¿Cómo se simplifican las expresiones racionales? Las reglas de suma, resta, multiplicación y división de expresiones racionales se utilizan para simplificar fracciones algebraicas complejas. A continuación se presentan ejemplos de grado 11 junto con soluciones detalladas paso a paso.
Consejo: Puede utilizar nuestra calculadora en línea para simplificar expresiones racionales para comprobar sus resultados finales.
Si tiene dificultades, repase los tutoriales sobre Suma y resta y Multiplicación y división antes de comenzar.
| Suma y resta (Requiere un denominador común) |
\[ \dfrac{A}{B} \pm \dfrac{C}{B} = \dfrac{A \pm C}{B} \] |
| Multiplicación | \[ \dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{C}{D} = \dfrac{A \cdot C}{B \cdot D} \] |
| División (Multiplicar por el recíproco) |
\[ \dfrac{A}{B} \div \dfrac{C}{D} = \dfrac{\dfrac{A}{B}}{\dfrac{C}{D}} = \dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{D}{C} = \dfrac{A \cdot D}{B \cdot C} \] |
Simplificar: \[ \dfrac{\dfrac{2}{3} + 5}{4} +\dfrac{1}{2} \]
Primero simplificamos el numerador \( \dfrac{2}{3} + 5 \). Convertimos a un denominador común.
\[ \dfrac{\dfrac{2}{3} + 5}{4} +\dfrac{1}{2} = \dfrac{\dfrac{2}{3} + 5 \cdot \dfrac{3}{3}}{4} +\dfrac{1}{2} = \dfrac{\dfrac{17}{3}}{4} +\dfrac{1}{2} \]
Cambiamos 4 a una fracción \( \dfrac{4}{1} \) y simplificamos dividiendo las fracciones (multiplicando por el recíproco).
\[ = \dfrac{\dfrac{17}{3}}{\dfrac{4}{1}} +\dfrac{1}{2} = \dfrac{17}{3} \cdot \dfrac{1}{4} +\dfrac{1}{2} \]
Multiplicamos las fracciones.
\[ = \dfrac{17 \cdot 1}{3 \cdot 4} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{17}{12} +\dfrac{1}{2} \]
Convertimos a un denominador común y sumamos.
\[ = \dfrac{17}{12} +\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{6}{6} = \dfrac{17+6}{12} = \mathbf{\dfrac{23}{12}} \]
Simplificar: \[ \dfrac{\dfrac{x+1}{x-2}+\dfrac{x}{x+1}}{\dfrac{1}{x+1}} \]
Primero simplificamos el numerador convirtiendo al mínimo común denominador \( (x - 2)(x + 1) \).
\[ = \dfrac{\dfrac{x+1}{x-2} \cdot \dfrac{x+1}{x+1} +\dfrac{x}{x+1} \cdot \dfrac{x-2}{x-2} }{\dfrac{1}{x+1}} \]
\[ = \dfrac{ \dfrac{(x+1)^2+x(x-2)}{(x+1)(x-2)} }{\dfrac{1}{x+1}}\]
Aplicamos la regla de la división multiplicando por el recíproco del denominador.
\[ = \dfrac{((x+1)^2+x(x-2))}{(x+1)(x-2)} \cdot \dfrac{x+1}{1} \]
Simplificamos cancelando los factores comunes.
\[ = \dfrac{((x+1)^2+x(x-2))}{{\cancel{(x+1)}}(x-2)} \cdot \dfrac{\cancel{(x+1)}}{1} = \dfrac{(x+1)^2+x(x-2)}{x-2}\]
Expandimos y simplificamos el numerador.
\[ = \dfrac{(x^2+2x+1) + (x^2-2x)}{x-2} = \mathbf{\dfrac{2x^2+1}{x-2}} \;\; \text{para} \;\; x \ne -1\]
Simplificar: \[ \dfrac{\dfrac{x-1}{3x+2}+3}{\dfrac{x+1}{6x+4}} - 2 \]
Convertimos los términos del numerador al mismo denominador.
