Este conjunto de problemas de álgebra intermedia se enfoca en resolver ecuaciones que incluyen expresiones de valor absoluto. Cada problema va seguido de su solución completa, lo que convierte esta página en un excelente recurso para el autoaprendizaje, la revisión o la enseñanza. Consulta la sección de soluciones al final de la página. También puede ser útil revisar el tutorial paso a paso sobre Cómo resolver ecuaciones con valor absoluto.
\( |x| = 5 \)
El valor absoluto \( |x| \) representa la distancia de \( x \) desde cero en la recta numérica, por lo que \( x \) puede estar 5 unidades a la derecha o 5 unidades a la izquierda de cero.
Por lo tanto, las soluciones son:
\[
x = 5 \quad \text{o} \quad x = -5
\]
\( |x - 2| = 7 \)
La expresión \( |x - 2| \) mide la distancia entre \( x \) y 2 en la recta numérica. Esta distancia es 7, entonces:
\[
x - 2 = 7 \quad \Rightarrow \quad x = 9
\]
o
\[
x - 2 = -7 \quad \Rightarrow \quad x = -5
\]
\( |89x + 4| = -2 \)
Los valores absolutos son siempre no negativos, por lo tanto no pueden igualar un número negativo.
Sin solución.
\( |-11x - 9| = 0 \)
El valor absoluto es cero solo cuando la expresión dentro es cero:
\[
-11x - 9 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\dfrac{9}{11}
\]
\( 2|x + 5| = 10 \)
Primero, divide ambos lados por 2:
\[
|x + 5| = 5
\]
Entonces \( x + 5 \) es 5 o -5:
\[
x + 5 = 5 \quad \Rightarrow \quad x = 0
\]
o
\[
x + 5 = -5 \quad \Rightarrow \quad x = -10
\]
\( 3|-9x - 7| - 2 = 13 \)
Suma 2 a ambos lados:
\[
3|-9x -7| = 15
\]
Divide ambos lados por 3:
\[
|-9x - 7| = 5
\]
Entonces el interior es 5 o -5:
\[
-9x - 7 = 5 \quad \Rightarrow \quad -9x = 12 \quad \Rightarrow \quad x = -\dfrac{4}{3}
\]
o
\[
-9x - 7 = -5 \quad \Rightarrow \quad -9x = 2 \quad \Rightarrow \quad x = -\dfrac{2}{9}
\]
\( -5|-x + 2| + 8 = -12 \)
Resta 8:
\[
-5|-x + 2| = -20
\]
Divide ambos lados por -5:
\[
|-x + 2| = 4
\]
Entonces el interior es 4 o -4:
\[
-x + 2 = 4 \quad \Rightarrow \quad -x = 2 \quad \Rightarrow \quad x = -2
\]
o
\[
-x + 2 = -4 \quad \Rightarrow \quad -x = -6 \quad \Rightarrow \quad x = 6
\]
\( \dfrac{|-3x - 2|}{3} = 7 \)
Multiplica ambos lados por 3:
\[
|-3x - 2| = 21
\]
Entonces el interior es 21 o -21:
\[
-3x - 2 = 21 \quad \Rightarrow \quad -3x = 23 \quad \Rightarrow \quad x = -\dfrac{23}{3}
\]
o
\[
-3x - 2 = -21 \quad \Rightarrow \quad -3x = -19 \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{19}{3}
\]
\( \left| \dfrac{x - 5}{4} \right| = 6 \)
Multiplica ambos lados por 4:
\[
|x - 5| = 24
\]
Entonces:
\[
x - 5 = 24 \quad \Rightarrow \quad x = 29
\]
o
\[
x - 5 = -24 \quad \Rightarrow \quad x = -19
\]
\( |x + 1| = |-4x + 3| \)
Los valores absolutos son iguales, entonces:
\[
x + 1 = -4x + 3 \quad \Rightarrow \quad 5x = 2 \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{2}{5}
\]
o
\[
x + 1 = -(-4x + 3) \quad \Rightarrow \quad x + 1 = 4x - 3 \quad \Rightarrow \quad -3x = -4 \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{4}{3}
\]
\( |x + 3| = -|-x - 3| \)
El lado derecho es un valor absoluto negativo, pero los valores absolutos son siempre no negativos.
Por lo tanto:
\[
|x + 3| = -| -x - 3| \leq 0
\]
Pero los valores absolutos son \( \geq 0 \), así que la única forma en que esto sea cierto es si ambos lados son cero:
\[
|x + 3| = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -3
\]