Domine variables complejas, conjugados y raíces polinómicas
Explora una variedad de problemas de números complejos completos con soluciones detalladas paso a paso. Aprende a resolver operaciones complejas, encontrar raíces polinómicas y aplicar las propiedades de los conjugados complejos. Los números complejos juegan un papel crucial en las matemáticas aplicadas, la física, la ingeniería eléctrica y otros campos técnicos.
Nota: A continuación, \( i \) es la unidad imaginaria, donde \( i^2 = -1 \).
Evalúa las siguientes expresiones y escríbelas en forma estándar \( a + bi \):
a) \( (3 + 2i) - (8 - 5i) \)
Distribuye el signo negativo y agrupa las partes reales e imaginarias:
\[ = 3 + 2i - 8 + 5i \]
\[ = (3 - 8) + (2 + 5)i = \mathbf{-5 + 7i} \]
b) \( (4 - 2i)(1 - 5i) \)
Usa el método FOIL para expandir los binomios, y recuerda que \( i^2 = -1 \):
\[ = 4(1) + 4(-5i) - 2i(1) - 2i(-5i) \]
\[ = 4 - 20i - 2i + 10i^2 \]
\[ = 4 - 22i + 10(-1) \]
\[ = (4 - 10) - 22i = \mathbf{-6 - 22i} \]
c) \( \dfrac{-2 - 4i}{i} \)
Para eliminar la unidad imaginaria del denominador, multiplica el numerador y el denominador por \( -i \) (el conjugado de \( i \)):
\[ = \dfrac{(-2 - 4i)(-i)}{(i)(-i)} = \dfrac{2i + 4i^2}{-i^2} \]
Sustituye \( i^2 = -1 \):
\[ = \dfrac{2i + 4(-1)}{-(-1)} = \dfrac{-4 + 2i}{1} = \mathbf{-4 + 2i} \]
d) \( \dfrac{-3 + 2i}{3 - 6i} \)
Multiplica el numerador y el denominador por el conjugado complejo del denominador, que es \( 3 + 6i \):
\[ = \dfrac{(-3 + 2i)(3 + 6i)}{(3 - 6i)(3 + 6i)} \]
Expande tanto el numerador como el denominador:
Numerador: \( -9 - 18i + 6i + 12i^2 = -9 - 12i - 12 = -21 - 12i \)
Denominador: \( 3^2 - (6i)^2 = 9 - 36(-1) = 9 + 36 = 45 \)
Divide ambos términos por 45 y simplifica las fracciones:
\[ = \dfrac{-21 - 12i}{45} = \dfrac{-21}{45} - \dfrac{12}{45}i = \mathbf{-\dfrac{7}{15} - \dfrac{4}{15}i} \]
Si \( \dfrac{x + yi}{i} = 7 + 9i \), donde \( x \) e \( y \) son números reales, ¿cuál es el valor exacto de \( (x + yi)(x - yi) \)?
Primero, aislamos el número complejo \( x + yi \) multiplicando ambos lados de la ecuación dada por \( i \):
\[ \dfrac{x + yi}{i} \cdot i = (7 + 9i) \cdot i \]
\[ x + yi = 7i + 9i^2 \]
Sustituimos \( i^2 = -1 \) y escribimos en forma estándar:
\[ x + yi = -9 + 7i \]
La expresión que necesitamos evaluar es \( (x + yi)(x - yi) \). Observe que \( (x - yi) \) es simplemente el conjugado complejo de \( (x + yi) \). Por lo tanto:
\[ (x + yi)(x - yi) = (-9 + 7i)(-9 - 7i) \]
Esta es una diferencia de cuadrados: \( (a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2 \). Aplicando esta regla:
\[ = (-9)^2 + (7)^2 = 81 + 49 = \mathbf{130} \]
Determine todos los números complejos \( z \) que satisfacen la ecuación: \[ z + 3z' = 5 - 6i \]
donde \( z' \) denota el conjugado complejo de \( z \).
Sea el número complejo desconocido \( z = a + bi \), donde \( a \) y \( b \) son números reales. Su conjugado complejo es, por lo tanto, \( z' = a - bi \).
