Máximo Común Divisor (MCD) de monomios

Tutorial paso a paso, ejemplos resueltos y soluciones detalladas

En álgebra, el Máximo Común Divisor (MCD) de dos o más monomios es el monomio más grande que divide exactamente a todos ellos. Esta es una habilidad crucial para factorizar polinomios y simplificar expresiones racionales.

El método de factorización prima

Para encontrar el MCD, utilizamos la factorización prima para descomponer cada monomio en sus bloques básicos (coeficientes y variables).

  1. Escriba la factorización prima de cada coeficiente numérico.
  2. Liste las variables con sus exponentes más bajos que aparezcan en el conjunto.
  3. Multiplique los factores numéricos comunes y los factores variables comunes.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: Dos monomios

Encuentre el MCD de \( 12x \) y \( 18x^2 \).

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1. Factorización prima de \( 12x \):
\[ 12x = \color{red}{2} \cdot 2 \cdot \color{red}{3} \cdot \color{red}{x} \]

2. Factorización prima de \( 18x^2 \):
\[ 18x^2 = \color{red}{2} \cdot \color{red}{3} \cdot 3 \cdot \color{red}{x} \cdot x \]

3. Identifique los factores comunes: \( 2, 3, \text{ y } x \).

\[ \text{MCD}(12x, 18x^2) = \color{red}{2 \cdot 3 \cdot x = 6x} \]

Ejemplo 2: Múltiples variables

Encuentre el MCD de \( 30x^2y^3 \), \( 42x^3y^2 \) y \( 18x^2y^2 \).

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Factorizaciones primas:

  • \( 30x^2y^3 = \color{red}{2 \cdot 3} \cdot 5 \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot \color{red}{y \cdot y} \cdot y \)
  • \( 42x^3y^2 = \color{red}{2 \cdot 3} \cdot 7 \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot x \cdot \color{red}{y \cdot y} \)
  • \( 18x^2y^2 = \color{red}{2 \cdot 3} \cdot 3 \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot \color{red}{y \cdot y} \)

El MCD es el producto de los factores comunes:

\[ \text{MCD} = 2 \cdot 3 \cdot x^2 \cdot y^2 = \color{red}{6x^2y^2} \]

Preguntas de práctica con soluciones detalladas

Aplique el método de factorización prima para resolver los siguientes problemas.

Pregunta 1: Encuentre el MCD de \( 36x^2 \) y \( 42x^3 \).

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\[ 36x^2 = \color{red}{2} \cdot 2 \cdot \color{red}{3} \cdot 3 \cdot \color{red}{x \cdot x} \] \[ 42x^3 = \color{red}{2 \cdot 3} \cdot 7 \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot x \]

MCD: \( 2 \cdot 3 \cdot x \cdot x = \color{red}{6x^2} \)

Pregunta 2: Encuentre el MCD de \( 45x^3 \), \( 60x^2 \) y \( 75x^4 \).

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\[ 45x^3 = \color{red}{3} \cdot 3 \cdot \color{red}{5} \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot x \] \[ 60x^2 = \color{red} 2 \cdot 2 \cdot {3} \cdot \color{red}{5} \cdot \color{red}{x \cdot x} \] \[ 75x^4 = \color{red}{3 \cdot 5} \cdot 5 \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot x \cdot x \]

MCD: \( 3 \cdot 5 \cdot x^2 = \color{red}{15x^2} \)

Pregunta 3: Encuentre el MCD de \( 50x^2y^3 \), \( 75x^2y^2 \) y \( 125x^4y^3 \).

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\[ 50x^2y^3 = \color{red} 2 \cdot {5 \cdot 5} \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot \color{red}{y \cdot y} \cdot y \] \[ 75x^2y^2 = \color{red} 3 \cdot {5 \cdot 5} \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot \color{red}{y \cdot y} \] \[ 125x^4y^3 = \color{red} 5 \cdot {5 \cdot 5} \cdot \color{red}{x \cdot x} \cdot x \cdot x \cdot \color{red}{y \cdot y} \cdot y \]

MCD: \( 5 \cdot 5 \cdot x^2 \cdot y^2 = \color{red}{25x^2y^2} \)

Pregunta 4: Simplifique la expresión racional usando el MCD: \[ \dfrac{35x^3y^2}{42x^2y^3} \]

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Primero, encuentre la factorización prima tanto para el numerador como para el denominador:

\[ 35x^3y^2 = 5 \cdot \color{red}{7 \cdot x^2 \cdot y^2} \cdot x \] \[ 42x^2y^3 = 2 \cdot 3 \cdot \color{red}{7 \cdot x^2 \cdot y^2} \cdot y \]

Cancele los factores comunes del MCD \( (7x^2y^2) \):

\[ \dfrac{5x}{6y} \]

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