Multiplicar, Dividir y Simplificar Expresiones Racionales – Soluciones Paso a Paso
Explora soluciones paso a paso y explicaciones detalladas sobre cómo multiplicar, dividir, factorizar y simplificar expresiones racionales . Cada pregunta incluye una solución completa, que abarca técnicas de factorización, cancelación de factores comunes y restricciones de dominio. Estos ejemplos están diseñados para ayudar a estudiantes, padres y profesores a comprender mejor las expresiones racionales y prepararse para la práctica de álgebra.
Importante: Recuerda que al simplificar expresiones racionales, siempre debes indicar las restricciones del dominio (valores que hacen cero el denominador).
Repaso de las reglas de multiplicación, división y simplificación de expresiones racionales
Multiplicamos dos expresiones racionales multiplicando sus numeradores y denominadores de la siguiente manera:
\[
\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D}
\]
Dividimos dos expresiones racionales multiplicando la primera por el recíproco de la segunda de la siguiente manera:
\[
\frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} = \frac{A \cdot D}{B \cdot C}
\]
Pregunta 1 - División de Expresiones Racionales
La gráfica muestra una curva racional simple. Divide y simplifica:
\[
\frac{-3}{2} \div \frac{6x - 9}{2x - 3}
\]
Mostrar Solución
La división de dos expresiones racionales se realiza multiplicando la primera por el recíproco de la segunda (ver regla de división arriba). Por lo tanto:
\[
-\frac{3}{2} \div \frac{6x - 9}{2x - 3} = \frac{-3}{2} \cdot \frac{2x - 3}{6x - 9}
\]
Multiplicamos numeradores y denominadores (regla de multiplicación).
\[
= \frac{-3(2x - 3)}{2(6x - 9)}
\]
Factorizamos el término 6x-9 en el denominador:
\[ 6x - 9 = 3(2x - 3) \]
y usamos la forma factorizada en la expresión racional:
\[
= \frac{-3(2x - 3)}{2 \cdot 3(2x - 3)}
\]
Simplificamos:
\[
= \frac{\cancel{-3}\cancel{(2x - 3)}}{2 \cdot \cancel{3}\cancel{(2x - 3)}} = -\frac{1}{2} \text{ para } x \neq \frac{3}{2}
\]
Pregunta 2 - Multiplicación y Simplificación
La gráfica muestra una curva racional con asíntotas verticales. Factoriza y simplifica:
\[
\frac{2x - 5}{2x + 2} \cdot \frac{10x + 10}{4x - 10}
\]
Mostrar Solución
Aplicamos la regla de multiplicación (ver arriba):
\[
\frac{2x - 5}{2x + 2} \cdot \frac{10x + 10}{4x - 10} = \frac{(2x - 5)(10x + 10)}{(2x + 2)(4x - 10)}
\]
Factorizamos los términos en el numerador y denominador:
\[ 10x + 10 = 10(x + 1) \qquad 2x + 2 = 2(x + 1) \qquad 4x - 10 = 2(2x - 5) \]
y sustituimos en forma factorizada:
\[
= \frac{(2x-5) \cdot 10(x+1)}{2(x+1) \cdot 2(2x-5)}
\]
Simplificamos si es posible:
\[
= \frac{\cancel{(2x-5)} \cdot 10 \cancel{(x+1)}}{2 \cancel{(x+1)} \cdot 2 \cancel{(2x-5)}} = \frac{10}{4} = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2} = \frac{5}{2} \text{ para } x \neq -1 \text{ y } x \neq \frac{5}{2}
\]
Pregunta 3 - División y Factorización
La gráfica muestra funciones racionales que se intersectan.
