Este tutorial explica cómo encontrar la inversa de una función de forma analítica. Se presentan varios ejemplos resueltos, cada uno con una solución detallada paso a paso. Al final de la página se incluyen ejercicios de práctica con respuestas finales.
Encuentra la inversa de la función lineal
\[ f(x) = 2x + 3 \]Solución
Paso 1: Escribe la función como una ecuación.
\[ y = 2x + 3 \]Paso 2: Despeja \(x\).
\[ x = \frac{y - 3}{2} \]Paso 3: Escribe la función inversa.
\[ f^{-1}(y) = \frac{y - 3}{2} \]Reemplazando \(y\) con \(x\):
\[ f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2} \]Verificación
\[ f(f^{-1}(x)) = 2\left(\frac{x - 3}{2}\right) + 3 = x \] \[ f^{-1}(f(x)) = \frac{(2x + 3) - 3}{2} = x \]Conclusión:
\[ f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2} \]Ejercicio de Práctica 1
Encuentra la inversa de la función: \[ f(x) = -x - 4 \]Encuentra la inversa de
\[ f(x) = (x - 3)^2, \quad x \ge 3 \]Solución
\[ y = (x - 3)^2 \]Despejando \(x\) se obtienen dos soluciones:
\[ x = 3 + \sqrt{y}, \quad x = 3 - \sqrt{y} \]Dado que \(x \ge 3\), seleccionamos la rama positiva.
\[ f^{-1}(y) = 3 + \sqrt{y} \]Reemplazando \(y\) con \(x\):
\[ f^{-1}(x) = 3 + \sqrt{x} \]Verificación
\[ f(f^{-1}(x)) = (\sqrt{x})^2 = x \] \[ f^{-1}(f(x)) = 3 + \sqrt{(x - 3)^2} = 3 + |x - 3| = x \]Conclusión:
\[ f^{-1}(x) = 3 + \sqrt{x} \]Ejercicio de Práctica 2
Encuentra la inversa de la función: \[ f(x) = (x + 1)^2, \quad x \ge -1 \]Encuentra la inversa de
\[ f(x) = \frac{x + 1}{x - 2} \]Solución
\[ y = \frac{x + 1}{x - 2} \]Multiplica ambos lados por \(x - 2\):
\[ y(x - 2) = x + 1 \] \[ yx - 2y = x + 1 \] \[ x(y - 1) = 1 + 2y \] \[ x = \frac{1 + 2y}{y - 1} \]Intercambiando \(x\) y \(y\):
\[ f^{-1}(x) = \frac{1 + 2x}{x - 1} \]Ejercicio de Práctica 3
Encuentra la inversa de la función: \[ f(x) = \frac{x + 1}{x - 1} \]Encuentra la inversa de
\[ f(x) = \ln(x + 2) - 3 \]Solución
\[ y = \ln(x + 2) - 3 \] \[ \ln(x + 2) = y + 3 \] \[ x + 2 = e^{y + 3} \] \[ x = e^{y + 3} - 2 \] \[ f^{-1}(x) = e^{x + 3} - 2 \]Verificación
\[ f(f^{-1}(x)) = \ln(e^{x + 3}) - 3 = x \]Conclusión:
\[ f^{-1}(x) = e^{x + 3} - 2 \]Ejercicio de Práctica 4
Encuentra la inversa de la función: \[ f(x) = 2\ln(x + 4) - 4 \]
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