Sustituya \( z \) y \( z' \) en la ecuación dada:
\[ (a + bi) + 3(a - bi) = 5 - 6i \]
Expanda y agrupe los términos reales e imaginarios en el lado izquierdo:
\[ a + bi + 3a - 3bi = 5 - 6i \]
\[ (a + 3a) + (b - 3b)i = 5 - 6i \]
\[ 4a - 2bi = 5 - 6i \]
Dos números complejos son iguales si y solo si sus partes reales e imaginarias correspondientes son estrictamente iguales. Al igualar las partes, formamos un sistema de dos ecuaciones lineales simples:
Partes reales: \( 4a = 5 \implies a = \dfrac{5}{4} \)
Partes imaginarias: \( -2b = -6 \implies b = 3 \)
Finalmente, sustituya \( a \) y \( b \) de nuevo en nuestra definición original de \( z \):
\[ \mathbf{z = \dfrac{5}{4} + 3i} \]
Encuentre todos los números complejos de la forma \( z = a + bi \), donde \( a \) y \( b \) son números reales, tales que:
\[ z z' = 25 \quad \text{y} \quad a + b = 7 \]
donde \( z' \) representa el conjugado complejo de \( z \).
Sea \( z = a + bi \), lo que hace que su conjugado sea \( z' = a - bi \).
El producto de un número complejo y su conjugado siempre produce la suma de los cuadrados de sus componentes:
\[ z z' = (a + bi)(a - bi) = a^2 - (bi)^2 = a^2 - b^2(-1) = a^2 + b^2 \]
Nos dan que \( zz' = 25 \), así que nuestra primera ecuación es:
\[ a^2 + b^2 = 25 \]
También nos dan la ecuación lineal \( a + b = 7 \). Podemos resolver este sistema por sustitución. Aísle \( b \) en la ecuación lineal:
\[ b = 7 - a \]
Sustituya esta expresión para \( b \) en la ecuación cuadrática:
\[ a^2 + (7 - a)^2 = 25 \]
Expanda el binomio cuadrado perfecto:
\[ a^2 + (49 - 14a + a^2) = 25 \]
Combine términos semejantes para formar una ecuación cuadrática estándar (\( Ax^2 + Bx + C = 0 \)):
\[ 2a^2 - 14a + 24 = 0 \]
Divida toda la ecuación por 2 para simplificar:
\[ a^2 - 7a + 12 = 0 \]
Factorice la ecuación cuadrática:
\[ (a - 4)(a - 3) = 0 \]
Esto da dos valores posibles para \( a \). Usamos \( b = 7 - a \) para encontrar los valores correspondientes para \( b \):
Por lo tanto, los números complejos que satisfacen ambas condiciones son:
\[ \mathbf{z = 4 + 3i \quad \text{y} \quad z = 3 + 4i} \]
El número complejo \( 2 + 4i \) es una de las raíces de la ecuación cuadrática \( x^2 + bx + c = 0 \), donde \( b \) y \( c \) son números reales.
Método 1: Sustitución directa
a) Dado que \( x = 2 + 4i \) es una raíz, sustituirla en la ecuación debe dar cero:
\[ (2 + 4i)^2 + b(2 + 4i) + c = 0 \]
Expanda el binomio al cuadrado y distribuya el \( b \):
\[ (4 + 16i + 16i^2) + 2b + 4bi + c = 0 \]
Sustituya \( i^2 = -1 \) y simplifique:
\[ 4 + 16i - 16 + 2b + 4bi + c = 0 \]
\[ -12 + 16i + 2b + 4bi + c = 0 \]
Agrupe las partes reales e imaginarias:
\[ (-12 + 2b + c) + (16 + 4b)i = 0 \]
Para que un número complejo sea igual a 0, tanto su parte real como su parte imaginaria deben ser 0:
Parte imaginaria: \( 16 + 4b = 0 \implies 4b = -16 \implies \mathbf{b = -4} \)
Parte real: \( -12 + 2b + c = 0 \). Sustituya \( b = -4 \):
\[ -12 + 2(-4) + c = 0 \implies -12 - 8 + c = 0 \implies \mathbf{c = 20} \]
b) Debido a que los coeficientes del polinomio (\( 1, b, c \)) son todos números reales, el Teorema de la Raíz Conjugada Compleja establece que las raíces deben ocurrir en pares conjugados. Por lo tanto, la segunda raíz es \( 2 - 4i \).
