Preguntas sobre logaritmos y exponenciales con respuestas y soluciones - Grado 12

Paso 1: Reescribe la ecuación para que ambos lados tengan la misma base. Sabemos que cualquier número distinto de cero elevado a la potencia de $0$ es $1$:
$$ \left(\frac{1}{2}\right)^{2x + 1} = \left(\frac{1}{2}\right)^0 $$

Paso 2: Iguala los exponentes:
$$ 2x + 1 = 0 $$

Paso 3: Resuelve para $x$:
$$ 2x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{2} $$

Respuesta final: $x = -\frac{1}{2}$

Paso 1: Divide todos los términos de la ecuación dada por $x y$ (asumiendo que $x \neq 0$ y $y \neq 0$):
$$ \frac{x y^m}{x y} = \frac{y x^3}{x y} $$

Paso 2: Simplifica los exponentes usando las reglas de cociente:
$$ y^{m - 1} = x^2 $$

Paso 3: Toma el logaritmo natural ($\ln$) de ambos lados para aislar el exponente que contiene a $m$:
$$ \ln(y^{m - 1}) = \ln(x^2) $$

Paso 4: Aplica la regla de la potencia del logaritmo ($ \ln(A^n) = n \ln A $):
$$ (m - 1) \ln y = 2 \ln x $$

Paso 5: Resuelve para $m$ (asumiendo que $\ln y \neq 0$, lo que significa $y \neq 1$):
$$ m - 1 = \frac{2 \ln x}{\ln y} $$
$$ m = 1 + \frac{2 \ln x}{\ln y} $$

Paso 1: Usa la regla del producto de los logaritmos para desglosar $\log_4(10)$:
$$ \log_4(10) = \log_4(2 \cdot 5) = \log_4(2) + \log_4(5) $$

Paso 2: Simplifica el primer término:
$$ \log_4(2) = \log_4(4^{1/2}) = \frac{1}{2} $$

Paso 3: Usa la fórmula de cambio de base en el segundo término para conectarlo con la base 8 dada:
$$ \log_4(5) = \frac{\log_8(5)}{\log_8(4)} $$

Paso 4: Sustituye el valor conocido $b$ y simplifica $\log_8(4)$:
Sabemos que $\log_8(4) = \frac{2}{3}$ (porque $8^{2/3} = (\sqrt[3]{8})^2 = 4$).
$$ \log_4(5) = \frac{b}{2/3} = \frac{3b}{2} $$

Paso 5: Combina las partes:
$$ \log_4(10) = \frac{1}{2} + \frac{3b}{2} = \frac{1 + 3b}{2} $$

Paso 1: Simplifica el primer término reconociendo que $216 = 6^3$:
$$ \log_6(216) = \log_6(6^3) = 3 $$

Paso 2: Usa las reglas de cociente logarítmico para simplificar el numerador de la fracción:
$$ \log(42) - \log(6) = \log\left(\frac{42}{6}\right) = \log(7) $$

Paso 3: Reescribe el denominador usando exponentes:
$$ \log(49) = \log(7^2) = 2 \log(7) $$

Paso 4: Combina todo en la expresión original:
$$ 3 + \frac{\log(7)}{2 \log(7)} $$

Paso 5: Cancela $\log(7)$ y calcula el resultado final:
$$ 3 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2} = 3.5 $$

Paso 1: Convierte los exponentes negativos en fracciones dentro de los paréntesis:
$$ \left( \frac{\frac{1}{3} - \frac{1}{9}}{6} \right)^{1/3} $$

Paso 2: Encuentra un denominador común para restar las fracciones en el numerador:
$$ \frac{1}{3} - \frac{1}{9} = \frac{3}{9} - \frac{1}{9} = \frac{2}{9} $$

Paso 3: Sustituye de vuelta y simplifica la fracción compleja:
$$ \left( \frac{\frac{2}{9}}{6} \right)^{1/3} = \left( \frac{2}{9 \cdot 6} \right)^{1/3} = \left( \frac{2}{54} \right)^{1/3} $$

Paso 4: Reduce la fracción y aplica la raíz cúbica (potencia de $1/3$):
$$ \left( \frac{1}{27} \right)^{1/3} = \left( \frac{1}{3^3} \right)^{1/3} = \frac{1}{3} $$

Paso 1: Usa la fórmula de cambio de base en el segundo término para escribirlo con base $x$:
$$ \log_a b = \frac{\log_x b}{\log_x a} $$

