Grafica funciones cuadráticas

Gráficas de funciones cuadráticas de la forma de vértice f(x) = a (x - h)2 + k y de la forma estándar f(x) = a x2 + b x + c se presentan con varios ejemplos y sus soluciones detalladas.
Comenzamos con la gráfica de la función cuadrática básica f(x) = x2, luego graficamos ejemplos de funciones cuadráticas en forma de vértice y luego en forma estándar.
En este sitio web también se incluye un tutorial con varios ejemplos sobre búsqueda de funciones cuadráticas dadas sus gráficas.
Las funciones cuadráticas son funciones polinómicas de grado 2 (x al cuadrado) y la palabra "cuadrática" proviene de la palabra latina "quadratus" que significa cuadrado.

Contenido de página


Gráfica de la función cuadrática básica: f(x) = x2

Ejemplo 1
Encuentra puntos en el gráfico de la función f(x) = x2 y grafica.
Primero notamos que
1) porque el cuadrado del número real es positivo o cero, x2 ≥ 0 y, por lo tanto, la gráfica de f toca el eje x en x = 0 y está por encima del eje x para todos los demás valores de x.
2) f(-x) = (-x)2 = x 2 = f(x) , por lo tanto, la función f es par y su gráfica es simétrica con respecto a la eje y.
3) El rango de valores de y = f(x) es : y ≥ 0
Usemos una tabla para encontrar puntos en la gráfica de la función f
Tabla de Valores de f(x ) = x^2
Ahora trazamos los puntos en la tabla y los unimos para obtener la gráfica de f(x) = x2 llamada parábola.

gráfico de la función cuadrática básica f(x) =x^2
Figura 1. Gráfico de la función cuadrática básica f(x) = x2

El gráfico tiene un vértice en (0,0) (punto mínimo) la línea vertical x = 0 (eje y) como el eje de simetría .


Gráfica de funciones cuadráticas en forma de vértice: g(x) = a(x - h)2 + k

Una función cuadrática en forma de vértice g(x) = a(x - h)2 + k es la función cuadrática básica f(x) = x2 que ha sido transformada .
1) De x2 a (x - h)2: desplaza h unidades a la derecha si h es positivo o -h unidades a la izquierda si h es negativo.
2) De (x - h)2 a a(x - h)2: estiramiento vertical (|a| > 1) o compresión (|a| < 1) más reflexión sobre el eje x si a es negativo.
3) De a(x - h)2 a a(x - h)2 + k: un desplazamiento vertical de k unidades.

Conclusión
Una función cuadrática en forma de vértice g(x) = a(x - h)2 + k tiene un gráfico
1) con un vértice (mínimo o máximo) en (h , k)
2) Un eje de simetría vertical x = h.
3) La gráfica de g que es una parábola se abre hacia arriba si el coeficiente a es positivo y por tanto el vértice es un punto mínimo o hacia abajo si a es negativo y por tanto el vértice es un punto máximo.
4) El rango de valores de y = g(x) es: y ≥ k si a es positivo o y ≤ k si a es negativo.


Ejemplo 2
a) Identifica el vértice de la gráfica de la función g(x) = 4 (x - 1)2 - 1, su eje de simetría y decide si la gráfica abre hacia arriba o hacia abajo.
b) Encuentra los puntos de intersección de la gráfica de g con el eje (intersecciones x) y el eje y (intersecciones y).
c) Usa el vértice, las intersecciones x e y, algunos puntos más en la gráfica de g, y grafica.
d) ¿Cuál es el rango de valores de y = g(x)?

Solución al Ejemplo 2
a) Comparando g(x) = 4 (x - 1)2 - 1 con g(x) = a(x - h)2 + k, h = 1 , k = -1 y a = 4.
El vértice está en el punto (h , k) = (1 , -1).
El eje de simetría es la recta vertical x = h = 1
a es positivo, la parábola (gráfica de g) abre hacia arriba.
b) El intercepto en y es un punto en el eje y, por lo tanto, x = 0 para este punto y su coordenada y dada por g(0) = 3. Por lo tanto, el intercepto en y está en (0, 3)
La intersección x es un punto en el eje x, por lo tanto, y = g(x) = 0 para este punto y su(s) coordenada(s) x se encuentran resolviendo
g(x) = 4 (x - 1)2 - 1 = 0
4 (x - 1)2 = 1
2 (x - 1) = ± √1
2(x - 1) = 1 da x = 3/2 = 1,5
2(x - 1) = - 1 da x = 1/2 = 0,5
Dos intersecciones x están en: (1/2, 0) y (3/2, 0)
c) Un punto más en la gráfica de g.
g(2) = 4 (2 - 1)2 - 1 = 3
d) Dado que a = 4 es positivo, el rango de valores de y = g(x) = 4 (x - 1)2 - 1 viene dado por:
la desigualdad y ≥ k o y ≥ - 1
o el intervalo [-1, +∞)
El gráfico se muestra a continuación con el vértice en (1,-1) que es un mínimo porque a = 4 es positivo. El gráfico se abre hacia arriba.
Sus intersecciones con x están ubicadas en (1/2,0) y (3/2,0) y su intersección con y está ubicada en (0,3).
La parábola tiene como eje de simetría la recta vertical x = 1.
El rango de valores de y es: y ≥ -1 como se ve en el gráfico.

