Encuentra la coordenada x del vértice para \( f(x) = x^2 + 2x \).

\( h = -b/2a = -2/(2(1)) = -1 \).

¿Cuáles son las propiedades de una función cuadrática en forma de vértice?

Una función en forma de vértice \( f(x) = a(x-h)^2 + k \) tiene un vértice en \( (h, k) \) y un eje de simetría en \( x = h \). Abre hacia arriba si \( a > 0 \) y hacia abajo si \( a < 0 \).

Graficar Funciones Cuadráticas: Forma de Vértice, Forma Estándar y Ejemplos

Las funciones cuadráticas son funciones polinómicas de grado 2. Sus gráficos son parábolas. Exploraremos la función básica \( f(x) = x^2 \), la forma de vértice transformada \( f(x) = a(x - h)^2 + k \), y la forma estándar \( f(x) = ax^2 + bx + c \).

1. La Parábola Básica: \( f(x) = x^2 \)

Antes de graficar transformaciones, analizamos la función original. Usamos una tabla de valores para trazar puntos clave.

\( x \)	\( f(x) = x^2 \)
-3	9
-2	4
-1	1
0	0 (Vértice)
1	1
2	4
3	9

Gráfico de la función cuadrática básica f(x) = x^2

2. Propiedades de la Forma de Vértice: \( g(x) = a(x - h)^2 + k \)

La Forma de Vértice permite la identificación inmediata del centro y la orientación de la parábola:

Vértice: Ubicado en el punto \( (h, k) \).
Eje de Simetría: La línea vertical \( x = h \).
Dirección de apertura:
- Si \( a > 0 \): Abre hacia arriba (El vértice es un mínimo).
- Si \( a < 0 \): Abre hacia abajo (El vértice es un máximo).
Rango:
- \( y \ge k \) si \( a > 0 \).
- \( y \le k \) si \( a < 0 \).

Ejemplo 2: Graficar \( g(x) = 4(x - 1)^2 - 1 \)

Ver Solución paso a paso

1. Identificar Parámetros: \( a=4, h=1, k=-1 \). El vértice está en (1, -1).

2. Intersecciones:
Intersección y: \( g(0) = 4(0-1)^2 - 1 = 3 \). Punto: (0, 3).
Intersecciones x: Resolver \( 4(x-1)^2 - 1 = 0 \). Puntos: (0.5, 0) y (1.5, 0).

Gráfico de la función cuadrática g(x) = 4(x-1)^2 - 1

3. Graficar en Forma Estándar: \( f(x) = ax^2 + bx + c \)

Para graficar la forma estándar, primero calculamos las coordenadas del vértice \( (h, k) \):

\[ h = -\frac{b}{2a} \quad \text{y} \quad k = f(h) \]

Ejemplo 5: Graficar \( p(x) = -2x^2 + 3x + 1 \)

Encuentra el vértice, las intersecciones y esboza el gráfico.

Ver Solución

1. Vértice:
\( h = -3 / (2 \cdot -2) = 0.75 \)
\( k = p(0.75) = -2(0.75)^2 + 3(0.75) + 1 = 2.125 \). Vértice: (0.75, 2.13).

2. Gráfico: Como \( a = -2 \), la parábola abre hacia abajo.

Graficar Funciones Cuadráticas

1. La Parábola Básica: \( f(x) = x^2 \)

2. Propiedades de la Forma de Vértice: \( g(x) = a(x - h)^2 + k \)

Ejemplo 2: Graficar \( g(x) = 4(x - 1)^2 - 1 \)

3. Graficar en Forma Estándar: \( f(x) = ax^2 + bx + c \)

Ejemplo 5: Graficar \( p(x) = -2x^2 + 3x + 1 \)

Continúa practicando