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Se presentan gráficas de funciones cuadráticas en forma de vértice \( f(x) = a (x - h)^2 + k \) y en forma estándar \( f(x) = a x^2 + b x + c \) con varios ejemplos y sus soluciones detalladas.
Comenzamos con la gráfica de la función cuadrática básica f(x) = x2, luego graficamos ejemplos de funciones cuadráticas en forma de vértice y después en forma estándar.
Este sitio también incluye un tutorial con varios ejemplos sobre encontrar funciones cuadráticas dadas sus gráficas.
Las funciones cuadráticas son funciones polinomiales de grado 2 (x al cuadrado) y la palabra "cuadrática" proviene del latín "quadratus" que significa cuadrado.
Contenido de la Página
Encuentra puntos en la gráfica de la función \( f(x) = x^2 \) y gráficala.
Primero observamos que:
1) El cuadrado de un número real es positivo o cero, \( x^2 \ge 0 \), por lo tanto, la gráfica de f toca el eje x en \( x = 0 \) y está por encima del eje x para todos los demás valores de \( x \).
2) \( f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x) \), por lo tanto, la función \( f \) es par y su gráfica es simétrica con respecto al eje y.
3) El rango de valores de \( y = f(x) \) es: \( y \ge 0 \).
Usemos una tabla para encontrar puntos en la gráfica de la función \( f \):
\[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline x & f(x) = x^2 \\ \hline 0 & 0^2 = 0 \\ \hline -1 & (-1)^2 = 1 \\ \hline 1 & 1^2 = 1 \\ \hline -2 & (-2)^2 = 4 \\ \hline 2 & 2^2 = 4 \\ \hline -3 & (-3)^2 = 9 \\ \hline 3 & 3^2 = 9 \\ \hline \end{array} \]Ahora trazamos los puntos de la tabla y los unimos para obtener la gráfica de \( f(x) = x^2 \), llamada parábola.
La gráfica tiene un vértice en (0,0) (punto mínimo) y la línea vertical \( x = 0 \) (eje y) como eje de simetría.
Una función cuadrática en forma de vértice \( g(x) = a(x - h)^2 + k \) es la función cuadrática básica \( f(x) = x^2 \) que ha sido transformada.
1) De \( x^2 \) a \( (x - h)^2 \): desplazar \( h \) unidades a la derecha si \( h \) es positivo, o \( -h \) unidades a la izquierda si \( h \) es negativo.
2) De \( (x - h)^2 \) a \( a(x - h)^2 \): estiramiento vertical si \( |a| \gt 1 \) o compresión si \( |a| \lt 1 \), más reflexión sobre el eje x si \( a \) es negativo.
3) De la expresión cuadrática \( a(x - h)^2 \) a \( a(x - h)^2 + k \): un desplazamiento vertical de \( k \) unidades.
Una función cuadrática en forma de vértice \( g(x) = a(x - h)^2 + k \) tiene una gráfica con:
1) Un vértice (mínimo o máximo) en \( (h, k) \).
2) Un eje de simetría vertical \( x = h \).
3) La gráfica de \( g \), que es una parábola, se abre hacia arriba si el coeficiente a es positivo (el vértice es un punto mínimo) o hacia abajo si a es negativo (el vértice es un punto máximo).
4) El rango de valores de \( y = g(x) \) es: \( y \ge k \) si \( a \) es positivo, o \( y \le k \) si \( a \) es negativo.
a) Identifica el vértice de la gráfica de la función \( g(x) = 4 (x - 1)^2 - 1 \), su eje de simetría y decide si la gráfica se abre hacia arriba o hacia abajo.
b) Encuentra los puntos de intersección de la gráfica de g con el eje x (intersecciones en x) y el eje y (intersección en y).
c) Usa el vértice, las intersecciones en x y en y, algunos puntos más en la gráfica de \( g \), y gráfica la función.
d) ¿Cuál es el rango de valores de \( y = g(x) \)?
a) Comparando \( g(x) = 4(x - 1)^2 - 1 \) con \( g(x) = a(x - h)^2 + k \), escribimos: \( h = 1 \), \( k = -1 \) y \( a = 4 \).
El vértice está en el punto \( (h, k) = (1, -1) \).
El eje de simetría es la línea vertical \( x = h = 1 \).
Dado que \( a \) es positivo, la parábola (gráfica de \( g \)) se abre hacia arriba.
b) La intersección en y es un punto en el eje y, por lo tanto \( x = 0 \) para este punto y su coordenada y está dada por \( g(0) = 3 \). Entonces, la intersección en y está en \( (0, 3) \).