Paso 2: Sustituye esto de vuelta en la expresión original:
$$ (\log_x a) \left( \frac{\log_x b}{\log_x a} \right) $$

Paso 3: Cancela el término común $\log_x a$ (asumiendo que $a \neq 1, x \neq 1$):
$$ \log_x b $$

Paso 1: Sustituye las coordenadas $(x=e, y=2)$ en la ecuación:
$$ 2 = \log_a e $$

Paso 2: Reescribe la ecuación logarítmica en su forma exponencial:
$$ a^2 = e $$

Paso 3: Aísla $a$. Toma la raíz cuadrada (ya que las bases de los logaritmos deben ser positivas, solo conservamos la raíz positiva):
$$ a = e^{1/2} = \sqrt{e} $$

Paso 1: Usa la fórmula de cambio de base (convirtiendo ambos a logaritmos naturales) para reescribir la ecuación:
$$ \frac{\ln x}{\ln 3} = A \frac{\ln x}{\ln 5} $$

Paso 2: Debido a que $x > 0$ y asumimos $x \neq 1$ para resolver una identidad general, $\ln x \neq 0$. Divide ambos lados por $\ln x$:
$$ \frac{1}{\ln 3} = \frac{A}{\ln 5} $$

Paso 3: Multiplica ambos lados por $\ln 5$ para resolver para $A$:
$$ A = \frac{\ln 5}{\ln 3} $$

Paso 1: Comienza desde el logaritmo más externo (base 10) y reescribe en forma exponencial:
$$ \log(2 + \log_2(x + 1)) = 10^0 = 1 $$

Paso 2: Haz lo mismo para el siguiente logaritmo más externo (base 10):
$$ 2 + \log_2(x + 1) = 10^1 = 10 $$

Paso 3: Aísla el término logarítmico restante:
$$ \log_2(x + 1) = 10 - 2 = 8 $$

Paso 4: Reescribe en forma exponencial (base 2):
$$ x + 1 = 2^8 $$

Paso 5: Resuelve para $x$:
$$ x = 256 - 1 = 255 $$

Verificación: Al sustituir 255 de nuevo, obtenemos argumentos positivos para todos los logaritmos, por lo que la solución es válida.

Paso 1: Concéntrate en simplificar el término exponencial. Usa la regla de potencia de una potencia a la inversa: $a^{bc} = (a^b)^c$.
$$ b^{4 \log_b x} = \left(b^{\log_b x}\right)^4 $$

Paso 2: Usa la propiedad inversa $b^{\log_b x} = x$ para simplificar:
$$ \left(b^{\log_b x}\right)^4 = x^4 $$

Paso 3: Sustituye esto de nuevo en la ecuación original:
$$ 2x \cdot x^4 = 486 $$

Paso 4: Simplifica y resuelve para $x$:
$$ 2x^5 = 486 $$
$$ x^5 = 243 $$
$$ x = 243^{1/5} = \sqrt[5]{243} = 3 $$

Paso 1: Determina el dominio.
Todos los argumentos de los logaritmos deben ser estrictamente positivos:
$x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$
$2x - 1 > 0 \Rightarrow x > 0.5$
$x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$
La intersección de estas condiciones es $x > 1$. Por lo tanto, el dominio es $(1, \infty)$.

Paso 2: Usa las reglas del producto y potencia logarítmica para condensar ambos lados:
$$ \ln((x - 1)(2x - 1)) = \ln((x + 1)^2) $$

Paso 3: Debido a que el logaritmo natural es inyectivo, podemos eliminar los logaritmos e igualar los argumentos:
$$ (x - 1)(2x - 1) = (x + 1)^2 $$

Paso 4: Expande ambos lados:
$$ 2x^2 - 3x + 1 = x^2 + 2x + 1 $$

Paso 5: Agrupa términos y resuelve la ecuación cuadrática:
$$ x^2 - 5x = 0 $$
$$ x(x - 5) = 0 $$
Soluciones: $x = 0$ y $x = 5$.

Paso 6: Verifica con el dominio.
$x = 0$ no es mayor que 1, por lo que crea argumentos negativos (solución extraña). Solo $x = 5$ cae en el dominio.
Respuesta final: $x = 5$

Paso 1: Determina el dominio.
Dentro de la raíz cuadrada: $x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$.
Dentro del logaritmo: $\sqrt{x - 1} - 2 > 0 \Rightarrow \sqrt{x - 1} > 2 \Rightarrow x - 1 > 4 \Rightarrow x > 5$.
El dominio es $x > 5$.