gráfico de una función cuadrática en forma de vértice: g(x) = 4 (x - 1)<sup>2</sup> - 1
Figura 2. Gráfico de función cuadrática en forma de vértice: g(x) = 4 (x - 1)2 - 1


Ejemplo 3

Encuentra el vértice de la gráfica de la función h(x) = - (x + 1/2)2 + 2, su eje de simetría, el intercepto en y, el intercepto en x y grafica. ¿Cuál es el rango de valor soja y = h(x)?

Solución al Ejemplo 3
Comparando h(x) = - (x + 1/2)2 + 2 con h(x) = a(x - h)2 + k, h = - 1/2, k = 2 y a = - 1.
El vértice está en el punto (-1/2, 2).
El eje de simetría es la recta vertical x = - 1/2
a = - /12 es negativo, la parábola (gráfica de g) abre hacia abajo.
El intercepto en y está en (0 , h(0)) = (0 , 1.75)
El intercepto en x se encuentra resolviendo
h(x) = - (x + 1/2)2 + 2 = 0
Las soluciones a la ecuación anterior son: -1/2 - √2 y -1/2 + √2.
Dos intersecciones x están ubicadas en: (-1/2 - √2 , 0) y (-1/2 + √2 , 0)
El gráfico se muestra a continuación con el vértice en (-1/2, 2) que es un máximo porque a = -1/2 es negativo y el gráfico se abre hacia abajo.
Las intersecciones x están ubicadas en (-1/2 - √2 , 0)≈ (-1.91,0) y (-1/2 + √2 , 0) ≈ (0.91,0).
El intercepto en y se encuentra en (0,1.75)
El eje de simetría es la recta vertical dada por la ecuación: x = h = -1/2.
El coeficiente principal a = - 1 es negativo y k = 2, por lo que el rango de y = h(x) viene dado por: y ≤ 2 (compruebe en el gráfico a continuación).

gráfico de una función cuadrática en forma de vértice: h(x) = - (x + 1/2)<sup>2</sup> + 2
Figura 3. Gráfico de función cuadrática en forma de vértice: h(x) = - (x + 1/2)2 + 2


Gráfica de funciones cuadráticas en forma estándar: f(x) = a x2 + b x + c

Uno de los mejores métodos para graficar funciones cuadráticas dadas en forma estándar f(x) = a x2 + b x + c es reescribirlas primero en forma de vértice de la siguiente manera
f(x) = a(x - h)2 + k , vértice ubicado en el punto (h , k)
donde h = - b / (2 a) y k = f(h).
luego graficarlos usando el vértice, las intersecciones x e y y algunos puntos más si es necesario.

Ejemplo 4
Encuentra el vértice de la gráfica de la función m(x) = x2 + 2 x, su eje de simetría, el intercepto en y, el intercepto en x y grafica. ¿Cuál es el rango de valor soya y = m(x)?

Solución al Ejemplo 4
Identificar los coeficientes a, b y c de la función dada
a = 1, b = 2 y c = 0
Usa la fórmula para h y k
h = - b / (2 a) = - 2 / (2 × 1) = - 1
k = m(h) = (h)2 + 2 (h) = (-1)2 + 2 (-1) = - 1
Use h y k que se encuentran arriba para escribir m(x) en forma de vértice de la siguiente manera
m(x) = a (x - h)2 + k = (x + 1)2 - 1
Nota: como ejercicio, expanda (x + 1)2 - 1 y vea que da x2 + 2 x.
Por lo tanto vértice en (h , k) = (-1 , -1)
El eje de simetría es la recta vertical x = h = - 1
a = 1 es positivo, la parábola (gráfica de m) abre hacia arriba.
El intercepto en y está en (0, m(0)) = (0, 0)
El intercepto en x se encuentra resolviendo
m(x) = x2 + 2 x = 0 (también puedes resolver la forma de vértice si te resulta más fácil)
La ecuación anterior se resuelve factorizando:
x2 + 2 x = x(x + 2) = 0
2 soluciones: x = 0 y x = - 2
Dos intersecciones x están ubicadas en: (0, 0) y (- 2, 0)
El coeficiente principal a es positivo y k = -1, por lo que el rango de y = m(x) viene dado por: y ≥ - 1 (comprobar en el gráfico siguiente).
El gráfico se muestra a continuación con el vértice en (- 1, -1) que es un mínimo porque a = 1 es positivo. El gráfico se abre hacia arriba, su x se intercepta en (0, 0) y (- 2, 0). Su intersección en y en (0 , 0) y eje de simetría x = h = -1.
El rango de y = m(x) viene dado por y ≥ -1.

