Problemas de geometría con soluciones para grado 12

El triángulo $ABC$ tiene dos lados de igual longitud y, por lo tanto, es un triángulo isósceles con base $AC$. La medida del ángulo $\angle BAC$ está dada por:

$$ \angle BAC = \frac{180^\circ - 36^\circ}{2} = 72^\circ $$

El ángulo $\angle BOC$ es un ángulo central y $\angle BAC$ es un ángulo inscrito, y ambos interceptan el mismo arco $BC$. Según el teorema del ángulo inscrito:

$$ \text{Medida del } \angle BOC = 2 \times \text{Medida del } \angle BAC = 2 \times 72^\circ = \mathbf{144^\circ} $$

Sean $R_1, R_2$ y $R_3$ los radios de los círculos $C_1, C_2$ y $C_3$ con $R_1 = R_2 = R$.

Sea $C_3O$ la distancia vertical desde el centro de $C_3$ hasta el segmento de recta horizontal que conecta los centros $C_1$ y $C_2$. Por lo tanto: $$ h = C_3O + R \quad (I) $$

Aplica el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo $C_3 O C_1$: $$ C_3O^2 + \left(\frac{x}{2}\right)^2 = (R + R_3)^2 $$

Despejando $C_3O$: $$ C_3O = \sqrt{(R + R_3)^2 - \left(\frac{x}{2}\right)^2} $$

Usando la ecuación (I), sustituimos $C_3O$ para obtener la altura final $h$: $$ \mathbf{h = R + \sqrt{(R + R_3)^2 - \left(\frac{x}{2}\right)^2}} $$

Sean $r, R_2$ y $R_3$ los radios de los círculos $C_1, C_2$ y $C_3$ respectivamente, con $R_2 = R_3 = R$. Nota que $r = 10$ cm.

Aplica el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo $M C_1 C_3$: $$ C_1C_3^2 = MC_3^2 + MC_1^2 \quad (I) $$

A partir de la geometría de la figura, podemos sustituir las longitudes de los lados por sus equivalentes en radios: $C_1C_3 = r + R$ $MC_3 = R$ $MC_1 = R - r$

Sustituye esto en la ecuación (I): $$ (r + R)^2 = R^2 + (R - r)^2 $$

Expande y simplifica la ecuación: $$ r^2 + 2rR + R^2 = R^2 + R^2 - 2rR + r^2 $$ $$ 2rR = R^2 - 2rR $$ $$ 4rR = R^2 $$

Dado que $R > 0$, divide ambos lados por $R$: $$ R = 4r $$

Sustituye $r = 10$ cm: $$ \mathbf{R = 4(10) = 40 \text{ cm}} $$

Los ángulos $\angle BtA$ y $\angle CtD$ son ángulos opuestos por el vértice, por lo tanto: $$ \angle BtA = 90^\circ $$

Debido a que $\angle BtA = 90^\circ$ y es un ángulo inscrito, $AB$ debe ser el diámetro del círculo (por el recíproco del teorema de Tales).

Dado que $CD$ es paralelo a $AB$, el triángulo $BtA$ y el triángulo $CtD$ son triángulos semejantes. La proporcionalidad de sus alturas y bases correspondientes da: $$ \frac{3}{5} = \frac{AB}{x} $$

Despeja el diámetro $AB$: $$ AB = \frac{3x}{5} $$

El radio es la mitad del diámetro: $$ \text{Radio} = \frac{AB}{2} = \frac{3x}{10} $$

Finalmente, calcula el área del círculo: $$ \text{Área} = \pi \times \text{Radio}^2 = \pi \left(\frac{3x}{10}\right)^2 = \mathbf{0.09\pi x^2} $$

Dividamos el cuadrado grande en cuatro cuadrados más pequeños dibujando líneas horizontales y verticales a través del centro.

Considera un cuadrado pequeño (por ejemplo, el inferior izquierdo). Este cuadrado tiene una longitud de lado de $2x$ (la mitad de $4x$). Una parte de este cuadrado está sombreada, mientras que la otra parte está blanca (no sombreada). La parte sombreada está limitada por un cuarto de círculo. Centrémonos primero en la parte blanca.

El área de la esquina no sombreada (blanca) en un cuadrado pequeño es el área del cuadrado pequeño menos el área del cuarto de círculo: $$ \text{Área de una región blanca} = (2x)^2 - \frac{1}{4}\pi(2x)^2 = 4x^2 - \pi x^2 $$

Al observar todo el cuadrado grande, hay 8 regiones blancas idénticas (2 en cada uno de los 4 cuadrados pequeños).

El área $A$ de la parte sombreada en toda la figura es el área total del cuadrado grande menos las 8 áreas no sombreadas: $$ A = (4x)^2 - 8 \left[ (2x)^2 - \frac{1}{4}\pi(2x)^2 \right] $$ $$ A = 16x^2 - 8 \left[ 4x^2 - \pi x^2 \right] $$ $$ A = 16x^2 - 32x^2 + 8\pi x^2 $$ $$ A = 8\pi x^2 - 16x^2 $$ $$ \mathbf{A = 16x^2 \left( \frac{\pi}{2} - 1 \right)} $$

Dibuja un radio hasta el punto de tangencia (lo que crea un ángulo recto) y un radio hasta el extremo de la cuerda. Esto forma un triángulo rectángulo.

