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Ejemplo 1
Encuentra puntos en el gráfico de la función f(x) = x2 y grafica.
Primero notamos que
1) porque el cuadrado del número real es positivo o cero, x2 ≥ 0 y, por lo tanto, la gráfica de f toca el eje x en x = 0 y está por encima del eje x para todos los demás valores de x.
2) f(-x) = (-x)2 = x 2 = f(x) , por lo tanto, la función f es par y su gráfica es simétrica con respecto a la eje y.
3) El rango de valores de y = f(x) es : y ≥ 0
Usemos una tabla para encontrar puntos en la gráfica de la función f
Ahora trazamos los puntos en la tabla y los unimos para obtener la gráfica de f(x) = x2 llamada parábola.
Una función cuadrática en forma de vértice g(x) = a(x - h)2 + k es la función cuadrática básica f(x) = x2 que ha sido transformada .
1) De x2 a (x - h)2: desplaza h unidades a la derecha si h es positivo o -h unidades a la izquierda si h es negativo.
2) De (x - h)2 a a(x - h)2: estiramiento vertical (|a| > 1) o compresión (|a| < 1) más reflexión sobre el eje x si a es negativo.
3) De a(x - h)2 a a(x - h)2 + k: un desplazamiento vertical de k unidades.
Conclusión
Una función cuadrática en forma de vértice g(x) = a(x - h)2 + k tiene un gráfico
1) con un vértice (mínimo o máximo) en (h , k)
2) Un eje de simetría vertical x = h.
3) La gráfica de g que es una parábola se abre hacia arriba si el coeficiente a es positivo y por tanto el vértice es un punto mínimo o hacia abajo si a es negativo y por tanto el vértice es un punto máximo.
4) El rango de valores de y = g(x) es: y ≥ k si a es positivo o y ≤ k si a es negativo.
Ejemplo 2
a) Identifica el vértice de la gráfica de la función g(x) = 4 (x - 1)2 - 1, su eje de simetría y decide si la gráfica abre hacia arriba o hacia abajo.
b) Encuentra los puntos de intersección de la gráfica de g con el eje (intersecciones x) y el eje y (intersecciones y).
c) Usa el vértice, las intersecciones x e y, algunos puntos más en la gráfica de g, y grafica.
d) ¿Cuál es el rango de valores de y = g(x)?
Solución al Ejemplo 2
a) Comparando g(x) = 4 (x - 1)2 - 1 con g(x) = a(x - h)2 + k, h = 1 , k = -1 y a = 4.
El vértice está en el punto (h , k) = (1 , -1).
El eje de simetría es la recta vertical x = h = 1
a es positivo, la parábola (gráfica de g) abre hacia arriba.
b) El intercepto en y es un punto en el eje y, por lo tanto, x = 0 para este punto y su coordenada y dada por g(0) = 3. Por lo tanto, el intercepto en y está en (0, 3)
La intersección x es un punto en el eje x, por lo tanto, y = g(x) = 0 para este punto y su(s) coordenada(s) x se encuentran resolviendo
g(x) = 4 (x - 1)2 - 1 = 0
4 (x - 1)2 = 1
2 (x - 1) = ± √1
2(x - 1) = 1 da x = 3/2 = 1,5
2(x - 1) = - 1 da x = 1/2 = 0,5
Dos intersecciones x están en: (1/2, 0) y (3/2, 0)
c) Un punto más en la gráfica de g.
g(2) = 4 (2 - 1)2 - 1 = 3
d) Dado que a = 4 es positivo, el rango de valores de y = g(x) = 4 (x - 1)2 - 1 viene dado por:
la desigualdad y ≥ k o y ≥ - 1
o el intervalo [-1, +∞)
El gráfico se muestra a continuación con el vértice en (1,-1) que es un mínimo porque a = 4 es positivo. El gráfico se abre hacia arriba.
Sus intersecciones con x están ubicadas en (1/2,0) y (3/2,0) y su intersección con y está ubicada en (0,3).
La parábola tiene como eje de simetría la recta vertical x = 1.
El rango de valores de y es: y ≥ -1 como se ve en el gráfico.
Encuentra el vértice de la gráfica de la función h(x) = - (x + 1/2)2 + 2, su eje de simetría, el intercepto en y, el intercepto en x y grafica. ¿Cuál es el rango de valor soja y = h(x)?
Solución al Ejemplo 3
Comparando h(x) = - (x + 1/2)2 + 2 con h(x) = a(x - h)2 + k, h = - 1/2, k = 2 y a = - 1.
El vértice está en el punto (-1/2, 2).
El eje de simetría es la recta vertical x = - 1/2
a = - /12 es negativo, la parábola (gráfica de g) abre hacia abajo.
El intercepto en y está en (0 , h(0)) = (0 , 1.75)
El intercepto en x se encuentra resolviendo
h(x) = - (x + 1/2)2 + 2 = 0
Las soluciones a la ecuación anterior son: -1/2 - √2 y -1/2 + √2.
Dos intersecciones x están ubicadas en: (-1/2 - √2 , 0) y (-1/2 + √2 , 0)
El gráfico se muestra a continuación con el vértice en (-1/2, 2) que es un máximo porque a = -1/2 es negativo y el gráfico se abre hacia abajo.
Las intersecciones x están ubicadas en (-1/2 - √2 , 0)≈ (-1.91,0) y (-1/2 + √2 , 0) ≈ (0.91,0).
El intercepto en y se encuentra en (0,1.75)
El eje de simetría es la recta vertical dada por la ecuación: x = h = -1/2.
El coeficiente principal a = - 1 es negativo y k = 2, por lo que el rango de y = h(x) viene dado por: y ≤ 2 (compruebe en el gráfico a continuación).
