Encuentra los valores de la inversa de una función a partir de su gráfica; se presentan ejemplos y preguntas junto con sus soluciones y explicaciones detalladas.
Si \( f \) es una función cuya inversa es \( f^{-1} \), entonces la relación entre \( f \) y su inversa \( f^{-1} \) está dada por:
\[ f(a) = b \iff a = f^{-1}(b) \]Usa la gráfica de la función \( f \) que se muestra a continuación para encontrar los siguientes valores de la función inversa, si es posible:
Según la definición de la función inversa:
\[ a = f^{-1}(5) \quad \Leftrightarrow \quad 5 = f(a) \]Esto significa que \( a \) es el valor de \( x \) tal que \( f(x) = 5 \).
Usando la gráfica a continuación: comienza en \( y = 5 \) en el eje y y traza una línea horizontal hasta intersectar la gráfica de \( f \). Luego baja verticalmente al eje x para encontrar \( x = 3 \).
Por lo tanto, \( f(3) = 5 \). En consecuencia, \( a = 3 \), y
\[ f^{-1}(5) = 3 \]
\[ a = f^{-1}(0) \iff f(a) = 0 \]
Según la gráfica mostrada, \( f(2) = 0 \), y por lo tanto \( f^{-1}(0) = 2 \).
c)
\[ a = f^{-1}(-3) \iff f(a) = -3 \]
El valor de \( x \) para el cual \( f(x) = -3 \) es \( 1 \), y por lo tanto \( f^{-1}(-3) = 1 \).
d)\[ a = f^{-1}(-4) \iff f(a) = -4 \]
El valor de \( x \) para el cual \( f(x) = -4 \) es 0, y por lo tanto \( f^{-1}(-4) = 0 \).
e)\[ a = f^{-1}(-5) \iff f(a) = -5 \]
Según la gráfica de \( f \), no hay valor de \( x \) para el cual \( f(x) = -5 \), y por lo tanto \( f^{-1}(-5) \) no está definida.
Usa la gráfica de la función \( g \) que se muestra a continuación para encontrar los siguientes valores, si es posible:
Usa la gráfica de la función \( h \) que se muestra a continuación para encontrar lo siguiente, si es posible:
Según la definición de la función inversa:
\[ a = g^{-1}(6) \iff g(a) = 6 \]Esto significa que \( a \) es el valor de \( x \) tal que \( g(x) = 6 \).
Usando la gráfica a continuación, cuando \( x = 2 \), \( g(x) = 6 \). Por lo tanto, \( a = 2 \) y en consecuencia
\[ g^{-1}(6) = 2 \]
\[ a = g^{-1}(0) \iff g(a) = 0 \]
Según la gráfica, \( g(-1) = 0 \) y por lo tanto
\[ g^{-1}(0) = -1 \] c)\[ a = g^{-1}(-2) \iff g(a) = -2 \]
El valor de \( x \) para el cual \( g(x) = -2 \) es \( -2 \). Por lo tanto,
\[ g^{-1}(-2) = -2 \] d)\[ a = g^{-1}(4) \iff g(a) = 4 \]
El valor de \( x \) para el cual \( g(x) = 4 \) es \( 1 \). Por lo tanto,
\[ g^{-1}(4) = 1 \] e)\[ a = g^{-1}(8) \iff g(a) = 8 \]
Según la gráfica de \( g \), no hay valor de \( x \) tal que \( g(x) = 8 \). Por lo tanto,
\[ g^{-1}(8) \text{ no está definida} \]Según la definición de la función inversa:
\[ a = h^{-1}(1) \iff h(a) = 1 \]Esto significa que \( a \) es el valor de \( x \) tal que \( h(x) = 1 \).
Según la gráfica mostrada, \( h(0) = 1 \), y por lo tanto \( h^{-1}(1) = 0 \).
b)\( a = h^{-1}(0) \iff h(a) = 0 \)
Según la gráfica mostrada, \( h\left( \frac{\pi}{2} \right) = 0 \), y por lo tanto \( h^{-1}(0) = \frac{\pi}{2} \).
c)\( a = h^{-1}(-1) \iff h(a) = -1 \)
Según la gráfica mostrada, \( h(\pi) = -1 \), y por lo tanto \( h^{-1}(-1) = \pi \).
d)\( a = h^{-1}(2) \iff h(a) = 2 \)
Según la gráfica mostrada, no hay valor de \( x \) para el cual \( h(x) = 2 \). Por lo tanto, \( h^{-1}(2) \) no está definida.