Paso 2: El intercepto x ocurre cuando $y = 0$:
$$ 0 = 2 \log(\sqrt{x - 1} - 2) $$

Paso 3: Divide por 2 y reescribe en forma exponencial (base 10):
$$ \log(\sqrt{x - 1} - 2) = 0 $$
$$ \sqrt{x - 1} - 2 = 10^0 = 1 $$

Paso 4: Aísla la raíz cuadrada y resuelve para $x$:
$$ \sqrt{x - 1} = 3 $$
$$ x - 1 = 3^2 = 9 $$
$$ x = 10 $$

Paso 5: Verifica.
$x = 10$ es estrictamente mayor que 5, por lo tanto, está en el dominio.
Respuesta final: El intercepto x está en $(10, 0)$.

Paso 1: Reconoce que esta es una ecuación cuadrática disfrazada. Reescribe $9^x$ en términos de base 3:
$$ 9^x = (3^2)^x = (3^x)^2 $$
Entonces, la ecuación se convierte en:
$$ (3^x)^2 - 3^x - 8 = 0 $$

Paso 2: Sea $y = 3^x$ y reescribe la ecuación:
$$ y^2 - y - 8 = 0 $$

Paso 3: Resuelve para $y$ usando la fórmula cuadrática ($a=1, b=-1, c=-8$):
$$ y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-8)}}{2(1)} $$
$$ y = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{2} $$

Paso 4: Sustituye de vuelta $y = 3^x$. Debido a que la función exponencial $3^x$ debe ser estrictamente positiva, debemos rechazar la raíz negativa $\left(\frac{1 - \sqrt{33}}{2}\right)$.
$$ 3^x = \frac{1 + \sqrt{33}}{2} $$

Paso 5: Toma el logaritmo natural ($\ln$) de ambos lados para resolver para $x$:
$$ \ln(3^x) = \ln\left( \frac{1 + \sqrt{33}}{2} \right) $$
$$ x \ln(3) = \ln\left( \frac{1 + \sqrt{33}}{2} \right) $$
$$ x = \frac{ \ln\left( \frac{1 + \sqrt{33}}{2} \right) }{ \ln(3) } $$

Paso 1: Toma el logaritmo natural ($\ln$) de ambos lados:
$$ \ln\left(4^{x - 2}\right) = \ln\left(3^{x + 4}\right) $$

Paso 2: Baja los exponentes usando la regla de la potencia:
$$ (x - 2)\ln(4) = (x + 4)\ln(3) $$

Paso 3: Expande ambos lados:
$$ x \ln(4) - 2 \ln(4) = x \ln(3) + 4 \ln(3) $$

Paso 4: Agrupa los términos que contienen $x$ en un lado y las constantes en el otro:
$$ x \ln(4) - x \ln(3) = 4 \ln(3) + 2 \ln(4) $$

Paso 5: Factoriza $x$ y resuelve:
$$ x (\ln(4) - \ln(3)) = 4 \ln(3) + 2 \ln(4) $$
$$ x = \frac{4 \ln(3) + 2 \ln(4)}{\ln(4) - \ln(3)} $$

Paso 6 (Opcional): Condensa el logaritmo para obtener una respuesta final más limpia:
Numerador: $\ln(3^4) + \ln(4^2) = \ln(81) + \ln(16) = \ln(81 \cdot 16) = \ln(1296)$. Nota: $1296 = 6^4$, así que esto es $4\ln(6)$.
Denominador: $\ln\left(\frac{4}{3}\right)$.
$$ x = \frac{4 \ln(6)}{\ln\left(\frac{4}{3}\right)} $$

Paso 1: Reescribe la ecuación logarítmica en forma exponencial:
$$ x^{-3/4} = \frac{1}{8} $$

Paso 2: Para aislar $x$, eleva ambos lados de la ecuación a la potencia del recíproco, $-\frac{4}{3}$:
$$ \left(x^{-3/4}\right)^{-4/3} = \left(\frac{1}{8}\right)^{-4/3} $$
$$ x^1 = \left(\frac{1}{8}\right)^{-4/3} $$

Paso 3: Simplifica el lado derecho. El exponente negativo invierte la fracción:
$$ x = 8^{4/3} $$

Paso 4: Evalúa $8^{4/3}$ (primero raíz cúbica, luego cuarta potencia):
$$ x = (\sqrt[3]{8})^4 = 2^4 = 16 $$

Respuesta final: $x = 16$