Esta página explica cómo bosquejar las funciones secante y cosecante de la forma \[ y = a \sec\left(k(x - d)\right) \quad \text{y} \quad y = a \csc\left(k(x - d)\right) \] Se incluyen ejemplos detallados para ilustrar sus gráficas, transformaciones y características clave paso a paso.
Rango: \[ (-\infty , -1] \cup [1 , +\infty) \]
Período: \[ 2\pi \]
Las asíntotas verticales de \( y = \sec(x) = \frac{1}{\cos(x)} \) ocurren en los ceros de \( \cos(x) \), dados por: \[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k = 0, \pm1, \pm2, \dots \]
Las asíntotas verticales de \( y = \csc(x) = \frac{1}{\sin(x)} \) ocurren en los ceros de \( \sin(x) \), dados por: \[ x = k\pi,\quad k = 0, \pm1, \pm2, \dots \]
Para bosquejar las funciones secante y cosecante básicas, use las identidades: \[ y = \sec(x) = \frac{1}{\cos(x)} \quad \text{y} \quad y = \csc(x) = \frac{1}{\sin(x)} \] Estas identidades ayudan a identificar las ubicaciones de las asíntotas verticales.
Todos los ceros de \( \cos(x) \) (que aparecen en el denominador) son asíntotas verticales de \( \sec(x) \).
Todos los ceros de \( \sin(x) \) (que aparecen en el denominador) son asíntotas verticales de \( \csc(x) \).
Bosqueja la gráfica de \( y = \sec(2x - \pi/3) \) en un período.
Parámetros de Graficación
Rango: \( (-\infty , -1] \cup [ 1, +\infty) \)
Período: \[ \frac{2\pi}{2} = \pi \]
Las asíntotas verticales están dadas al resolver la ecuación: \[ 2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + k\pi \] lo que da: \[ x = \frac{5\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}, \quad k = 0 , \pm1, \pm2, \ldots \]
Desplazamiento Horizontal: Debido al término \( -\pi/3 \), la gráfica se desplaza horizontalmente. Primero reescribimos la función dada como: \[ y = \sec\left[2\left(x - \frac{\pi}{6}\right)\right] \] Ahora podemos identificar el desplazamiento horizontal como \( \frac{\pi}{6} \) a la derecha.
Bosquejamos \( y = \sec(2x - \pi/3) \) trasladando la gráfica de \( y = \sec(2x) \) por \( \pi/6 \) a la derecha (gráfica roja abajo), de modo que el período bosquejado comience en \( \pi/6 \) y termine en \( \pi/6 + \pi = 7\pi/6 \), que es un período completo igual a \( \pi \).
Bosqueja la gráfica de \[ y = -3 \csc\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{2}\right) \] en un período.
Parámetros de Graficación
Rango: \[ (-\infty , -3] \cup [ 3, +\infty) \]
Período: \[ \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{\frac{1}{2}} = 4\pi \]
Las asíntotas verticales están dadas al resolver: \[ \frac{x}{2} + \frac{\pi}{2} = k\pi \] Resolviendo para \(x\), obtenemos: \[ x = (2k - 1)\pi, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]
Desplazamiento Horizontal: Debido al término \(\frac{\pi}{2}\), la gráfica se desplaza horizontalmente. Reescribiendo la función: \[ y = -3 \csc\left(\frac{1}{2}(x + \pi)\right) \] Esto muestra un desplazamiento horizontal de \(\pi\) unidades a la izquierda.
Bosquejamos \[ y = -3 \csc\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{2}\right) \] trasladando la gráfica de \[ y = -3 \csc\left(\frac{x}{2}\right) \] a la izquierda por \(\pi\), de modo que el período bosquejado comience en \(-\pi\) y termine en \(\pi + 4\pi = 3\pi\), lo que corresponde a un período completo.