Verificación: Sustituya \( x = 2 - 4i \), \( b = -4 \) y \( c = 20 \) en la ecuación:
\[ (2 - 4i)^2 - 4(2 - 4i) + 20 \]
\[ = (4 - 16i + 16i^2) - 8 + 16i + 20 \]
\[ = (4 - 16i - 16) - 8 + 16i + 20 \]
\[ = -12 - 16i - 8 + 16i + 20 = (-12 - 8 + 20) + (-16 + 16)i = 0 \]
(Método alternativo: Use las fórmulas de Vieta. La suma de las raíces es \( -b \), y el producto es \( c \). Raíces dadas \( 2+4i \) y \( 2-4i \), Suma = \( 4 \implies b = -4 \). Producto = \( (2)^2 + (4)^2 = 20 \implies c = 20 \)).
Encuentre todos los números complejos \( z \) tales que: \[ z^2 = -1 + 2 \sqrt{6} i \]
Sea \( z = a + bi \), donde \( a \) y \( b \) son números reales.
Sustituya esto en la ecuación dada:
\[ (a + bi)^2 = -1 + 2\sqrt{6}i \]
Expanda el lado izquierdo:
\[ a^2 + 2abi + b^2i^2 = -1 + 2\sqrt{6}i \]
\[ a^2 - b^2 + 2abi = -1 + 2\sqrt{6}i \]
Iguale las partes real e imaginaria para formar un sistema de ecuaciones:
1) \( a^2 - b^2 = -1 \)
2) \( 2ab = 2\sqrt{6} \)
De la ecuación 2, aísle \( b \):
\[ ab = \sqrt{6} \implies b = \dfrac{\sqrt{6}}{a} \]
Sustituya esta expresión para \( b \) en la ecuación 1:
\[ a^2 - \left( \dfrac{\sqrt{6}}{a} \right)^2 = -1 \]
\[ a^2 - \dfrac{6}{a^2} = -1 \]
Multiplique toda la ecuación por \( a^2 \) para eliminar el denominador:
\[ a^4 - 6 = -a^2 \]
\[ a^4 + a^2 - 6 = 0 \]
Esta es una ecuación cuadrática en términos de \( a^2 \). Podemos factorizarla como:
\[ (a^2 + 3)(a^2 - 2) = 0 \]
Esto da \( a^2 = -3 \) o \( a^2 = 2 \). Dado que \( a \) debe ser un número real, \( a^2 \) no puede ser negativo. Por lo tanto, descartamos \( a^2 = -3 \).
Resolver \( a^2 = 2 \) da dos raíces reales: \( a = \sqrt{2} \) y \( a = -\sqrt{2} \).
Ahora, use \( b = \dfrac{\sqrt{6}}{a} \) para encontrar los valores correspondientes para \( b \):
Combinando estos en nuestro número complejo \( z = a + bi \), obtenemos dos soluciones:
\[ \mathbf{z_1 = \sqrt{2} + \sqrt{3}i \quad \text{y} \quad z_2 = -\sqrt{2} - \sqrt{3}i} \]
Encuentre todos los números complejos \( z \) tales que:
\[ (4 + 2i)z + (8 - 2i)z' = -2 + 10i \]
donde \( z' \) es el conjugado complejo de \( z \).
Sea \( z = a + bi \) y \( z' = a - bi \), donde \( a \) y \( b \) son números reales.
