Cómo graficar funciones secante y cosecante con ejemplos

Esboza la gráfica de $y = \sec(2x - \pi/3)$ durante un período.

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Solución:

Parámetros de graficación

Rango: $(-\infty , -1] \cup [ 1, +\infty)$

Período: Calcular usando $\frac{2\pi}{|k|}$:

$$ \text{Período} = \frac{2\pi}{2} = \pi $$

Asíntotas verticales: Encuentra las asíntotas resolviendo el interior de la función secante para los ceros estándar del coseno:

$$ 2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + k\pi $$

Resolver para $x$ da:

$$ 2x = \frac{5\pi}{6} + k\pi \implies x = \frac{5\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}, \quad k = 0 , \pm1, \pm2, \ldots $$

Desplazamiento horizontal: Debido al término $-\pi/3$, la gráfica está desplazada horizontalmente. Primero factorizamos el valor de $k$ ($2$) para reescribir la función dada en la forma estándar $y = a\sec(k(x-d))$:

$$ y = \sec\left[2\left(x - \frac{\pi}{6}\right)\right] $$

Ahora podemos identificar el desplazamiento horizontal como $\pi/6$ hacia la derecha.

Bosquejo: Bosquejamos $y = \sec(2x - \pi/3)$ trasladando la gráfica de $y = \sec(2x)$ en $\pi/6$ hacia la derecha (gráfica roja a continuación), de modo que el período bosquejado comienza en $\pi/6$ y termina en $\pi/6 + \pi = 7\pi/6$, lo cual es un período completo igual a $\pi$.

Esboza la gráfica de $y = -3 \csc\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{2}\right)$ durante un período.

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Solución:

Parámetros de graficación

Rango: Debido al factor de estiramiento vertical $a = -3$, el rango se expande:

$$ (-\infty , -3] \cup [ 3, +\infty) $$

Período: Calcular usando $\frac{2\pi}{|k|}$:

$$ \text{Período} = \frac{2\pi}{\frac{1}{2}} = 4\pi $$

Asíntotas verticales: Encuentra las asíntotas igualando el interior de la función cosecante a los ceros estándar del seno ($k\pi$):

$$ \frac{x}{2} + \frac{\pi}{2} = k\pi $$

Resolviendo para $x$, obtenemos:

$$ \frac{x}{2} = k\pi - \frac{\pi}{2} \implies x = (2k - 1)\pi, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots $$

Desplazamiento horizontal: Debido al término $\frac{\pi}{2}$, la gráfica está desplazada horizontalmente. Reescribiendo la función factorizando $\frac{1}{2}$:

$$ y = -3 \csc\left(\frac{1}{2}(x + \pi)\right) $$

Esto muestra un desplazamiento horizontal de $\pi$ unidades hacia la izquierda.

Bosquejo: Bosquejamos $y = -3 \csc\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{2}\right)$ trasladando la gráfica de $y = -3 \csc\left(\frac{x}{2}\right)$ hacia la izquierda en $\pi$, de modo que el período bosquejado comienza en $-\pi$ y termina en $-\pi + 4\pi = 3\pi$, lo que corresponde a un período completo.

Una función cosecante de la forma $y = a \csc(k(x - d))$ tiene un período de $6\pi$. Tiene una asíntota vertical en $x = \pi$ y su mínimo local ocurre en $y = 4$. Asumiendo $a > 0$ y $k > 0$, determina la ecuación de la función.

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Solución:

1. Encontrar $k$: El período es $6\pi$. Dado que $\text{Período} = \frac{2\pi}{k}$ para $k > 0$:
$$ \frac{2\pi}{k} = 6\pi \implies k = \frac{1}{3} $$

2. Encontrar $a$: El mínimo local de una gráfica de cosecante positiva estándar representa el inicio de las formas de "U" que abren hacia arriba. Para $y = a \csc(\dots)$, este valor mínimo es $a$. Por lo tanto, $a = 4$.

3. Encontrar $d$: Una función cosecante estándar $y = \csc(x)$ tiene su primera asíntota positiva en $x=0$, seguida por una exactamente a medio período y otra a un período completo. Dado que nuestra función $y = 4\csc(\frac{1}{3}(x-d))$ tiene un desplazamiento de fase, usemos la condición de asíntota:
El interior de la cosecante debe ser igual a cero para la primera asíntota principal:
$$ \frac{1}{3}(x - d) = 0 \implies x = d $$

Se nos dice que hay una asíntota en $x = \pi$. Si establecemos esto como el desplazamiento primario, entonces $d = \pi$.

Ecuación final:
$$ y = 4 \csc\left(\frac{1}{3}(x - \pi)\right) $$

Indica el factor de amplitud, período, desplazamiento de fase, desplazamiento vertical y rango de la función: $$ y = -2 \sec\left(3x - \frac{\pi}{2}\right) + 1 $$ Luego, encuentra las ecuaciones de sus asíntotas verticales.

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Solución:

1. Forma estándar: Factoriza el 3 para identificar el desplazamiento de fase real.
$$ y = -2 \sec\left[3\left(x - \frac{\pi}{6}\right)\right] + 1 $$

2. Parámetros:
* Factor de amplitud ($|a|$): $2$ (Nota: Las curvas secantes no tienen una "amplitud" real ya que se extienden hasta el infinito, pero el factor de estiramiento es 2, invertido por el signo negativo).
* Período: $\frac{2\pi}{3}$
* Desplazamiento de fase: $\frac{\pi}{6}$ hacia la derecha.
* Desplazamiento vertical: Hacia arriba 1 unidad.
* Rango: Los máximos locales están en $c - |a| = 1 - 2 = -1$. Los mínimos locales están en $c + |a| = 1 + 2 = 3$. Por lo tanto, el rango es $(-\infty, -1] \cup [3, \infty)$.

3. Asíntotas verticales: Iguala el interior de la secante a $\frac{\pi}{2} + n\pi$ (donde $n$ es un entero):
$$ 3x - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + n\pi $$
$$ 3x = \pi + n\pi $$
$$ x = \frac{\pi}{3} + \frac{n\pi}{3} $$