Encontrar la inversa de una relación a partir de su gráfica

Ejemplos paso a paso, reflexiones especulares y preguntas resueltas

La inversa de una relación se encuentra intercambiando las coordenadas de cada par ordenado en el conjunto original. Geométricamente, esto da como resultado una gráfica que es perfectamente simétrica a la original con respecto a la línea $y = x$.

El principio de reflexión

Si existe un punto $(a, b)$ en la gráfica de una relación, el punto $(b, a)$ debe existir en la gráfica de su inversa. Este intercambio de coordenadas es equivalente a una reflexión geométrica a través de la línea diagonal $y = x$.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: Reflexión de un segmento lineal

Dibuje la gráfica de la inversa para la relación que se muestra a continuación:

Relación original para el ejemplo 1
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Paso 1: Identifique los puntos clave en la gráfica azul (original):
$(8, 4), (5, 2), (4, 0), (3, -1), (0, -2), (-2, -4), (-3, -5)$

Paso 2: Intercambie las coordenadas $x$ e $y$ para encontrar los puntos de la inversa (rojos):
$(4, 8), (2, 5), (0, 4), (-1, 3), (-2, 0), (-4, -2), (-5, -3)$

Puntos de reflexión trazados para el ejemplo 1

Paso 3: Conecte los puntos reflejados para completar la gráfica de la inversa.

Gráfica inversa final para el ejemplo 1

Ejemplo 2: Reflexión de una relación curva

Dibuje la gráfica de la inversa para la siguiente relación curva:

Relación curva original para el ejemplo 2
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Paso 1: Identifique los puntos clave en la curva original:
$(6, 3), (2, -5), (0, -1), (-2, -5), (-3, -3)$

Paso 2: Intercambie las coordenadas para los puntos de la inversa:
$(3, 6), (-5, 2), (-1, 0), (-5, -2), (-3, -3)$

Puntos de reflexión trazados para el ejemplo 2

Paso 3: Conecte los puntos para formar la curva inversa, la cual refleja la original a través de $y = x$.

Gráfica inversa final para el ejemplo 2

Preguntas de práctica

Pregunta A

Pregunta de práctica A
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Coordenadas: $(4, 2), (2, 2), (1, -1), (0, -2), (-1, -1), (-2, -4)$

Puntos inversos: $(2, 4), (2, 2), (-1, 1), (-2, 0), (-1, -1), (-4, -2)$

Solución para la práctica A

Pregunta B

Pregunta de práctica B
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Coordenadas: $(5, 6), (4, 1), (2, -1), (0, -3), (-1, -8)$

Puntos inversos: $(6, 5), (1, 4), (-1, 2), (-3, 0), (-8, -1)$

Solución para la práctica B

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