primer numerador y el denominador final:
$$\frac{9}{100}$$