Se presentan ejemplos de suma, resta y simplificación de expresiones racionales para Grado 11, junto con soluciones detalladas. Se incluyen más preguntas con soluciones y explicaciones detalladas.
Comenzamos con la suma, resta y simplificación de fracciones numéricas, y luego pasamos a expresiones racionales algebraicas.
Se incluye una calculadora en línea para simplificar expresiones racionales que puede usarse para verificar resultados.
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Sumar, restar y simplificar expresiones racionales se realiza de la misma manera que con fracciones numéricas. Hay dos casos posibles:
Caso 1: Las fracciones o expresiones racionales tienen el mismo denominador. En este caso, sumamos o restamos de la siguiente manera:
Caso 2: Las fracciones o expresiones racionales no tienen el mismo denominador. Primero convertimos a un denominador común y luego sumamos o restamos.
En las fracciones solo se incluyen números enteros, mientras que en las expresiones racionales se incluyen expresiones algebraicas.
Si tienes dificultades para sumar, restar y simplificar fracciones y expresiones racionales, este tutorial te ayudará a superarlas, siempre que comprendas cada paso involucrado en la resolución de estas preguntas y también dediques más tiempo a practicar si es necesario. Presentaré los ejemplos a continuación, comenzando primero con fracciones y luego con expresiones racionales, con preguntas más desafiantes a medida que avanzas en el tutorial. ¡Necesitas entender cada paso!
Resta y simplifica:
\[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{4}{3} \]
Las dos fracciones tienen el mismo denominador, por lo tanto restamos de la siguiente manera:
\[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{4}{3} = \dfrac{2-4}{3} = - \dfrac{2}{3} \]
Resta y simplifica:
\[ \dfrac{1}{5} - \dfrac{7}{10} \]
Las dos fracciones tienen diferentes denominadores, por lo tanto necesitamos convertirlas al mismo denominador.
Primero encontramos el mínimo común múltiplo (MCM) de los dos denominadores 5 y 10.
5: 5, 10, 15, ... (multiplica 5 por 1, 2, 3, ... para obtener una lista de múltiplos de 5)
10: 10, 20, 30, ... (multiplica 10 por 1, 2, 3, ... para obtener una lista de múltiplos de 10)
El primer múltiplo común (el más bajo, en rojo en las listas anteriores) se usará como el denominador común, también llamado mínimo común denominador (MCD).
Ahora convertimos todos los denominadores al denominador común 10 de la siguiente manera:
\[ \dfrac{1}{5} - \dfrac{7}{10} = \dfrac{1 \times \color{red}{2}}{5 \times \color{red}{2}} - \dfrac{7}{10} = \dfrac{2}{10} - \dfrac{7}{10} \]
luego simplificamos:
\[ = \dfrac{2-7}{10} = - \dfrac{5}{10} = - \dfrac{1}{2} \]
Simplifica:
\[ \dfrac{5}{8} + \dfrac{1}{12} - \dfrac{5}{16} \]
Los tres denominadores son diferentes, por lo tanto necesitamos encontrar un denominador común.
Primero encontramos el mínimo común múltiplo (MCM) de los tres denominadores 8, 12 y 16.
8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80,...
12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96,...
16: 16, 32, 48, 64, 80, 96...
El mínimo común denominador es 48 y ahora convertimos los 3 denominadores al denominador común 48.
\[ \dfrac{5}{8} + \dfrac{1}{12} - \dfrac{5}{16} = \dfrac{5 \times \color{red}{6}}{8 \times \color{red}{6}} + \dfrac{1 \times \color{red}{4}}{12 \times \color{red}{4}} - \dfrac{5 \times \color{red}{3}}{16 \times \color{red}{3}} \]
y luego simplificamos de la siguiente manera:
\[ = \dfrac{30}{48} + \dfrac{4}{48} - \dfrac{15}{48} = \dfrac{30+4-15}{48} = \dfrac{19}{48} \]
Resta y simplifica:
\[ \dfrac{2-x}{x+2} - \dfrac{4}{x+2} \]
Las dos expresiones racionales tienen el mismo denominador, por lo tanto restamos los numeradores y mantenemos el mismo denominador de la siguiente manera:
\( \require{cancel} \)
\[ \dfrac{2-x}{x+2} - \dfrac{4}{x+2} = \dfrac{2-x-4}{x+2} \]
luego simplificamos:
\[ \dfrac{-x-2}{x+2} = \dfrac{-\cancel{(x+2)}}{\cancel{x+2}} = - 1 , \text { para } x \ne -2 \]
Escribe como una expresión racional:
\[ \dfrac{1}{x + 5} + x - 3 \]
Para sumar una expresión racional con una expresión sin denominador, convertimos la que no tiene denominador en una expresión racional y luego las sumamos.
Las dos expresiones racionales tienen el mismo denominador y se suman de la siguiente manera:
Expandimos el producto \( (x - 3)(x + 5) \) y simplificamos.
NOTA: Para los siguientes ejemplos, necesitas saber Cómo Encontrar el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de Expresiones y también practicar con preguntas sobre soluciones detalladas de MCM.
Suma y simplifica: 
Las dos expresiones racionales tienen diferentes denominadores. Para sumar las expresiones racionales anteriores, necesitamos convertirlas a un denominador común. Primero factorizamos completamente los dos denominadores 3x + 6 y x + 2 y encontramos el MCM.
\[ 3 x + 6 = 3(x + 2) \]
\[ x + 2 = x + 2 \]
\[ \text{MCM} = 3(x + 2) \]
Ahora usamos el MCM como denominador común y reescribimos las expresiones racionales con el mismo denominador de la siguiente manera.
Ahora sumamos y simplificamos.
Suma y simplifica: 
Las dos expresiones racionales tienen diferentes denominadores. Para sumar las expresiones racionales anteriores, necesitamos convertirlas a un denominador común. Primero factorizamos completamente los dos denominadores x2 - x - 2 y x2 + 4x + 3 y encontramos el MCM.
\[ x^2 - x - 2 = (x + 1)(x - 2) \]
\[ x^2 + 4 x + 3 = (x + 1)(x + 3) \]
\[ \text{MCM} = (x + 1)(x - 2)(x + 3) \]
Ahora usamos el MCM como denominador común y reescribimos las expresiones racionales con el mismo denominador de la siguiente manera.
Ahora sumamos los numeradores, factorizamos x + 2 y simplificamos.
El numerador en forma factorizada es muy útil en muchas situaciones: resolver desigualdades racionales, resolver ecuaciones racionales, graficar funciones racionales, etc.