\[ \dfrac{\dfrac{x-1}{3x+2}+3 \cdot \dfrac{3x+2}{3x+2}}{\dfrac{x+1}{6x+4}} - 2 = \dfrac{\dfrac{x - 1 +3(3x+2)}{3x+2}}{\dfrac{x+1}{6x+4}} - 2 \]
Expandimos y simplificamos la parte superior.
\[ = \dfrac{\dfrac{10x + 5}{3x+2}}{\dfrac{x+1}{6x+4}} - 2 \]
Multiplicamos por el recíproco.
\[ = \dfrac{10x + 5}{3x+2} \cdot \dfrac{6x+4}{x+1} - 2 \]
Factorizamos las constantes para encontrar cancelaciones comunes.
\[ = \dfrac{5(2x + 1)}{3x+2} \cdot \dfrac {2(3x+2)}{x+1} - 2 \]
Cancelamos \( (3x+2) \) y multiplicamos.
\[ = \dfrac{5(2x + 1)}{{\cancel{3x+2}}} \cdot \dfrac {2{\cancel{(3x+2)}}}{x+1} - 2 = \dfrac{10 (2x+1)}{x+1}-2 \]
Convertimos al mismo denominador y combinamos.
\[ = \dfrac{10(2x+1)}{x+1} - 2 \cdot \dfrac{x+1}{x+1} = \dfrac{20x + 10 - 2x - 2}{x+1} = \dfrac{18x+8}{x+1} = \mathbf{\dfrac{2(9x+4)}{x+1}} \]
Simplificar: \[ \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x+\dfrac{1}{x+1}}} \]
Comenzamos desde la fracción más profunda y trabajamos hacia arriba. Convertimos los términos en \( x + \dfrac{1}{x+1} \) al mismo denominador.
\[ \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x \cdot \dfrac{x+1}{x+1}+\dfrac{1}{x+1}}} = \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\dfrac{x^2+x+1}{x+1}}} \]
Tenga en cuenta que \( \dfrac{1}{\dfrac{A}{B}} \) es el recíproco \( \dfrac{B}{A} \).
\[ = \dfrac{1}{1+ \dfrac{x+1}{x^2+x+1}} \]
Convertimos los términos restantes del denominador a un denominador común.
\[ = \dfrac{1}{1 \cdot \dfrac{x^2+x+1}{x^2+x+1}+ \dfrac{x+1}{x^2+x+1}} \]
Simplificamos y sumamos.
\[ = \dfrac{1}{ \dfrac{x^2+x+1+x+1}{x^2+x+1}} = \dfrac{1}{ \dfrac{x^2+2x+2}{x^2+x+1}}\]
Tomamos el recíproco final.
\[ = \mathbf{\dfrac{x^2+x+1}{x^2+2x+2}} \]
Simplifique las siguientes expresiones. Haga clic en "Ver solución" para verificar sus respuestas.
Problema: \( \dfrac{\dfrac{2}{5} + 7}{\dfrac{4}{3}} +\dfrac{1}{3} \)
Respuesta: \( \dfrac{353}{60} \)
Problema: \( \dfrac{\dfrac{x-2}{x+3}+\dfrac{x}{x+3}}{\dfrac{1}{2x+6}} \)
Respuesta: \( 4(x-1) \)
Problema: \( \dfrac{\dfrac{x-1}{3x-12}+3}{\dfrac{x+1}{x-4}} - \dfrac{2}{3} \)
Respuesta: \( \dfrac{8x-39}{3(x+1)} \)
Problema: \( \dfrac{ \dfrac{2-x}{x+1}-\dfrac{4}{x+1}}{\dfrac{1}{x-5}-\dfrac{4}{x-5}} \)
Respuesta: \( \dfrac{ (x+2)(x-5)}{3(x+1)} \)
Problema: \( \dfrac{ \dfrac{2-x}{x+2} - \dfrac{4}{x+3}}{\dfrac{1}{x+3} \cdot \dfrac{4}{x+3}} \)
Respuesta: \( \dfrac{(-x^2-5x-2)(x+3)}{4(x+2)} \)
Problema: \( \dfrac{\dfrac{1}{2}}{1+\dfrac{1}{\dfrac{1}{x-1}-2}} \)
Respuesta: \( \dfrac{-2x+3}{2(-x+2)} \)
Desafío 1: Simplificar una fracción compleja que requiere factorización de polinomios.
