Cómo resolver ecuaciones exponenciales

Nota que 27, 9 y 3 pueden escribirse como potencias de 3 de la siguiente manera:

$$ 27 = 3^3, \quad 9 = 3^2, \quad \text{y} \quad 3 = 3^1 $$

Usando lo anterior y la fórmula para exponentes negativos $\frac{1}{x^n} = x^{-n}$, reescribimos la ecuación dada:

$$ (3^3)^{2x} \cdot (3^{-2})^{x - 2} = (3^2)^{-x} \cdot (3^{-1})^{2 - x} $$

Ahora usamos la fórmula $(x^m)^n = x^{mn}$:

$$ 3^{6x} \cdot 3^{-2x + 4} = 3^{-2x} \cdot 3^{-2 + x} $$

Usa la fórmula $x^m \cdot x^n = x^{m + n}$ para combinar los exponentes en cada lado:

$$ 3^{6x - 2x + 4} = 3^{-2x - 2 + x} $$

Simplifica los exponentes para obtener:

$$ 3^{4x + 4} = 3^{-x - 2} $$

Usamos el hecho de que una función exponencial es una función inyectiva. Si $3^m = 3^n$, entonces $m = n$. Podemos igualar los exponentes:

$$ 4x + 4 = -x - 2 $$

Resuelve lo anterior para $x$:

$$ 5x = -6 \implies x = \frac{-6}{5} = -1.2 $$

A continuación se muestra la gráfica del lado izquierdo de la ecuación dada cuando se escribe con el lado derecho igual a cero. El intercepto x es una aproximación a la solución analítica.

Nota que $\sqrt{16^x} = (16^x)^{1/2} = 16^{(1/2)x}$ y úsalo para reescribir la ecuación dada:

$$ 16^{(1/2)x} = \left(\frac{1}{2}\right)^{x^2 - 1} $$

Nota que $\frac{1}{2} = 2^{-1}$ y $16 = 2^4$. Úsalos para reescribir la ecuación en base 2:

$$ (2^4)^{(1/2)x} = (2^{-1})^{x^2 - 1} $$

Usa la fórmula $(x^m)^n = x^{mn}$ para simplificar:

$$ 2^{2x} = 2^{-x^2 + 1} $$

Debido a que las bases son idénticas, podemos igualar los exponentes:

$$ 2x = -x^2 + 1 $$

Reescribe en forma cuadrática estándar y resuelve:

$$ x^2 + 2x - 1 = 0 $$

Usando la fórmula cuadrática, $\Delta = 2^2 - 4(1)(-1) = 8$. Esto arroja dos soluciones:

$$ x_1 = -1 - \sqrt{2} \approx -2.41 \quad \text{y} \quad x_2 = -1 + \sqrt{2} \approx 0.41 $$

Sea $u = 2^x$. Esto significa $2^{-x} = \frac{1}{2^x} = \frac{1}{u}$. Reescribe la ecuación en términos de $u$:

$$ u - \frac{6}{u} = 6 $$

$u$ no puede ser cero (porque $2^x > 0$). Multiplica todos los términos por $u$ y simplifica:

$$ u \left( u - \frac{6}{u} \right) = 6u $$ $$ u^2 - 6 = 6u $$ $$ u^2 - 6u - 6 = 0 $$

Resuelve la ecuación cuadrática para $u$ usando la fórmula cuadrática:

$$ u_1 = 3 + \sqrt{15} \quad \text{y} \quad u_2 = 3 - \sqrt{15} $$

Ahora resolvemos para $x$ usando la sustitución $u = 2^x$.

Primera ecuación: $2^x = 3 + \sqrt{15}$

$$ \ln(2^x) = \ln(3 + \sqrt{15}) $$ $$ x \ln(2) = \ln(3 + \sqrt{15}) $$ $$ x = \frac{\ln(3 + \sqrt{15})}{\ln 2} \approx 2.78 $$

Segunda ecuación: $2^x = 3 - \sqrt{15}$. No tiene solución porque $3 - \sqrt{15}$ es un número negativo, y $2^x$ debe ser estrictamente positivo.

Toma el logaritmo natural ($\ln$) de ambos lados de la ecuación dada:

$$ \ln(5^{x + 1}) = \ln(100 \cdot 3^x) $$

Usa las reglas de los logaritmos para simplificar y extraer los exponentes:

$$ (x + 1) \ln 5 = \ln 100 + x \ln 3 $$

Expande el lado izquierdo y agrupa todos los términos que contienen $x$ en un lado:

$$ x \ln 5 + \ln 5 = \ln 100 + x \ln 3 $$ $$ x \ln 5 - x \ln 3 = \ln 100 - \ln 5 $$

Factoriza $x$ y resuelve:

$$ x (\ln 5 - \ln 3) = \ln 100 - \ln 5 $$ $$ x = \frac{\ln 100 - \ln 5}{\ln 5 - \ln 3} \approx 5.86 $$

Sea $u = e^x$, lo que da $e^{-x} = \frac{1}{u}$. Sustituye esto en la ecuación:

$$ \frac{u - \frac{1}{u}}{2} = 3 $$

Multiplica ambos lados por 2 y simplifica:

$$ u - \frac{1}{u} = 6 $$

Multiplica toda la ecuación por $u$ para eliminar la fracción:

$$ u^2 - 1 = 6u \implies u^2 - 6u - 1 = 0 $$

Resuelve para $u$ usando la fórmula cuadrática:

$$ u_1 = 3 + \sqrt{10} \quad \text{y} \quad u_2 = 3 - \sqrt{10} $$

Ahora sustituye $u = e^x$.