Sustituya estas expresiones en la ecuación dada:
\[ (4 + 2i)(a + bi) + (8 - 2i)(a - bi) = -2 + 10i \]
Expanda cuidadosamente ambos conjuntos de productos usando FOIL:
Primer producto: \( 4a + 4bi + 2ai + 2bi^2 = 4a - 2b + (2a + 4b)i \)
Segundo producto: \( 8a - 8bi - 2ai + 2bi^2 = 8a - 2b + (-2a - 8b)i \)
Sume las expresiones expandidas:
\[ (4a - 2b + 8a - 2b) + (2a + 4b - 2a - 8b)i = -2 + 10i \]
Simplifique agrupando términos semejantes:
\[ (12a - 4b) + (-4b)i = -2 + 10i \]
Iguale las partes real e imaginaria para formar un sistema de ecuaciones:
Parte imaginaria: \( -4b = 10 \implies \mathbf{b = -\dfrac{5}{2}} \)
Parte real: \( 12a - 4b = -2 \). Sustituya el valor de \( b \):
\[ 12a - 4\left(-\dfrac{5}{2}\right) = -2 \]
\[ 12a + 10 = -2 \]
\[ 12a = -12 \implies \mathbf{a = -1} \]
Por lo tanto, el número complejo \( z \) es:
\[ \mathbf{z = -1 - \dfrac{5}{2}i} \]
Dado que el número complejo \( z = -2 + 7i \) es una raíz de la ecuación cúbica:
\[ z^3 + 6z^2 + 61z + 106 = 0 \]
encuentre la raíz real de la ecuación.
Debido a que todos los coeficientes en el polinomio cúbico (\( 1, 6, 61, 106 \)) son números reales, el Teorema de la Raíz Conjugada Compleja garantiza que si \( z_1 = -2 + 7i \) es una raíz, su conjugado \( z_2 = -2 - 7i \) también debe ser una raíz.
Si conocemos dos raíces, podemos crear el factor cuadrático que les corresponde multiplicando \( (z - z_1)(z - z_2) \):
\[ (z - (-2 + 7i))(z - (-2 - 7i)) \]
Para multiplicar esto fácilmente, reagrupe los términos internos para crear una diferencia de cuadrados:
\[ = ((z + 2) - 7i)((z + 2) + 7i) \]
\[ = (z + 2)^2 - (7i)^2 \]
\[ = (z^2 + 4z + 4) - 49(-1) \]
\[ = z^2 + 4z + 53 \]
Esta expresión cuadrática debe ser un factor de nuestro polinomio cúbico original. Sea la raíz real restante \( r \). El polinomio cúbico se puede factorizar como:
\[ z^3 + 6z^2 + 61z + 106 = (z^2 + 4z + 53)(z - r) \]
Podemos encontrar el factor lineal faltante \( (z - r) \) realizando división larga de polinomios, dividiendo el polinomio cúbico por el factor cuadrático. Alternativamente, podemos usar un atajo observando los términos principal y constante:
Por lo tanto, el factor lineal es \( (z + 2) \). Esto significa que la ecuación cúbica factorizada completamente es:
\[ (z^2 + 4z + 53)(z + 2) = 0 \]
Al igualar el factor lineal a cero, obtenemos la raíz real:
\[ z + 2 = 0 \implies \mathbf{z = -2} \]
Considere la ecuación: \[ z^4 + z^3 + 2z^2 + 4z - 8 = 0 \]
a) Para demostrar que \( 2i \) es una raíz, sustituimos \( z = 2i \) en el polinomio y verificamos que sea igual a cero.
Primero, calcule las potencias de \( 2i \):
Sustituya estos valores en el polinomio:
\[ (2i)^4 + (2i)^3 + 2(2i)^2 + 4(2i) - 8 \]
\[ = 16 + (-8i) + 2(-4) + 8i - 8 \]
\[ = 16 - 8i - 8 + 8i - 8 \]
\[ = (16 - 8 - 8) + (-8i + 8i) = \mathbf{0} \]
Dado que el resultado es 0, \( 2i \) es efectivamente una raíz.
b) Debido a que el polinomio tiene coeficientes reales, el Teorema de la Raíz Conjugada Compleja establece que \( -2i \) también es una raíz.
