Encontrar la Función Inversa a partir de Tablas
Preguntas con Soluciones

Aprende a determinar los valores de la inversa de una función cuando ésta se presenta mediante una tabla de valores. Esta guía incluye preguntas prácticas junto con soluciones y explicaciones detalladas para facilitar tu comprensión.

Relación Entre una Función y su Inversa

Si \( f \) es una función que tiene una inversa \( f^{-1} \), la relación fundamental entre ambas se expresa como:

\[ f(a) = b \iff a = f^{-1}(b) \]

Ejemplos Prácticos

Utiliza la siguiente tabla de valores para encontrar, cuando sea posible, los resultados solicitados:

a) \( f^{-1}(-4) \)
b) \( f^{-1}(6) \)
c) \( f^{-1}(9) \)
d) \( f^{-1}(10) \)
e) \( f^{-1}(-10) \)

\[ \begin{array}{|c|c|} \hline x & f(x) \\ \hline -4 & 9 \\ \hline -2 & 4 \\ \hline 0 & -5 \\ \hline 3 & 5 \\ \hline 6 & -4 \\ \hline 7 & 7 \\ \hline 8 & -10 \\ \hline \end{array} \]

Solución Detallada

a) Cálculo de \( f^{-1}(-4) \)

Según la definición de la función inversa:

\[ a = f^{-1}(-4) \iff f(a) = -4 \]

Esto implica que debemos encontrar el valor \( a \) (entrada original) que produce una salida de \(-4\). Observando la tabla, vemos que cuando \( x = 6 \), \( f(x) = -4 \). Por lo tanto:

\[ a = 6 \quad \text{y en consecuencia} \quad f^{-1}(-4) = 6 \]

b) Cálculo de \( f^{-1}(6) \)

\[ a = f^{-1}(6) \iff f(a) = 6 \]

Al examinar la tabla, no existe ningún valor de \( x \) para el cual \( f(x) = 6 \). Por lo tanto, \( f^{-1}(6) \) no está definida.

c) Cálculo de \( f^{-1}(9) \)

\[ a = f^{-1}(9) \iff f(a) = 9 \]

El valor de \( x \) que satisface \( f(x) = 9 \) es \( x = -4 \). Por lo tanto:

\[ f^{-1}(9) = -4 \]

d) Cálculo de \( f^{-1}(10) \)

\[ a = f^{-1}(10) \iff f(a) = 10 \]

No hay ningún valor de \( x \) en la tabla tal que \( f(x) = 10 \). En consecuencia, \( f^{-1}(10) \) no está definida.

e) Cálculo de \( f^{-1}(-10) \)

\[ a = f^{-1}(-10) \iff f(a) = -10 \]

El valor de \( x \) que cumple \( f(x) = -10 \) es \( x = 8 \), por lo que:

\[ f^{-1}(-10) = 8 \]

Más Ejercicios con Soluciones

Emplea la tabla proporcionada a continuación para determinar, si es posible, los siguientes valores:

\( g^{-1}(0) \)
\( g^{-1}(-10) \)
\( g^{-1}(-5) \)
\( g^{-1}(-7) \)
\( g^{-1}(3) \)

\[ \begin{array}{|c|c|} \hline x & g(x) \\ \hline -5 & 9 \\ \hline -2 & 3 \\ \hline 0 & -5 \\ \hline 3 & 7 \\ \hline 4 & -4 \\ \hline 7 & 10 \\ \hline 11 & 0 \\ \hline \end{array} \]

Solución

a) Cálculo de \( g^{-1}(0) \)

De acuerdo con la definición de la función inversa:
\[ a = g^{-1}(0) \iff g(a) = 0 \] Esto significa que debemos hallar el valor \( a \) para el cual \( g(a) = 0 \).
Según la tabla, cuando \( x = 11 \), \( g(x) = 0 \).
Por lo tanto, \( a = 11 \), y se concluye que \[ g^{-1}(0) = 11 \]

b) Cálculo de \( g^{-1}(-10) \)

\( a = g^{-1}(-10) \) si y solo si \( g(a) = -10 \).
No existe ningún valor de \( x \) en la tabla que satisfaga \( g(x) = -10 \).
Por lo tanto, \[ g^{-1}(-10) \; \text{ no está definida} \]

c) Cálculo de \( g^{-1}(-5) \)

\( a = g^{-1}(-5) \) si y solo si \( g(a) = -5 \).
El valor de \( x \) para el cual \( g(x) = -5 \) es \( 0 \).
Por lo tanto, \[ g^{-1}(-5) = 0 \]

d) Cálculo de \( g^{-1}(-7) \)

\( a = g^{-1}(-7) \iff g(a) = -7 \).
No hay ningún valor de \( x \) que cumpla \( g(x) = -7 \).
Por lo tanto, \[ g^{-1}(-7) \; \text{ no está definida} \]

e) Cálculo de \( g^{-1}(3) \)

\( a = g^{-1}(3) \) si y solo si \( g(a) = 3 \).
El valor de \( x \) para el cual \( g(x) = 3 \) es \( -2 \).
Por lo tanto, \[ g^{-1}(3) = -2 \]