Encontrar la función inversa a partir de gráficas

Explicaciones gráficas y ejercicios resueltos paso a paso

Encontrar los valores de una función inversa a partir de una gráfica es un proceso visual. Se basa en la propiedad fundamental de que si una función original asigna $x$ a $y$, la función inversa asigna $y$ de vuelta a $x$.

La relación inversa

Si $f$ es una función y $f^{-1}$ es su inversa, su relación se define como:

\[ f(a) = b \iff a = f^{-1}(b) \]

Estrategia visual: Para encontrar $f^{-1}(b)$, básicamente está buscando el valor de $x$ que produce un valor de $y$ igual a $b$.

Ejemplo resuelto: Relación curva $f(x)$

Utilice la gráfica de la función $f$ a continuación para encontrar:

Gráfica de la función f
Ver soluciones

a) $f^{-1}(5)$: Localice $y = 5$ en el eje y. Muévase horizontalmente hasta la gráfica y luego hacia abajo hasta el eje x. Encontramos $x = 3$. Por lo tanto, $f^{-1}(5) = 3$.

Solución visual para f^-1(5)

b) $f^{-1}(0)$: En $y = 0$, la gráfica está en $x = 2$. Por lo tanto, $f^{-1}(0) = 2$.

c) $f^{-1}(-3)$: En $y = -3$, la gráfica está en $x = 1$. Por lo tanto, $f^{-1}(-3) = 1$.

d) $f^{-1}(-4)$: En $y = -4$, la gráfica está en $x = 0$. Por lo tanto, $f^{-1}(-4) = 0$.

e) $f^{-1}(-5)$: La gráfica no llega a $y = -5$. Este valor no está definido.

Preguntas de práctica

Pregunta 1: Relación lineal $g(x)$

Encuentre: $g^{-1}(6)$, $g^{-1}(0)$, $g^{-1}(-2)$ y $g^{-1}(8)$.

Gráfica de la función g
Ver solución

a) $g^{-1}(6)$: El valor $x$ para $y = 6$ es 2. Por tanto, $g^{-1}(6) = 2$.

Solución para g^-1

b) $g^{-1}(0)$: La gráfica cruza el eje x ($y=0$) en $x = -1$. Por tanto, $g^{-1}(0) = -1$.

c) $g^{-1}(-2)$: La gráfica está en $x = -2$ cuando $y = -2$. Por tanto, $g^{-1}(-2) = -2$.

d) $g^{-1}(8)$: La altura máxima de la gráfica es $y = 6$. Por tanto, $g^{-1}(8)$ no está definido.

Pregunta 2: Relación trigonométrica $h(x)$

Encuentre: $h^{-1}(1)$, $h^{-1}(0)$ y $h^{-1}(-1)$.

Gráfica de la función trigonométrica h
Ver solución

a) $h^{-1}(1)$: La gráfica está a una altura de 1 cuando $x = 0$. Por tanto, $h^{-1}(1) = 0$.

b) $h^{-1}(0)$: La gráfica cruza $y=0$ en $x = \pi/2$. Por tanto, $h^{-1}(0) = \pi/2$.

c) $h^{-1}(-1)$: La gráfica alcanza -1 en $x = \pi$. Por tanto, $h^{-1}(-1) = \pi$.

d) $h^{-1}(2)$: El valor máximo de $y$ es 1. Por tanto, $h^{-1}(2)$ no está definido.

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