Los factores correspondientes a estas dos raíces son \( (z - 2i) \) y \( (z + 2i) \). Multiplicarlos da un factor cuadrático:
\[ (z - 2i)(z + 2i) = z^2 - (2i)^2 = z^2 - 4(-1) = z^2 + 4 \]
Para encontrar las raíces restantes, dividimos el polinomio original de grado 4 por este factor cuadrático \( z^2 + 4 \). Puede usar la división larga de polinomios:
\[ \dfrac{z^4 + z^3 + 2z^2 + 4z - 8}{z^2 + 4} = z^2 + z - 2 \]
Entonces, el polinomio se factoriza como:
\[ (z^2 + 4)(z^2 + z - 2) = 0 \]
Las raíces restantes provienen de resolver la ecuación cuadrática \( z^2 + z - 2 = 0 \). Factorizándola:
\[ (z + 2)(z - 1) = 0 \]
Esto da \( z = -2 \) y \( z = 1 \). Por lo tanto, el conjunto completo de raíces para la ecuación es:
\[ \mathbf{z = 2i, \quad z = -2i, \quad z = 1, \quad z = -2} \]
\( P(z) = z^4 + a z^3 + b z^2 + c z + d \) es un polinomio donde \( a \), \( b \), \( c \) y \( d \) son números reales. Encuentre los valores exactos de \( a \), \( b \), \( c \) y \( d \) si dos ceros del polinomio \( P \) son \( 2 - i \) y \( 1 - i \).
Debido a que el polinomio tiene coeficientes estrictamente reales, cualquier raíz compleja debe ocurrir en pares conjugados. Dado que nos dan dos raíces complejas, conocemos inmediatamente las otras dos:
Raíces dadas: \( 2 - i \) y \( 1 - i \)
Raíces conjugadas: \( 2 + i \) y \( 1 + i \)
Podemos construir el polinomio multiplicando los factores asociados con estas cuatro raíces:
\[ P(z) = (z - (2 - i))(z - (2 + i)) \cdot (z - (1 - i))(z - (1 + i)) \]
Multipliquemos primero los pares conjugados. Esto resultará en dos cuadráticas de coeficientes reales. Reagrupando para usar la diferencia de cuadrados:
Primer par:
\[ ((z - 2) + i)((z - 2) - i) = (z - 2)^2 - i^2 = (z^2 - 4z + 4) + 1 = \mathbf{z^2 - 4z + 5} \]
Segundo par:
\[ ((z - 1) + i)((z - 1) - i) = (z - 1)^2 - i^2 = (z^2 - 2z + 1) + 1 = \mathbf{z^2 - 2z + 2} \]
Ahora, multiplique estos dos polinomios cuadráticos para obtener \( P(z) \):
\[ P(z) = (z^2 - 4z + 5)(z^2 - 2z + 2) \]
Distribuya cada término del primer polinomio a través del segundo:
\[ = z^2(z^2 - 2z + 2) - 4z(z^2 - 2z + 2) + 5(z^2 - 2z + 2) \]
\[ = (z^4 - 2z^3 + 2z^2) - (4z^3 - 8z^2 + 8z) + (5z^2 - 10z + 10) \]
Combine términos semejantes:
\[ P(z) = z^4 - 6z^3 + 15z^2 - 18z + 10 \]
Al comparar esto con el formato dado \( z^4 + a z^3 + b z^2 + c z + d \), encontramos nuestros coeficientes:
\[ \mathbf{a = -6, \quad b = 15, \quad c = -18, \quad d = 10} \]
Exprese el número complejo \( (\sqrt{3} + i)^6 \) en forma estándar \( a + bi \).
Expandir un binomio a la potencia de 6 es tedioso. En su lugar, podemos convertir el número complejo a su forma polar \( z = r(\cos\theta + i\sin\theta) \) y usar el Teorema de De Moivre: \( z^n = r^n (\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)) \).
Primero, encuentre el módulo \( r \) para el número complejo \( z = \sqrt{3} + i \):
\[ r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2 \]
A continuación, encuentre el argumento (ángulo) \( \theta \):
\[ \tan\theta = \dfrac{y}{x} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \]
Dado que ambos componentes son positivos, el ángulo está en el primer cuadrante: \( \theta = \dfrac{\pi}{6} \) (o 30째).
Entonces, la forma polar es \( z = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right) \).