\[ \dfrac{ \dfrac{x^2-9}{x^2-4x+4} }{ \dfrac{x+3}{x-2} } \]
Paso 1: Aplicar la regla de la división (multiplicar por el recíproco).
\[ = \dfrac{x^2-9}{x^2-4x+4} \cdot \dfrac{x-2}{x+3} \]
Paso 2: Factorizar los numeradores y denominadores. Observe la diferencia de cuadrados y el trinomio cuadrado perfecto.
\[ = \dfrac{(x-3)(x+3)}{(x-2)(x-2)} \cdot \dfrac{x-2}{x+3} \]
Paso 3: Cancelar los factores comunes \( (x+3) \) y \( (x-2) \).
\[ = \dfrac{(x-3){\cancel{(x+3)}}}{(x-2){\cancel{(x-2)}}} \cdot \dfrac{\cancel{x-2}}{\cancel{x+3}} \]
Respuesta: \( \mathbf{\dfrac{x-3}{x-2}} \)
Desafío 2: Sumar y restar expresiones racionales con denominadores cuadráticos.
\[ \dfrac{2x}{x^2-1} - \dfrac{1}{x-1} + \dfrac{3}{x+1} \]
Paso 1: Factorizar todos los denominadores para encontrar el mínimo común denominador (MCD). Aquí, \( x^2-1 = (x-1)(x+1) \).
El MCD es \( (x-1)(x+1) \).
Paso 2: Reescribir cada fracción con el MCD.
\[ \dfrac{2x}{(x-1)(x+1)} - \dfrac{1 \cdot (x+1)}{(x-1)(x+1)} + \dfrac{3 \cdot (x-1)}{(x-1)(x+1)} \]
Paso 3: Combinar sobre el único denominador. ¡Tenga cuidado de distribuir el signo negativo!
\[ = \dfrac{2x - (x+1) + 3(x-1)}{(x-1)(x+1)} \]
Paso 4: Expandir y combinar términos semejantes en el numerador.
\[ = \dfrac{2x - x - 1 + 3x - 3}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{4x - 4}{(x-1)(x+1)} \]
Paso 5: Factorizar el numerador para ver si algo más se cancela.
\[ = \dfrac{4(x-1)}{(x-1)(x+1)} \]
Respuesta: \( \mathbf{\dfrac{4}{x+1}} \)
Desafío 3: Simplificar una fracción continua de múltiples niveles.
\[ 2 - \dfrac{1}{2 - \dfrac{1}{2 - x}} \]
Paso 1: Simplificar el denominador más interno \( 2 - \dfrac{1}{2 - x} \).
\[ 2 \cdot \dfrac{2-x}{2-x} - \dfrac{1}{2-x} = \dfrac{4 - 2x - 1}{2-x} = \dfrac{3 - 2x}{2-x} \]
Paso 2: Sustituir esto de nuevo en la ecuación principal. Recuerde que \( \dfrac{1}{\frac{A}{B}} = \dfrac{B}{A} \).
\[ 2 - \dfrac{1}{\dfrac{3 - 2x}{2-x}} = 2 - \dfrac{2-x}{3-2x} \]
Paso 3: Encontrar un denominador común para combinar los términos finales.
\[ = \dfrac{2(3-2x)}{3-2x} - \dfrac{2-x}{3-2x} = \dfrac{6 - 4x - (2 - x)}{3-2x} \]
Paso 4: Combinar términos semejantes.
\[ = \dfrac{6 - 4x - 2 + x}{3-2x} \]
Respuesta: \( \mathbf{\dfrac{4 - 3x}{3 - 2x}} \)