gráfico de una función cuadrática en forma estándar: m(x) = x<sup>2</sup> + 2 x
Figura 4. Gráfico de función cuadrática en forma estándar: m(x) = x2 + 2 x


Ejemplo 5
Encuentra el vértice de la gráfica de la función p(x) = - 2 x 2 + 3 x + 1, su eje de simetría, el intercepto en y, el intercepto en x y graficarlo. ¿Cuál es el rango de valores de y = p(x)?

Solución al Ejemplo 5
Identificar los coeficientes a, b y c de la función dada
a = - 2, b = 3 y c = 1
Usa la fórmula para h y k
h = - b / (2 a) = - 3 / (2 × (-2)) = 3 / 4
k = p(h) = - 2 (h) 2 + 3 (h) + 1 = -2 (3/4)2 + 3 (3/4) + 1 = 17/8 &asímp; 2.13
p(x) se escribe en forma de vértice de la siguiente manera
p(x) = a (x - h)2 + k = - 2 (x - 3/4)2 + 17/8
Nota: como ejercicio, expanda - 2 (x - 3/4)2 + 17/8 y vea que da - 2 x 2 + 3 x + 1.
Por lo tanto, vértice en (h, k) = (3/4, 17/8)
El eje de simetría es la recta vertical x = h = 3/4
a = - 2 es negativo, la parábola (gráfica de p) abre hacia abajo.
El intercepto en y está en (0, p(0)) = (0, 1)
El intercepto en x se encuentra resolviendo
p(x) = - 2 (x - 3/4)2 + 17/8 = 0 (en este ejemplo es más fácil resolver la forma de vértice)
La ecuación anterior se resuelve extrayendo la raíz cuadrada:
2 (x - 3/4)2 = 17/8
2 soluciones : x = 3/4 + √(17/16) ≈ 1,78 y x = 3/4 - √(17/16) ≈ - 0,28
Dos intersecciones x están ubicadas en: (3/4 - √(17/16) , 0) ≈ (-0.28 , 0) y (3/4 + √(17/16) , 0) ≈ (1.78, 0)
El gráfico se muestra a continuación con el vértice en (3/4, 17/8) que es un máximo porque a = - 2 es negativo y el gráfico se abre hacia abajo.
Su x intercepta en (-0.28, 0) y (1.78, 0). Su intersección en y en (0, 1) y eje de simetría x = h = 3/4.
El coeficiente principal a = - 2 es negativo y k = 17/8, por lo que el rango de y = p(x) viene dado por: y ≤ 17/8 (≈2.13) (consulte el gráfico a continuación).
Se encuentran dos puntos adicionales para ayudar a graficar p. (-1,p(-1)) = (-1,-4) y (3,p(3)) = (3 , -8)

gráfico de una función cuadrática en forma estándar: p(x) = - 2 x <sup>2</sup> + 3 x + 1
Figura 5. Gráfico de función cuadrática en forma estándar: p(x) = - 2 x 2 + 3 x + 1


Ejercicios

Grafica las funciones cuadráticas dadas en forma estándar.
1) Encuentra el vértice, las intersecciones x e y y grafica s(x) = -(1/2)x2 + x + 1. Encuentra el rango de y = s(x)
2) Encuentra el vértice, las intersecciones x e y y grafica t(x) = 4 x2 + 4 x + 2. Encuentra el rango de y = t(x)

Soluciones a los ejercicios anteriores

1) vértice en (1,3/2), x intercepta en (1 + √3, 0) y (1 - √3, 0), y intercepta en (0, 1), rango de y = s( x): y ≤ 3/2

gráfico de una función cuadrática en forma estándar: s(x) = -(1/2)x<sup>2</sup> + x + 1
Figura 6. Gráfico de función cuadrática en forma estándar: s(x) = -(1/2)x2 + x + 1
2) vértice en (-1, 0), una x intercepta en (-1, 0) que también es el vértice, y intercepta en (0, 2), rango de y = t(x): y ≥ 0
gráfico de una función cuadrática en forma estándar: t(x) = 4x<sup>2</sup> + 4x + 2
Figura 7. Gráfico de función cuadrática en forma estándar: t(x) = 4 x2 + 4 x + 2


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