\[
\frac{2x^2 - 7x - 15}{x^2 + 3x - 4} \div \frac{x^2 + x - 30}{x^2 - 1}
\]
Mostrar Solución
La división de dos expresiones racionales se realiza multiplicando la primera expresión por el recíproco de la segunda (ver regla de división arriba). Por lo tanto:
\[
\frac{2x^2 - 7x - 15}{x^2 + 3x - 4} \div \frac{x^2 + x - 30}{x^2 - 1} = \frac{2x^2 - 7x - 15}{x^2 + 3x - 4} \cdot \frac{x^2 - 1}{x^2 + x - 30}
\]
Multiplicamos numeradores y denominadores (regla de multiplicación), pero no expandimos porque podríamos simplificar:
\[
= \frac{(2x^2 - 7x - 15)(x^2 - 1)}{(x^2 + 3x - 4)(x^2 + x - 30)}
\]
Factorizamos los términos en el numerador y denominador si es posible:
\[ 2x^2 - 7x - 15 = (2x + 3)(x - 5) \quad;\quad x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \]
\[ x^2 + 3x - 4 = (x + 4)(x - 1) \quad;\quad x^2 + x - 30 = (x + 6)(x - 5) \]
y sustituimos en la expresión racional:
\[
= \frac{(2x+3)(x-5)(x-1)(x+1)}{(x+4)(x-1)(x+6)(x-5)}
\]
y simplificamos:
\[
= \frac{\cancel{(2x+3)}\cancel{(x-5)}\cancel{(x-1)}(x+1)}{(x+4)\cancel{(x-1)}(x+6)\cancel{(x-5)}} = \frac{(2x+3)(x+1)}{(x+4)(x+6)} \text{ para } x\neq -6,-4,-1,1,5
\]
Pregunta 4 - Expresión Racional Compleja
La gráfica muestra una curva racional con múltiples asíntotas. Divide, factoriza y simplifica:
\[
\left( \frac{x-1}{x+2} + \frac{x^2-4}{x^2-1} \right) + \frac{x-2}{x+5}
\]
Mostrar Solución
Tenemos la multiplicación de dos expresiones racionales dentro del paréntesis y luego aplicamos la regla de multiplicación. También tenemos una división por una expresión racional, que se realiza multiplicando por el recíproco. Por lo tanto:
\[
\left( \frac{x-1}{x+2} \cdot \frac{x^2-4}{x^2-1} \right) \div \frac{x-2}{x+5} = \frac{(x-1)(x^2-4)}{(x+2)(x^2-1)} \cdot \frac{x+5}{x-2}
\]
Multiplicamos numeradores y denominadores (regla de multiplicación), pero no expandimos porque podríamos simplificar:
\[
= \frac{(x-1)(x^2-4)(x+5)}{(x+2)(x^2-1)(x-2)}
\]
Factorizamos los términos en numerador y denominador si es posible y los sustituimos:
\[ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \quad;\quad x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \]
Simplificamos:
\[
= \frac{\cancel{(x-1)}\cancel{(x-2)}\cancel{(x+2)}(x+5)}{\cancel{(x+2)}\cancel{(x-1)}(x+1)\cancel{(x-2)}} = \frac{x+5}{x+1} \text{ para } x\neq -2,-1,1,-5,2
\]
Pregunta 5 - División de Expresiones Racionales Cúbicas
La gráfica muestra una función racional con un numerador cúbico. Divide, factoriza y simplifica:
\[
\frac{x^3 - 27}{x+3} \div \frac{x-3}{(x+3)^2}
\]
Mostrar Solución
La división de dos expresiones racionales se realiza multiplicando la primera expresión por el recíproco de la segunda (ver regla de división arriba). Por lo tanto:
\[
\frac{x^3 - 27}{x + 3} \div \frac{x - 3}{(x + 3)^2} = \frac{x^3 - 27}{x + 3} \cdot \frac{(x + 3)^2}{x - 3}
\]
Multiplicamos numeradores y denominadores (regla de multiplicación), pero no expandimos:
\[
= \frac{(x^3 - 27)(x + 3)^2}{(x + 3)(x - 3)}
\]
Factorizamos el término \(x^3 - 27\) en el numerador y lo usamos:
\[ x^3 - 27 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9) \]
y sustituimos en la expresión racional:
\[
= \frac{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)(x + 3)^2}{(x + 3)(x - 3)}
\]
y simplificamos:
\[
= \frac{\cancel{(x - 3)}(x^2 + 3x + 9)(x + 3)^{\cancel{2}}}{\cancel{(x + 3)}\cancel{(x - 3)}} = (x + 3)(x^2 + 3x + 9)
\]
\[
\text{para } x \neq -3 \text{ y } x \neq 3
\]
Pregunta 6 - Multiplicación de Expresiones Racionales
La gráfica muestra una función racional con múltiples asíntotas. Multiplica, factoriza y simplifica:
\[
\frac{2y - x}{4x^2 - 9y^2} \cdot \frac{4x + 6y}{y - \frac{1}{2}x}
\]
Mostrar Solución
Aplicamos la regla de multiplicación (ver arriba):
\[
\frac{2y - x}{4x^2 - 9y^2} \cdot \frac{4x + 6y}{y - \frac{1}{2}x} = \frac{(2y - x)(4x + 6y)}{(4x^2 - 9y^2)(y - \frac{1}{2}x)}
\]
Factorizamos los términos en el numerador y denominador:
\[ 2y - x = 2(y - (1/2)x) \quad;\quad 4x + 6y = 2(2x + 3y) \quad;\quad 4x^2 - 9y^2 = (2x - 3y)(2x + 3y) \]
y sustituimos en forma factorizada:
\[
= \frac{2\left(y - \frac{1}{2}x\right) \cdot 2(2x + 3y)}{(2x - 3y)(2x + 3y)\left(y - \frac{1}{2}x\right)}
\]
Simplificamos si es posible:
\[
= \frac{\cancel{2}\cancel{\left(y - \frac{1}{2}x\right)} \cdot 2\cancel{(2x + 3y)}}{\cancel{(2x - 3y)}\cancel{(2x + 3y)}\cancel{\left(y - \frac{1}{2}x\right)}} = \frac{4}{2x - 3y} \text{ para } x \neq 2y, -\frac{3y}{2}, \frac{3y}{2}
\]