El triángulo rectángulo tiene una hipotenusa de longitud $R$, un cateto de longitud $r$, y el segundo cateto es exactamente la mitad de la longitud de la cuerda ($20 / 2 = 10$ mm). Usa el teorema de Pitágoras:

$$ R^2 = r^2 + 10^2 \quad (I) $$ $$ R^2 - r^2 = 100 $$

El área $A$ del anillo se encuentra restando el área del círculo pequeño de la del círculo grande: $$ A = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi (R^2 - r^2) \quad (II) $$

Sustituye $R^2 - r^2 = 100$ en la fórmula del área: $$ \mathbf{A = 100\pi \text{ mm}^2} $$

El área de un paralelogramo se puede calcular usando la magnitud del producto vectorial de los vectores $\mathbf{AB}$ y $\mathbf{AD}$:

$$ \text{Área} = | \mathbf{AB} \times \mathbf{AD} | $$

Primero, calcula los vectores a partir de los puntos dados $A(-2, -2), B(2, b), D(4, 2)$: $$ \mathbf{AB} = \langle 2 - (-2), b - (-2), 0 \rangle = \langle 4, b + 2, 0 \rangle $$ $$ \mathbf{AD} = \langle 4 - (-2), 2 - (-2), 0 \rangle = \langle 6, 4, 0 \rangle $$

Calcula la forma determinante del producto vectorial: $$ \mathbf{AB} \times \mathbf{AD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4 & b+2 & 0 \\ 6 & 4 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{k}((4)(4) - (6)(b+2)) $$ $$ \mathbf{AB} \times \mathbf{AD} = (16 - 6b - 12)\mathbf{k} = (4 - 6b)\mathbf{k} $$

Tomando la magnitud e igualándola a 80: $$ |4 - 6b| = 80 $$ $$ 4 - 6b = 80 \quad \text{o} \quad 4 - 6b = -80 $$ $$ -6b = 76 \implies b = -\frac{38}{3} $$ $$ -6b = -84 \implies b = 14 $$

Dado que el punto $B(2, b)$ está claramente en el primer cuadrante de la gráfica, elegimos $b = 14$.

Como $ABCD$ es un paralelogramo, los vectores opuestos son iguales: $\mathbf{AB} = \mathbf{DC}$. $$ \mathbf{AB} = \langle 4, 14 + 2, 0 \rangle = \langle 4, 16, 0 \rangle $$ $$ \mathbf{DC} = \langle c - 4, d - 2, 0 \rangle $$

Igualando las componentes correspondientes: $c - 4 = 4 \implies c = 8$ $d - 2 = 16 \implies d = 18$

Conclusión: $$ \mathbf{b = 14, \; c = 8, \; d = 18} $$

Hay 3 triángulos rectángulos. Usa el teorema de Pitágoras para escribir una ecuación para cada uno:

$$ y^2 + z^2 = 12^2 \quad (I) $$ $$ x^2 + z^2 = 9^2 \quad (II) $$ $$ (x + y)^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225 \quad (III) $$

Resuelve la ecuación (III) extrayendo la raíz cuadrada (ya que las longitudes deben ser positivas): $$ x + y = 15 $$

Resta la ecuación (II) de la ecuación (I) para eliminar $z^2$: $$ (y^2 + z^2) - (x^2 + z^2) = 144 - 81 $$ $$ y^2 - x^2 = 63 $$

Factoriza la diferencia de cuadrados: $$ (y - x)(y + x) = 63 $$

Sustituye $x + y = 15$ en la ecuación factorizada: $$ (y - x)(15) = 63 \implies y - x = \frac{63}{15} = \frac{21}{5} $$

Ahora, resuelve el sistema de ecuaciones lineales: $$ y + x = 15 = \frac{75}{5} $$ $$ y - x = \frac{21}{5} $$ Sumándolas da: $2y = \frac{96}{5} \implies \mathbf{y = \frac{48}{5}}$. Restándolas da: $2x = \frac{54}{5} \implies \mathbf{x = \frac{27}{5}}$.

Usa la ecuación (I) para encontrar $z$: $$ \left(\frac{48}{5}\right)^2 + z^2 = 144 \implies z^2 = 144 - \frac{2304}{25} = \frac{3600 - 2304}{25} = \frac{1296}{25} $$ $$ \mathbf{z = \frac{36}{5}} $$

Divide el rectángulo en 4 rectángulos más pequeños dibujando líneas verticales y horizontales a través del punto interior.