La intersección en x es un punto en el eje x, por lo tanto \( y = g(x) = 0 \) para este punto y su(s) coordenada(s) x se encuentran resolviendo:
\[
g(x) = 4(x - 1)^2 - 1 = 0
\]
\[
4(x - 1)^2 = 1
\]
\[
2(x - 1) = \pm \sqrt{1}
\]
\[
2(x - 1) = 1 \text{ da } x = \frac{3}{2} = 1.5
\]
\[
2(x - 1) = -1 \text{ da } x = \frac{1}{2} = 0.5
\]
Dos intersecciones en x están en: \( (1/2, 0) \) y \( (3/2, 0) \).
c) Un punto más en la gráfica de \( g \): \( g(2) = 4(2 - 1)^2 - 1 = 3 \).
d) Dado que \( a = 4 \) es positivo, el rango de valores de \( y = g(x) = 4(x - 1)^2 - 1 \) está dado por la desigualdad \( y \geq k \) o \( y \geq -1 \), o el intervalo \( [-1, +\infty) \).
La gráfica se muestra a continuación con el vértice en \( (1,-1) \), que es un mínimo porque \( a = 4 \) es positivo y la gráfica se abre hacia arriba.
Sus intersecciones en x están en \( (1/2,0) \) y \( (3/2,0) \), y su intersección en y está en \( (0,3) \).
La parábola tiene un eje de simetría en la línea vertical \( x = 1 \).
El rango de valores de \( y \) es: \( y \geq -1 \), como se ve en la gráfica.
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Encuentra el vértice de la gráfica de la función \( h(x) = - (x + 1/2)^2 + 2 \), su eje de simetría, la intersección en y, las intersecciones en x y gráfica la función. ¿Cuál es el rango de valores de \( y = h(x) \)?
Comparando la función \( h(x) = -\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + 2 \) con la forma estándar \( h(x) = a(x - h)^2 + k \), identificamos: \( h = -\frac{1}{2} \), \( k = 2 \) y \( a = -1 \).
El vértice está en el punto \( \left(-\frac{1}{2}, 2\right) \).
El eje de simetría es la línea vertical \( x = -\frac{1}{2} \).
Dado que \( a = -1 \) es negativo, la parábola (gráfica de \( h \)) se abre hacia abajo.
La intersección en y está en \( (0, h(0)) = (0, 1.75) \).
Las intersecciones en x se encuentran resolviendo la ecuación:
\[
h(x) = -\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + 2 = 0
\]
Resolviendo, las soluciones son:
\[
x = -\frac{1}{2} \pm \sqrt{2}
\]
Entonces, las intersecciones en x están en:
\[
\left(-\frac{1}{2} - \sqrt{2}, 0\right) \quad \text{y} \quad \left(-\frac{1}{2} + \sqrt{2}, 0\right)
\]
La gráfica a continuación muestra el vértice en \( \left(-\frac{1}{2}, 2\right) \), que es un punto máximo porque \( a = -1 \) es negativo, por lo que la parábola se abre hacia abajo.
Las intersecciones en x aproximadas son:
\[
\left(-\frac{1}{2} - \sqrt{2}, 0\right) \approx (-1.91, 0), \quad \left(-\frac{1}{2} + \sqrt{2}, 0\right) \approx (0.91, 0)
\]
La intersección en y está en \( (0, 1.75) \).
Dado que el coeficiente principal \( a = -1 \) es negativo y \( k = 2 \), el rango de \( y = h(x) \) es:
\[
y \leq 2
\]
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Uno de los mejores métodos para graficar funciones cuadráticas dadas en forma estándar \( f(x) = a x^2 + b x + c \) es reescribirlas primero en forma de vértice de la siguiente manera:
\( f(x) = a(x - h)^2 + k \), con vértice en el punto \( (h, k) \)
donde \( h = - \dfrac{b}{2 a} \) y \( k = f(h) \).
Luego, grafícalas usando el vértice, las intersecciones en x y en y, y algunos puntos más si es necesario.
Encuentra el vértice de la gráfica de la función \( m(x) = x^2 + 2 x \), su eje de simetría, la intersección en y, las intersecciones en x y gráfica la función. ¿Cuál es el rango de valores de \( y = m(x) \)?
Identificamos los coeficientes \( a = 1 \), \( b = 2 \), y \( c = 0 \).
Usamos las fórmulas para \( h \) y \( k \):
\[
h = \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{2 \times 1} = -1
\]
\[
k = m(h) = h^2 + 2h = (-1)^2 + 2(-1) = -1
\]
Usamos \( h \) y \( k \) encontrados para escribir \( m(x) \) en forma de vértice:
\[
m(x) = a(x - h)^2 + k = (x + 1)^2 - 1
\]
Nota: Como ejercicio, expande \( (x + 1)^2 - 1 \) y verifica que se simplifica a \( x^2 + 2x \).
Por lo tanto, el vértice está en \( (h, k) = (-1, -1) \).
El eje de simetría es la línea vertical \( x = h = -1 \).
