Encontrar la Función Inversa a partir de Gráficos

Explicaciones Gráficas y Preguntas Resueltas Paso a Paso

Encontrar los valores de una función inversa a partir de un gráfico es un proceso visual. Se basa en la propiedad fundamental de que si una función original mapea $x$ a $y$, la función inversa mapea $y$ de vuelta a $x$.

La Relación Inversa

Si $f$ es una función y $f^{-1}$ es su inversa, su relación se define como:

\[ f(a) = b \iff a = f^{-1}(b) \]

Estrategia Visual: Para encontrar $f^{-1}(b)$, estás buscando esencialmente el valor de $x$ que produce un valor de $y$ igual a $b$.

Ejemplo Resuelto: Relación Curva $f(x)$

Usa el gráfico de la función $f$ a continuación para encontrar:

Gráfico de la función f
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a) $f^{-1}(5)$: Localiza $y = 5$ en el eje y. Muévete horizontalmente hacia el gráfico y luego hacia abajo hasta el eje x. Encontramos $x = 3$. Por lo tanto, $f^{-1}(5) = 3$.

Solución visual para f^-1(5)

b) $f^{-1}(0)$: En $y = 0$, el gráfico está en $x = 2$. Por lo tanto, $f^{-1}(0) = 2$.

c) $f^{-1}(-3)$: En $y = -3$, el gráfico está en $x = 1$. Por lo tanto, $f^{-1}(-3) = 1$.

d) $f^{-1}(-4)$: En $y = -4$, el gráfico está en $x = 0$. Por lo tanto, $f^{-1}(-4) = 0$.

e) $f^{-1}(-5)$: El gráfico no llega a $y = -5$. Este valor no está definido.

Preguntas de Práctica

Pregunta 1: Relación Lineal $g(x)$

Encuentra: $g^{-1}(6)$, $g^{-1}(0)$, $g^{-1}(-2)$ y $g^{-1}(8)$.

Gráfico de la función g
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a) $g^{-1}(6)$: El valor de $x$ para $y = 6$ es 2. Entonces, $g^{-1}(6) = 2$.

Solución para g^-1

b) $g^{-1}(0)$: El gráfico cruza el eje x ($y=0$) en $x = -1$. Entonces, $g^{-1}(0) = -1$.

c) $g^{-1}(-2)$: El gráfico está en $x = -2$ cuando $y = -2$. Entonces, $g^{-1}(-2) = -2$.

d) $g^{-1}(8)$: La altura máxima del gráfico es $y = 6$. Por lo tanto, $g^{-1}(8)$ no está definido.

Pregunta 2: Relación Trigonométrica $h(x)$

Encuentra: $h^{-1}(1)$, $h^{-1}(0)$ y $h^{-1}(-1)$.

Gráfico de la función trigonométrica h
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a) $h^{-1}(1)$: El gráfico está a una altura de 1 cuando $x = 0$. Entonces, $h^{-1}(1) = 0$.

b) $h^{-1}(0)$: El gráfico cruza $y=0$ en $x = \pi/2$. Entonces, $h^{-1}(0) = \pi/2$.

c) $h^{-1}(-1)$: El gráfico alcanza $-1$ en $x = \pi$. Entonces, $h^{-1}(-1) = \pi$.

d) $h^{-1}(2)$: El valor máximo de $y$ es 1. Por lo tanto, $h^{-1}(2)$ no está definido.

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