Primera ecuación: $e^x = 3 + \sqrt{10}$

$$ \ln(e^x) = \ln(3 + \sqrt{10}) \implies x = \ln(3 + \sqrt{10}) \approx 1.82 $$

Segunda ecuación: $e^x = 3 - \sqrt{10}$. No tiene solución ya que $3 - \sqrt{10} < 0$.

Toma el logaritmo natural ($\ln$) de ambos lados:

$$ \ln(3^{2 - 3x}) = \ln(4^{2x + 1}) $$

Usa las reglas de logaritmos para traer los exponentes al frente:

$$ (2 - 3x)\ln 3 = (2x + 1)\ln 4 $$

Expande ambos lados de la ecuación y agrupa los términos con $x$:

$$ 2\ln 3 - 3x\ln 3 = 2x\ln 4 + \ln 4 $$ $$ 2\ln 3 - \ln 4 = 3x\ln 3 + 2x\ln 4 $$ $$ x(3\ln 3 + 2\ln 4) = 2\ln 3 - \ln 4 $$ $$ x = \frac{2\ln 3 - \ln 4}{3\ln 3 + 2\ln 4} \approx 0.13 $$

Nota que $9^x = (3^2)^x = 3^{2x} = (3^x)^2$. Reescribe la ecuación dada usando esto y expande $3^{x+1}$ como $3 \cdot 3^x$:

$$ (3^x)^2 - 3 \cdot 3^x + 2 = 0 $$

Sea $u = 3^x$ y reescribe la ecuación como una cuadrática estándar en $u$:

$$ u^2 - 3u + 2 = 0 $$

Resuelve para $u$ factorizando:

$$ (u - 2)(u - 1) = 0 $$

Esto da dos soluciones para $u$: $u_1 = 2$ y $u_2 = 1$. Ahora sustituye $3^x$ de vuelta.

Primera ecuación: $3^x = 2$

$$ \ln(3^x) = \ln 2 \implies x \ln 3 = \ln 2 \implies x = \frac{\ln 2}{\ln 3} \approx 0.63 $$

Segunda ecuación: $3^x = 1$. El único exponente que da 1 es 0, por lo tanto $x = 0$.

1. Estandariza la base:
Expresa $4^x$ como $(2^2)^x = (2^x)^2$. Expande $2^{x+2}$ usando las reglas de exponentes: $2^{x+2} = 2^x \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^x$.

$$ (2^x)^2 - 4(2^x) - 32 = 0 $$

2. Sustituye:
Sea $u = 2^x$. La ecuación se convierte en una cuadrática directa:

$$ u^2 - 4u - 32 = 0 $$

3. Factoriza y resuelve para $u$:
Necesitamos dos números que multiplicados den $-32$ y sumados den $-4$. Estos son $-8$ y $+4$.

$$ (u - 8)(u + 4) = 0 $$

Esto nos da $u = 8$ o $u = -4$.

4. Resuelve para $x$:
Sustituye $2^x$ de vuelta por $u$.

• Caso 1: $2^x = 8 \implies 2^x = 2^3 \implies \mathbf{x = 3}$
• Caso 2: $2^x = -4$. Esto no tiene solución ya que $2^x$ debe ser estrictamente positivo.

La única solución es $\mathbf{x = 3}$.

Para una ecuación de la forma $A^B = 1$, hay tres condiciones matemáticas distintas bajo las cuales esto es cierto. Usaremos una tabla para verificar sistemáticamente los tres casos.

Condición para $A^B = 1$	Aplicación a $x^{x^2 - 5x + 6} = 1$
Caso 1: La base es 1 ($A = 1$, $B$ puede ser cualquier cosa)	Iguala la base a 1: $x = 1$. (Verificación: $1^{(1-5+6)} = 1^2 = 1$. Válido.) Solución: $x = 1$
Caso 2: El exponente es 0 ($B = 0$, $A \neq 0$)	Iguala el exponente a 0: $x^2 - 5x + 6 = 0$ $(x - 2)(x - 3) = 0 \implies x = 2, x = 3$. (Verificación de bases: Ninguna base es 0. Válido.) Soluciones: $x = 2, x = 3$
Caso 3: La base es -1 ($A = -1$, y $B$ debe ser un entero par)	Iguala la base a -1: $x = -1$. Ahora verifica si el exponente es par cuando $x = -1$: $B = (-1)^2 - 5(-1) + 6 = 1 + 5 + 6 = 12$. Dado que 12 es par, $(-1)^{12} = 1$. Válido. Solución: $x = -1$

Conjunto de soluciones finales:
El conjunto completo de soluciones reales es $\mathbf{x \in \{-1, 1, 2, 3\}}$.

1. Combina el lado izquierdo:
Como tanto 2 como 5 están elevados al mismo exponente, podemos usar la regla $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ para combinarlos:

$$ (2 \cdot 5)^{3x} = 10000^{x-1} $$ $$ 10^{3x} = 10000^{x-1} $$

2. Crea una base común:
Reconoce que $10000$ es una potencia de 10. Específicamente, $10000 = 10^4$. Sustituye esto en el lado derecho:

$$ 10^{3x} = (10^4)^{x-1} $$

3. Distribuye el exponente:
Usa la regla de la potencia $(x^m)^n = x^{mn}$:

$$ 10^{3x} = 10^{4(x-1)} $$ $$ 10^{3x} = 10^{4x - 4} $$

4. Iguala y resuelve:
Debido a que las bases son iguales, los exponentes deben ser iguales:

$$ 3x = 4x - 4 $$ $$ 3x - 4x = -4 $$ $$ -x = -4 \implies \mathbf{x = 4} $$