Encontrar la Inversa de una Relación a partir de su Gráfico

Ejemplos Paso a Paso, Reflexiones en Espejo y Preguntas Resueltas

La inversa de una relación se encuentra intercambiando las coordenadas de cada par ordenado en el conjunto original. Geométricamente, esto resulta en un gráfico que es perfectamente simétrico al original a través de la línea $y = x$.

El Principio de Reflexión

Si existe un punto $(a, b)$ en el gráfico de una relación, el punto $(b, a)$ debe existir en el gráfico de su inversa. Este intercambio de coordenadas es equivalente a una reflexión geométrica a través de la línea diagonal $y = x$.

Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Reflexión de Segmento Lineal

Dibuja el gráfico de la inversa para la relación que se muestra a continuación:

Relación original para el Ejemplo 1
Ver Solución

Paso 1: Identifica puntos clave en el gráfico azul (original):
$(8, 4), (5, 2), (4, 0), (3, -1), (0, -2), (-2, -4), (-3, -5)$

Paso 2: Intercambia las coordenadas $x$ e $y$ para encontrar los puntos de la inversa (rojos):
$(4, 8), (2, 5), (0, 4), (-1, 3), (-2, 0), (-4, -2), (-5, -3)$

Puntos de reflexión trazados para el Ejemplo 1

Paso 3: Conecta los puntos reflejados para completar el gráfico de la inversa.

Gráfico final de la inversa para el Ejemplo 1

Ejemplo 2: Reflexión de Relación Curva

Dibuja el gráfico de la inversa para la siguiente relación curva:

Relación curva original para el Ejemplo 2
Ver Solución

Paso 1: Identifica puntos clave en la curva original:
$(6, 3), (2, -5), (0, -1), (-2, -5), (-3, -3)$

Paso 2: Cambia las coordenadas para los puntos de la inversa:
$(3, 6), (-5, 2), (-1, 0), (-5, -2), (-3, -3)$

Puntos de reflexión trazados para el Ejemplo 2

Paso 3: Conecta los puntos para formar la curva inversa, que refleja la original a través de $y = x$.

Gráfico final de la inversa para el Ejemplo 2

Preguntas de Práctica

Pregunta A

Pregunta de Práctica A
Ver Solución

Coordenadas: $(4, 2), (2, 2), (1, -1), (0, -2), (-1, -1), (-2, -4)$

Puntos Inversos: $(2, 4), (2, 2), (-1, 1), (-2, 0), (-1, -1), (-4, -2)$

Solución para la Práctica A

Pregunta B

Pregunta de Práctica B
Ver Solución

Coordenadas: $(5, 6), (4, 1), (2, -1), (0, -3), (-1, -8)$

Puntos Inversos: $(6, 5), (1, 4), (-1, 2), (-3, 0), (-8, -1)$

Solución para la Práctica B

Continúa tu Aprendizaje