Dado que \( a = 1 \) es positivo, la parábola (gráfica de \( m \)) se abre hacia arriba.
La intersección en y está en \( (0, m(0)) = (0, 0) \).
Las intersecciones en x se encuentran resolviendo:
\[
m(x) = x^2 + 2x = 0
\]
Esta ecuación se resuelve factorizando:
\[
x^2 + 2x = x(x + 2) = 0
\]
Dos soluciones: \( x = 0 \) y \( x = -2 \).
Entonces, las intersecciones en x están en \( (0, 0) \) y \( (-2, 0) \).
Dado que el coeficiente principal \( a = 1 \) es positivo y \( k = -1 \), el rango de \( y = m(x) \) es:
\[
y \geq -1
\]
La gráfica muestra el vértice en \( (-1, -1) \), que es un mínimo porque \( a = 1 \) es positivo, lo que significa que la gráfica se abre hacia arriba. Las intersecciones en x están en \( (0, 0) \) y \( (-2, 0) \), y la intersección en y está en \( (0, 0) \). El eje de simetría es \( x = h = -1 \).
Por lo tanto, el rango de \( y = m(x) \) es \( y \geq -1 \).
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Encuentra el vértice de la gráfica de la función \( p(x) = - 2 x^2 + 3 x + 1 \), su eje de simetría, la intersección en y, las intersecciones en x y gráfica la función. ¿Cuál es el rango de valores de \( y = p(x) \)?
Identificamos los coeficientes: \( a = -2 \), \( b = 3 \) y \( c = 1 \).
Encontramos el vértice \( (h, k) \):
\[
h = \frac{-b}{2a} = \frac{-3}{2 \times (-2)} = \frac{3}{4}
\]
\[
k = p(h) = -2(h)^2 + 3(h) + 1 = -2\left(\frac{3}{4}\right)^2 + 3\left(\frac{3}{4}\right) + 1 = \frac{17}{8} \approx 2.13
\]
La función \( p(x) \) se puede escribir en forma de vértice:
\[
p(x) = a(x - h)^2 + k = -2\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 + \frac{17}{8}
\]
Nota: Como ejercicio, intenta expandir \( -2\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 + \frac{17}{8} \) para verificar que se simplifica a \( -2x^2 + 3x + 1 \).
Propiedades de la gráfica:
- Vértice: \( (h, k) = \left(\frac{3}{4}, \frac{17}{8}\right) \)
- Eje de simetría: \( x = h = \frac{3}{4} \)
- Coeficiente principal \( a = -2 \) es negativo, por lo que la parábola se abre hacia abajo.
- Intersección en y: \( (0, p(0)) = (0, 1) \)
Encontrando las intersecciones en x:
Resolvemos \( p(x) = 0 \) usando la forma de vértice:
\[
-2\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 + \frac{17}{8} = 0
\]
Extrayendo la raíz cuadrada:
\[
2\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 = \frac{17}{8}
\]
\[
\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 = \frac{17}{16}
\]
\[
x = \frac{3}{4} \pm \sqrt{\frac{17}{16}} \approx 0.75 \pm 1.03
\]
\[
x \approx -0.28 \quad \text{y} \quad x \approx 1.78
\]
Las intersecciones en x están aproximadamente en:
- \( (-0.28, 0) \)
- \( (1.78, 0) \)
Características de la gráfica:
- Vértice en \( \left(\frac{3}{4}, \frac{17}{8}\right) \) — este es un máximo porque \( a = -2 \).
- Intersecciones en x en \( (-0.28, 0) \) y \( (1.78, 0) \).
- Intersección en y en \( (0, 1) \).
- Eje de simetría en \( x = \frac{3}{4} \).
Dado que el coeficiente principal \( a = -2 \) es negativo y el valor y del vértice es \( \frac{17}{8} \), el rango de la función es:
\[
y \leq \frac{17}{8} \approx 2.13
\]
Puntos adicionales para graficar:
- \( (-1, p(-1)) = (-1, -4) \)
- \( (3, p(3)) = (3, -8) \)
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Grafica las funciones cuadráticas dadas en forma estándar.
1) Encuentra el vértice, las intersecciones en x y en y, y grafica la función \( s(x) = -\frac{1}{2}x^2 + x + 1 \). Determina el rango de la función \( y = s(x) \).
2) Encuentra el vértice, las intersecciones en x y en y, y grafica la función \( t(x) = 4x^2 + 4x + 2 \). Determina el rango de la función \( y = t(x) \).
1)
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2)
El vértice de la parábola está en \( (-1, 0) \). Hay una intersección en x en \( (-1, 0) \), que también es el vértice. La intersección en y ocurre en \( (0, 2) \).
El rango de la función \( y = t(x) \) es: \( y \geq 0 \).
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