¿Cómo simplificar expresiones racionales? Se presentan ejemplos para grado 11 con soluciones detalladas y explicaciones completas. También se incluyen más preguntas con respuestas al final de la página.
Se incluye una calculadora en línea para simplificar expresiones racionales que puede usarse para verificar resultados.
¿Cómo simplificar expresiones racionales? Las reglas de suma, resta, multiplicación y división de expresiones racionales se usan para simplificar expresiones complejas.
Las expresiones racionales con el mismo denominador se suman o restan de la siguiente manera: \[ \dfrac{A}{B} \pm \dfrac{C}{B} = \dfrac{A \pm C}{B} \]
Las expresiones racionales se multiplican así: \[ \dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{C}{D} = \dfrac{A \cdot C}{B \cdot D} \]
Dividimos dos expresiones racionales multiplicando la primera por el recíproco de la segunda: \[ \dfrac{A}{B} \div \dfrac{C}{D} = \dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{D}{C} = \dfrac{A \cdot D}{B \cdot C} \;\; \text{o} \;\; \dfrac{ \dfrac{A}{B} }{ \dfrac{C}{D}} = \dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{D}{C} = \dfrac{A \cdot D}{B \cdot C} \]
Si tienes dificultades para simplificar expresiones racionales, repasa los tutoriales sobre cómo sumar, restar y simplificar expresiones racionales y cómo multiplicar, dividir y simplificar expresiones racionales. Los ejemplos con soluciones detalladas te ayudarán a superar cualquier dificultad. Comenzaremos con fracciones simples y luego avanzaremos a expresiones racionales más desafiantes. ¡Es importante entender cada paso!
También puedes revisar las preguntas sobre reducción de expresiones racionales y sus soluciones.
Simplificar: \[ \dfrac{\dfrac{2}{3} + 5}{4} +\dfrac{1}{2} \]
Primero simplificamos el numerador \( \dfrac{2}{3} + 5 \) de la fracción \( \dfrac{\dfrac{2}{3} + 5}{4} \). Convertimos a denominador común: \[ \dfrac{\dfrac{2}{3} + 5}{4} +\dfrac{1}{2} = \dfrac{\dfrac{2}{3} + 5 \cdot \dfrac{3}{3}}{4} +\dfrac{1}{2} = \dfrac{\dfrac{17}{3}}{4} +\dfrac{1}{2} \] Convertimos 4 en fracción \( \frac{4}{1} \) y simplificamos \( \dfrac{\dfrac{17}{3}}{4} \) dividiendo (multiplicando por el recíproco): \[ = \dfrac{\dfrac{17}{3}}{\dfrac{4}{1}} +\dfrac{1}{2} = \dfrac{17}{3} \cdot \dfrac{1}{4} +\dfrac{1}{2} \] Multiplicamos las fracciones: \[ = \dfrac{17 \cdot 1}{3 \cdot 4} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{17}{12} +\dfrac{1}{2} \] Convertimos a denominador común y sumamos: \[ = \dfrac{17}{12} +\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{6}{6} = \dfrac{17+6}{12} = \dfrac{23}{12} \]
Simplificar: \[ \dfrac{\dfrac{x+1}{x-2}+\dfrac{x}{x+1}}{\dfrac{1}{x+1}} \]
Simplificamos el numerador \( \dfrac{x+1}{x-2}+\dfrac{x}{x+1} \) convirtiendo al mismo denominador (denominador común \( (x - 2)(x + 1) \)): \[ \dfrac{\dfrac{x+1}{x-2}+\dfrac{x}{x+1}}{\dfrac{1}{x+1}} = \dfrac{\dfrac{x+1}{x-2} \cdot \dfrac{x+1}{x+1} +\dfrac{x}{x+1} \cdot \dfrac{x-2}{x-2} }{\dfrac{1}{x+1}} = \dfrac{ \dfrac{(x+1)^2+x(x-2)}{(x+1)(x-2)} }{\dfrac{1}{x+1}} \] Aplicamos la regla de división (multiplicamos por el recíproco de \( \frac{1}{x+1} \)): \[ = \dfrac{((x+1)^2+x(x-2))}{(x+1)(x-2)} \cdot \dfrac{x+1}{1} \] Simplificamos cancelando factores comunes: \[ = \dfrac{((x+1)^2+x(x-2))}{{\cancel{(x+1)}}(x-2)} \cdot \dfrac{\cancel{(x+1)}}{1} = \dfrac{((x+1)^2+x(x-2))}{(x-2)} \] Expandimos y simplificamos: \[ = \dfrac{2x^2+1}{x-2} \;\; \text{para} \;\; x \ne -1 \]