Ahora, aplique el Teorema de De Moivre para \( n = 6 \):
\[ z^6 = 2^6 \left( \cos\left(6 \cdot \dfrac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(6 \cdot \dfrac{\pi}{6}\right) \right) \]
\[ z^6 = 64 (\cos(\pi) + i\sin(\pi)) \]
Sabemos que \( \cos(\pi) = -1 \) y \( \sin(\pi) = 0 \):
\[ z^6 = 64 (-1 + 0i) = -64 \]
La forma estándar es: \( -64 + 0i \).
Encuentre la ecuación cartesiana para el locus de puntos \( z \) en el plano complejo que satisfacen la ecuación \( |z - 2| = |z + 2i| \), y describa la forma geométrica de este locus.
Sea la variable compleja \( z = x + yi \), donde \( x \) e \( y \) representan coordenadas cartesianas.
Sustituya esto en la ecuación de módulo dada:
\[ |(x + yi) - 2| = |(x + yi) + 2i| \]
Agrupe los componentes reales e imaginarios dentro de los módulos:
\[ |(x - 2) + yi| = |x + (y + 2)i| \]
El módulo de un número complejo \( a+bi \) es \( \sqrt{a^2+b^2} \). Aplique esto a ambos lados:
\[ \sqrt{(x - 2)^2 + y^2} = \sqrt{x^2 + (y + 2)^2} \]
Eleve al cuadrado ambos lados para eliminar las raíces cuadradas:
\[ (x - 2)^2 + y^2 = x^2 + (y + 2)^2 \]
Expanda los binomios cuadrados perfectos en ambos lados:
\[ x^2 - 4x + 4 + y^2 = x^2 + y^2 + 4y + 4 \]
Reste \( x^2 \), \( y^2 \) y \( 4 \) de ambos lados. Se cancelan muy bien, dejando:
\[ -4x = 4y \]
Divida por 4 para obtener la ecuación cartesiana final:
\( y = -x \)
Descripción geométrica: El locus es una línea recta que pasa por el origen con una pendiente de -1. (Conceptualmente, \( |z - A| = |z - B| \) siempre describe la mediatriz del segmento de línea que conecta los puntos A y B en el plano complejo. Aquí, A es (2, 0) y B es (0, -2). Su mediatriz es efectivamente la línea y = -x.)
Encuentre las tres raíces complejas de la ecuación \( z^3 = 8i \).
Para encontrar las raíces cúbicas, primero escribimos el número \( 8i \) en forma polar.
El módulo es \( 8 \), y dado que se encuentra en el eje imaginario positivo, su ángulo es \( \frac{\pi}{2} \). La forma polar general es:
\[ 8i = 8 \left(\cos\left(\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\right) + i\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\right)\right) \]
Para encontrar las raíces cúbicas (\( z = (8i)^{1/3} \)), usamos la fórmula de la raíz de De Moivre: tomamos la raíz cúbica del módulo y dividimos el argumento por 3:
\[ z_k = \sqrt[3]{8} \left( \cos\left(\dfrac{\pi/2 + 2k\pi}{3}\right) + i\sin\left(\dfrac{\pi/2 + 2k\pi}{3}\right) \right) \]
\[ z_k = 2 \left( \cos\left(\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{2k\pi}{3}\right) + i\sin\left(\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{2k\pi}{3}\right) \right) \]
Encontramos las tres raíces distintas sustituyendo \( k = 0, 1, 2 \):
Para k = 0:
\[ z_0 = 2 \left( \cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6} \right) = 2 \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}i \right) = \mathbf{\sqrt{3} + i} \]
Para k = 1:
\[ \text{Ángulo} = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{4\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6} \]
\[ z_1 = 2 \left( \cos\dfrac{5\pi}{6} + i\sin\dfrac{5\pi}{6} \right) = 2 \left( -\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}i \right) = \mathbf{-\sqrt{3} + i} \]
Para k = 2:
\[ \text{Ángulo} = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{4\pi}{3} = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{8\pi}{6} = \dfrac{9\pi}{6} = \dfrac{3\pi}{2} \]
\[ z_2 = 2 \left( \cos\dfrac{3\pi}{2} + i\sin\dfrac{3\pi}{2} \right) = 2(0 + (-1)i) = \mathbf{-2i} \]
Las tres raíces son: \( \sqrt{3} + i \), \( -\sqrt{3} + i \) y \( -2i \).