Aplica el teorema de Pitágoras a los cuatro triángulos rectángulos formados en las esquinas (sean los catetos $a, b, c, d$ como se muestra en el diagrama):

$$ a^2 + c^2 = 4^2 \quad (I) \text{ (Arriba a la izquierda)} $$ $$ b^2 + c^2 = x^2 \quad (II) \text{ (Abajo a la izquierda)} $$ $$ b^2 + d^2 = 5^2 \quad (III) \text{ (Abajo a la derecha)} $$ $$ a^2 + d^2 = 6^2 \quad (IV) \text{ (Arriba a la derecha)} $$

Resta la ecuación (II) de (I): $$ a^2 - b^2 = 4^2 - x^2 $$

Resta la ecuación (III) de (IV): $$ a^2 - b^2 = 6^2 - 5^2 $$

Iguala las dos expresiones para $(a^2 - b^2)$: $$ 4^2 - x^2 = 6^2 - 5^2 $$ $$ 16 - x^2 = 36 - 25 $$ $$ 16 - x^2 = 11 $$ $$ x^2 = 5 $$ $$ \mathbf{x = \sqrt{5}} $$

Debido a la simetría, la región sombreada puede dividirse en dos mitades izquierda y derecha iguales. Calculemos el área de la mitad izquierda.

La mitad izquierda de la región superpuesta es el área del sector circular $BOC$ menos el área del triángulo $BOC$. Dado que la distancia entre los centros es $6$, la longitud de $OM$ (la mitad de la distancia) es $3$.

El triángulo $BOM$ es un triángulo rectángulo, por lo que podemos encontrar el ángulo $BOM$: $$ \cos(\angle BOM) = \frac{OM}{OB} = \frac{3}{4} $$ $$ \angle BOM = \arccos(0.75) $$

El ángulo central completo $BOC$ es el doble de $\angle BOM$. Por lo tanto:

1. Área del sector $BOC = \frac{1}{2} (2 \angle BOM) r^2$ (en radianes)

2. Área del triángulo $BOC = \frac{1}{2} \sin(2 \angle BOM) r^2$

El área sombreada total es el doble de la mitad izquierda: $$ \text{Área total} = 2 \left[ \frac{1}{2}(2 \angle BOM)r^2 - \frac{1}{2}\sin(2 \angle BOM)r^2 \right] $$ $$ \text{Área total} = r^2 \left( 2 \angle BOM - \sin(2 \angle BOM) \right) $$

Sustituye $r = 4$ y $\angle BOM = \arccos(0.75)$: $$ \text{Área total} = 4^2 \left( 2\arccos(0.75) - \sin(2\arccos(0.75)) \right) $$ $$ \text{Área total} = 16 \left( 1.445 - 0.992 \right) \approx \mathbf{7.25 \text{ unidades cuadradas}} $$

1. Identificar el teorema:
Este problema requiere el teorema de las cuerdas secantes. Establece que cuando dos cuerdas se cortan dentro de un círculo, el producto de los segmentos de una cuerda es igual al producto de los segmentos de la otra cuerda.

2. Establecer la ecuación:
$$ AP \times PB = CP \times PD $$

3. Sustituir y resolver:
$$ 4 \times 6 = 3 \times PD $$ $$ 24 = 3 \times PD $$ $$ \mathbf{PD = 8} $$

1. Descomponer el hexágono:
Un hexágono regular inscrito en un círculo se puede dividir en exactamente 6 triángulos equiláteros idénticos trazando líneas desde el centro del círculo hasta los 6 vértices. Debido a que es un hexágono regular, la longitud del lado del hexágono es exactamente igual al radio del círculo circunscrito ($s = R = 10$).

2. Área de un triángulo equilátero:
La fórmula para el área de un triángulo equilátero con lado $s$ es: $$ A_{\text{triángulo}} = \frac{\sqrt{3}}{4}s^2 $$ Sustituye $s = 10$: $$ A_{\text{triángulo}} = \frac{\sqrt{3}}{4}(100) = 25\sqrt{3} $$

3. Área total:
Multiplica por los 6 triángulos que conforman el hexágono: $$ A_{\text{total}} = 6 \times 25\sqrt{3} = \mathbf{150\sqrt{3}} $$

1. Identificar el teorema:
Para encontrar la longitud de una mediana dados los tres lados de un triángulo, usamos el teorema de Apolonio, que relaciona la longitud de una mediana con las longitudes de sus lados: $$ AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2) $$

2. Determinar los segmentos:
Dado que $AM$ es una mediana, $M$ divide a $BC$ perfectamente por la mitad. $$ BM = \frac{BC}{2} = \frac{9}{2} = 4.5 $$

3. Sustituir y resolver:
$$ 7^2 + 8^2 = 2\left(AM^2 + 4.5^2\right) $$ $$ 49 + 64 = 2(AM^2 + 20.25) $$ $$ 113 = 2AM^2 + 40.5 $$ $$ 72.5 = 2AM^2 $$ $$ AM^2 = 36.25 = \frac{145}{4} $$ $$ \mathbf{AM = \frac{\sqrt{145}}{2}} \approx 6.02 $$