Problemas de grado 12 en números complejos con soluciones y respuestas

Se presentan problemas de grado 12 en números complejos con soluciones detalladas.




Práctica gratuita para los exámenes SAT, ACT
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  1. Evalúa las siguientes expresiones

    a) (3 + 2i) - (8 - 5i)

    b) (4 - 2i)*(1 - 5i)

    c) (- 2 - 4i) / i

    d) (- 3 + 2i) / (3 - 6i)

  2. Si (x + yi) / i = (7 + 9i), donde x e y son reales, ¿cuál es el valor de (x + yi)(x - yi)?

  3. Determine todo el número complejo z que satisfaga la ecuación

    z + 3 z' = 5 - 6i


    donde z' es el conjugado complejo de z.

  4. Encuentre todos los números complejos de la forma z = a + bi, donde a e b son números reales tales que z z '= 25 e a + b = 7

    donde z' es el conjugado complejo de z.

  5. El número complejo 2 + 4i es uno de la raíz de la ecuación cuadrática x2 + b x + c = 0, donde b e c son números reales.

    a) Encuentra b y c

    b) Escriba la segunda raíz y verifíquela.

  6. Encuentre todos los números complejos z de modo que z 2 = -1 + 2 √6 i.

  7. Calcule todos los números complejos z de modo que (4 + 2i) z + (8 - 2i) z' = -2 + 10i, donde z' es el conjugado complejo de z.

  8. Dado que el número complejo z = -2 + 7i es una solución a la ecuación:

    z3 + 6 z2 + 61 z + 106 = 0


    ¿Cuál es la solución real para la ecuación?

  9. a) Demuestre que el número complejo 2i es una solución de la ecuación

    z4 + z3 + 2 z2 + 4 z - 8 = 0


    b) Calcula todas las soluciones raíz de esta ecuación.

  10. P(z) = z4 + a z3 + b z2 + c z + d es un polinomio donde a, b, c e d son números reales. Determine a, b, c e d si dos ceros de P polinomial son los siguientes números complejos: 2 - i y 1 - i.

Soluciones a las preguntas anteriores
  1. a) -5 + 7i

    b) -6 - 22i

    c) -4 + 2i

    d) -7/15 - 4i/15

  2. (x + yi) / i = ( 7 + 9i )

    (x + yi) = i(7 + 9i) = -9 + 7i

    (x + yi)(x - yi) = (-9 + 7i)(-9 - 7i) = 81 + 49 = 130

  3. Let z = a + bi , z' = a - bi ; a e b números reales.

    Sustituyendo z y z' en la ecuación dada para obtener

    a + bi + 3*(a - bi) = 5 - 6i

    a + 3a + (b - 3b) i = 5 - 6i

    4a = 5 and -2b = -6

    a = 5/4 and b = 3

    z = 5/4 + 3i

  4. z z' = (a + bi)(a - bi)

    = a2 + b2 = 25

    a + b = 7 gives b = 7 - a

    Sustituir arriba en la ecuación a2 + b2 = 25

    a2 + (7 - a)2 = 25

    Resuelve la función cuadrática anterior para ay usa b = 7 - a para encontrar b.

    a = 4 and b = 3 or a = 3 and b = 4

    z = 4 + 3i and z = 3 + 4i tener la propiedad z z' = 25.

  5. a) Sustituir solución en ecuación: (2 + 4i)2 + b(2 + 4i) + c = 0

    Expanda los términos en ecuación y reescriba como: (-12 + 2b + c) + (16 + 4b)i = 0

    La parte real y la parte imaginaria son iguales a cero.

    -12 + 2b + c = 0 and 16 + 4b = 0

    Resuelve para b: b = -4, sustituye y resuelve para c: c = 20

    b) Como la ecuación dada tiene números reales, la segunda solución es el conjugado complejo de la raíz dada: 2 - 4i es la segunda solución.

    verificar: (2 - 4i)2 - 4 (2 - 4i) + 20

    Expandir = 4 - 16 - 16i - 8 + 16i + 20

    = (4 - 16 - 8 + 20) + (-16 + 16)i = 0

  6. Dejar z = a + bi

    Sustituir en la ecuación dada: (a + bi)2 = -1 + 2 √6 i

    Expandir: a2 - b2 + 2 ab i = - 1 + 2 √6 i

    La parte real y las partes imaginarias deben ser iguales.

    a2 - b2 = - 1 and 2 ab = 2 √6

    Ecuación 2 ab = 2 √6 da: b = √6 / a

    Substitute: a2 - ( √6 / a )2 = - 1

    a4 - 6 = - a2

    Resuelve la ecuación anterior y selecciona solo soluciones reales: a = √2 and a = - √2

    Sustituye para encontrar b e escribe los dos números complejos que satisfacen la ecuación dada.

    z1 = √2 + √3 i , z2 = - √2 - √3 i

  7. Deje z = a + bi donde a e b son números reales. El complejo conjugado z' se escribe en términos de a e b de la siguiente manera: z' = a - bi. Sustituir z y z' en la ecuación dada

    (4 + 2i)(a + bi) + (8 - 2i)(a - bi) = -2 + 10i

    Expande y separa partes reales e imaginarias.

    (4a - 2b + 8a - 2b) + (4b + 2a - 8b - 2a )i = -2 + 10i

    Dos números complejos son iguales si sus partes reales y partes imaginarias son iguales. Agrupar términos similares.

    12a - 4b = -2 and - 4b = 10

    Resuelve el sistema de lo desconocido a e b para encontrarlo.

    b = -5/2 and a = -1

    z = -1 - (5/2)i

  8. Como z = -2 + 7i es una solución a la ecuación y todos los coeficientes en los términos de la ecuación son números reales, entonces z' el complejo conjugado de z es también una solución. Por lo tanto

    z3 + 6 z2 + 61 z + 106 = (z - (-2 + 7i))(z - (-2 - 7i)) q(z)

    = (z2 + 4z + 53) q(z)

    q(z) = [ z3 + 6 z2 + 61 z + 106 ] / [ z2 + 4z + 53 ] = z + 2

    Z + 2 is a factor of z3 + 6 z2 + 61 z + 106 y, por lo tanto, z = -2 es la solución real de la ecuación dada.

  9. a) (2i)4 + (2i)3 + 2 (2i)2 + 4 (2i) - 8

    = 16 - 8i - 8 + 8i - 8 = 0

    b) 2i es una solución -2i también es una solución (complejo conjugado porque todos los coeficientes son reales).

    z4 + z3 + 2 z2 + 4 z - 8 = (z - 2i)(z + 2i) q(z)

    = (z2 + 4)q(z)

    q(z) = z2 + z - 2

    Las otras dos soluciones de la ecuación son las raíces de q (z): z = 1 e z = -2.

  10. Dado que todos los coeficientes de P polinomial son reales, los complejos conjugados a los ceros dados también son ceros de P.

    P(z) = (z - (2 - i))(z - (2 + i))(z - (1 - i))(z - (1 + i)) =

    = z4 - 6 z3 + 15 z2 - 18 z + 10

    Por lo tanto: a = -6, b = 15, c = -18 e d = 10.


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