Uno de los mejores métodos para graficar funciones cuadráticas dadas en forma estándar f(x) = a x2 + b x + c es reescribirlas primero en forma de vértice de la siguiente manera
f(x) = a(x - h)2 + k , vértice ubicado en el punto (h , k)
donde h = - b / (2 a) y k = f(h).
luego graficarlos usando el vértice, las intersecciones x e y y algunos puntos más si es necesario.
Ejemplo 4
Encuentra el vértice de la gráfica de la función m(x) = x2 + 2 x, su eje de simetría, el intercepto en y, el intercepto en x y grafica. ¿Cuál es el rango de valor soya y = m(x)?
Solución al Ejemplo 4
Identificar los coeficientes a, b y c de la función dada
a = 1, b = 2 y c = 0
Usa la fórmula para h y k
h = - b / (2 a) = - 2 / (2 × 1) = - 1
k = m(h) = (h)2 + 2 (h) = (-1)2 + 2 (-1) = - 1
Use h y k que se encuentran arriba para escribir m(x) en forma de vértice de la siguiente manera
m(x) = a (x - h)2 + k = (x + 1)2 - 1
Nota: como ejercicio, expanda (x + 1)2 - 1 y vea que da x2 + 2 x.
Por lo tanto vértice en (h , k) = (-1 , -1)
El eje de simetría es la recta vertical x = h = - 1
a = 1 es positivo, la parábola (gráfica de m) abre hacia arriba.
El intercepto en y está en (0, m(0)) = (0, 0)
El intercepto en x se encuentra resolviendo
m(x) = x2 + 2 x = 0 (también puedes resolver la forma de vértice si te resulta más fácil)
La ecuación anterior se resuelve factorizando:
x2 + 2 x = x(x + 2) = 0
2 soluciones: x = 0 y x = - 2
Dos intersecciones x están ubicadas en: (0, 0) y (- 2, 0)
El coeficiente principal a es positivo y k = -1, por lo que el rango de y = m(x) viene dado por: y ≥ - 1 (comprobar en el gráfico siguiente).
El gráfico se muestra a continuación con el vértice en (- 1, -1) que es un mínimo porque a = 1 es positivo. El gráfico se abre hacia arriba, su x se intercepta en (0, 0) y (- 2, 0). Su intersección en y en (0 , 0) y eje de simetría x = h = -1.
El rango de y = m(x) viene dado por y ≥ -1.
Ejemplo 5
Encuentra el vértice de la gráfica de la función p(x) = - 2 x 2 + 3 x + 1, su eje de simetría, el intercepto en y, el intercepto en x y graficarlo. ¿Cuál es el rango de valores de y = p(x)?
Solución al Ejemplo 5
Identificar los coeficientes a, b y c de la función dada
a = - 2, b = 3 y c = 1
Usa la fórmula para h y k
h = - b / (2 a) = - 3 / (2 × (-2)) = 3 / 4
k = p(h) = - 2 (h) 2 + 3 (h) + 1 = -2 (3/4)2 + 3 (3/4) + 1 = 17/8 &asímp; 2.13
p(x) se escribe en forma de vértice de la siguiente manera
p(x) = a (x - h)2 + k = - 2 (x - 3/4)2 + 17/8
Nota: como ejercicio, expanda - 2 (x - 3/4)2 + 17/8 y vea que da - 2 x 2 + 3 x + 1.
Por lo tanto, vértice en (h, k) = (3/4, 17/8)
El eje de simetría es la recta vertical x = h = 3/4
a = - 2 es negativo, la parábola (gráfica de p) abre hacia abajo.
El intercepto en y está en (0, p(0)) = (0, 1)
El intercepto en x se encuentra resolviendo
p(x) = - 2 (x - 3/4)2 + 17/8 = 0 (en este ejemplo es más fácil resolver la forma de vértice)
La ecuación anterior se resuelve extrayendo la raíz cuadrada:
2 (x - 3/4)2 = 17/8
2 soluciones : x = 3/4 + √(17/16) ≈ 1,78 y x = 3/4 - √(17/16) ≈ - 0,28
Dos intersecciones x están ubicadas en: (3/4 - √(17/16) , 0) ≈ (-0.28 , 0) y (3/4 + √(17/16) , 0) ≈ (1.78, 0)
El gráfico se muestra a continuación con el vértice en (3/4, 17/8) que es un máximo porque a = - 2 es negativo y el gráfico se abre hacia abajo.
Su x intercepta en (-0.28, 0) y (1.78, 0). Su intersección en y en (0, 1) y eje de simetría x = h = 3/4.
El coeficiente principal a = - 2 es negativo y k = 17/8, por lo que el rango de y = p(x) viene dado por: y ≤ 17/8 (≈2.13) (consulte el gráfico a continuación).
Se encuentran dos puntos adicionales para ayudar a graficar p. (-1,p(-1)) = (-1,-4) y (3,p(3)) = (3 , -8)
Grafica las funciones cuadráticas dadas en forma estándar.
1) Encuentra el vértice, las intersecciones x e y y grafica s(x) = -(1/2)x2 + x + 1. Encuentra el rango de y = s(x)
2) Encuentra el vértice, las intersecciones x e y y grafica t(x) = 4 x2 + 4 x + 2. Encuentra el rango de y = t(x)
1) vértice en (1,3/2), x intercepta en (1 + √3, 0) y (1 - √3, 0), y intercepta en (0, 1), rango de y = s( x): y ≤ 3/2
Problemas de parábolas de vértices e intersecciones.
Encuentra los puntos de intersección de una parábola con una recta.
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