Simplificar: \[ \dfrac{\dfrac{x-1}{3x+2}+3}{\dfrac{x+1}{6x+4}} - 2 \]
Simplificamos \( \dfrac{x-1}{3x+2}+3 \) convirtiendo al mismo denominador: \[ \dfrac{\dfrac{x-1}{3x+2}+3}{\dfrac{x+1}{6x+4}} - 2 = \dfrac{\dfrac{x-1}{3x+2}+3 \cdot \dfrac{3x+2}{3x+2}}{\dfrac{x+1}{6x+4}} - 2 \] Aplicamos la regla de suma: \[ = \dfrac{\dfrac{x - 1 +3 \cdot (3x+2)}{3x+2}}{\dfrac{x+1}{6x+4}} - 2 \] Expandimos y simplificamos \( x - 1 +3 \cdot (3x+2) \): \[ = \dfrac{\dfrac{10x + 5}{3x+2}}{\dfrac{x+1}{6x+4}} - 2 \] Aplicamos la regla de división (multiplicamos por el recíproco): \[ = \dfrac{10x + 5}{3x+2} \cdot \dfrac{6x+4}{x+1} - 2 \] Factorizamos: \[ = \dfrac{5(2x + 1)}{3x+2} \cdot \dfrac {2(3x+2)}{x+1} - 2 \] Simplificamos: \[ = \dfrac{5(2x + 1)}{{\cancel{3x+2}}} \cdot \dfrac {2{\cancel{(3x+2)}}}{x+1} - 2 = \dfrac{10 (2x+1)}{x+1}-2 \] Convertimos a denominador común, aplicamos la regla de suma y simplificamos: \[ \dfrac{10(2x+1)}{x+1}-2 \cdot \dfrac{x+1}{x+1} = \dfrac{10(2x+1) - 2(x+1)}{x+1} = \dfrac{2(9x+4)}{x+1} \;\; \text{para} \;\; x \ne -2/3 \]
Simplificar: \[ \dfrac{ \dfrac{2-x}{x+2}-\dfrac{4}{x+2}}{\dfrac{1}{x+3}-\dfrac{4}{x+3}} \]
Aplicamos la regla de resta en el numerador y denominador: \[ \dfrac{ \dfrac{2-x}{x+2}-\dfrac{4}{x+2}}{\dfrac{1}{x+3}-\dfrac{4}{x+3}} = \dfrac{ \dfrac{2-x -4}{x+2}}{\dfrac{1-4}{x+3}} \] Simplificamos: \[ = \dfrac{ \dfrac{-x - 2}{x+2}}{\dfrac{-3}{x+3}} \] Aplicamos la regla de división y factorizamos: \[ = \dfrac{-x - 2}{x+2} \cdot \dfrac{x+3}{-3} = \dfrac{-(x + 2)}{x+2} \cdot \dfrac{x+3}{-3} \] Simplificamos: \[ = \dfrac{-{\cancel{(x+2)}}}{{\cancel{x+2}}} \cdot \dfrac{x+3}{-3} = \dfrac{x+3}{3} \;\; \text{para} \;\; x \ne -2 \]
Simplificar: \[ \dfrac{ \dfrac{2-x}{x+2} \cdot \dfrac{4}{x+3}}{\dfrac{1}{x+3}-\dfrac{4}{x+3}} \]
Aplicamos la regla de multiplicación en el numerador y resta en el denominador: \[ \dfrac{ \dfrac{2-x}{x+2} \cdot \dfrac{4}{x+3}}{\dfrac{1}{x+3}-\dfrac{4}{x+3}} = \dfrac{ \dfrac{4(2-x)}{(x+2)(x+3)}}{\dfrac{1 - 4}{x+3}} \] Aplicamos la regla de división: \[ = \dfrac{4(2-x)}{(x+2)(x+3)} \cdot \dfrac{x+3}{-3} \] Simplificamos: \[ = \dfrac{4(2-x)}{(x+2){\cancel{(x+3)}}} \cdot \dfrac{{\cancel{(x+3)}}}{-3} = -\dfrac{4(2-x)}{3(x+2)} \;\; \text{para} \;\; x \ne -3 \]
Simplificar: \[ \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x+\dfrac{1}{x+1}}} \]
Convertimos los términos en \( x + \dfrac{1}{x+1} \) a mismo denominador: \[ \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x+\dfrac{1}{x+1}}} = \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x \cdot \dfrac{x+1}{x+1}+\dfrac{1}{x+1}}} \] Sumamos y simplificamos: \[ = \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\dfrac{x^2+x+1}{x+1}}} \] Notamos que \( \dfrac{1}{\dfrac{x^2+x+1}{x+1}} = \dfrac{x+1}{x^2+x+1} \): \[ = \dfrac{1}{1+ \dfrac{x+1}{x^2+x+1}} \] Convertimos a denominador común: \[ = \dfrac{1}{1 \cdot \dfrac{x^2+x+1}{x^2+x+1}+ \dfrac{x+1}{x^2+x+1}} \] Sumamos y simplificamos: \[ = \dfrac{1}{ \dfrac{x^2+x+1}{x^2+x+1}+ \dfrac{x+1}{x^2+x+1}} = \dfrac{1}{ \dfrac{x^2+x+1+x+1}{x^2+x+1}} = \dfrac{1}{ \dfrac{x^2+2x+2}{x^2+x+1}} \] Tomamos el recíproco: \[ = \dfrac{x^2+x+1}{x^2+2x+2} \]
Simplifica las siguientes expresiones - Las respuestas están al final de la página.