Determinante de una Matriz Cuadrada

Ejemplos y preguntas sobre los determinantes de matrices cuadradas junto con sus soluciones detalladas se presentan. El método de menores y cofactores para calcular determinantes, junto con sus propiedades, también se discute.

Determinante de una Matriz de 2 × 2 - Definición

Para explicar el concepto de determinante en álgebra lineal, comenzamos con un sistema de ecuaciones de 2 × 2 con incógnitas x e y dado por

sistema de ecuaciones lineales 2 por 2

Multiplique todos los términos de la primera ecuación en el sistema por el coeficiente e y todos los términos de la segunda ecuación por el coeficiente -b para obtener un sistema equivalente al dado pero más fácil de resolver.

sistema de ecuaciones lineales 2 por 2 después de la multiplicación

Sume los lados izquierdo y derecho de las ecuaciones anteriores y simplifique para obtener una ecuación en una sola variable.

una ecuación en una variable

Resuelva lo anterior para x

solución para x

De manera similar, podemos encontrar y como

solución para y

Observamos que tanto x como y se expresan como razones con el mismo denominador a e - b d el cual definimos como el determinante de la matriz cuadrada A como una cantidad escalar dada por
\[ Det (A) = |A| = \begin{vmatrix} a & b \\ d & e \end{vmatrix} = a e - bd \]

Usando los determinantes, ahora escribimos las soluciones del sistema de ecuaciones de 2 × 2 de la siguiente manera:

\[ x = \dfrac{\begin{vmatrix} c & b \\ f & e \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ d & e \end{vmatrix}} ,\quad y = \dfrac{\begin{vmatrix} a & c \\ d & f \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ d & e \end{vmatrix}} \]

De manera similar, podemos expresar las soluciones de cualquier sistema de ecuaciones n × n usando los determinantes de matrices cuadradas n × n.
Los determinantes son cantidades escalares utilizadas para resolver sistemas de ecuaciones, calcular la inversa de una matriz y tienen muchas otras aplicaciones.
Note que el determinante de una matriz de 1 por 1 es igual a la entrada en esa matriz.

\[ Det[-2] = -2 \]

Determinante de una Matriz de 3 × 3 o Superior - Menores y Cofactores

Una posibilidad para calcular el determinante de una matriz es usar menores y cofactores de una matriz cuadrada.

Menores de una Matriz Cuadrada

El menor \( M_{ij} \) de una matriz cuadrada n × n correspondiente al elemento \( (A)_{ij} \) es el determinante de la matriz (n-1) × (n-1) obtenida al eliminar la fila i y la columna j de la matriz A.

Ejemplo
Encontremos los menores de la matriz

\[ A = \begin{bmatrix} -2 & 2 & 1 \\ 3 & -3 & 4 \\ -5 & -1 & 9 \end{bmatrix} \]

El menor \( M_{11} \) es igual al determinante de la matriz obtenida al eliminar la fila 1 y la columna 1 de la matriz dada.

\[ M_{11} = \begin{vmatrix} -3 & 4 \\ -1 & 9 \end{vmatrix} = (-3)(9) - (4)(-1) = -23 \]

\( M_{12} \) es el determinante de la matriz obtenida al eliminar la fila 1 y la columna 2.

\[ M_{12} = \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ -5 & 9 \end{vmatrix} = (3)(9) - (4)(-5) = 47 \]

\( M_{13} \) se calcula eliminando la fila 1 y la columna 3.

\[ M_{13} = \begin{vmatrix} 3 & -3 \\ -5 & -1 \end{vmatrix} = (3)(-1) - (-3)(-5) = -18 \]

Encuentre el menor \( M_{21} \) eliminando la fila 2 y la columna 1.

\[ M_{21} = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 9 \end{vmatrix} = (2)(9) - (1)(-1) = 19 \]

\( M_{22} \) se calcula eliminando la fila 2 y la columna 2.

\[ M_{22} = \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ -5 & 9 \end{vmatrix} = (-2)(9) - (1)(-5) = -13 \]

El menor \( M_{23} \) se encuentra eliminando la fila 2 y la columna 3.

\[ M_{23} = \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ -5 & -1 \end{vmatrix} = (-2)(-1) - (2)(-5) = 12 \]

El menor \( M_{31} \) se encuentra eliminando la fila 3 y la columna 1.

\[ M_{31} = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 4 \end{vmatrix} = (2)(4) - (1)(-3) = 11 \]

El menor \( M_{32} \) se encuentra eliminando la fila 3 y la columna 2.

\[ M_{32} = \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = (-2)(4) - (1)(3) = -11 \]

El menor \( M_{33} \) se encuentra eliminando la fila 3 y la columna 3.

\[ M_{33} = \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ 3 & -3 \end{vmatrix} = (-2)(-3) - (2)(3) = 0 \]

La matriz de menores está dada por

\[ \begin{bmatrix} -23 & 47 & -18 \\ 19 & -13 & 12 \\ 11 & -11 & 0 \end{bmatrix} \]

Cofactores de una Matriz Cuadrada

El cofactor \( C_{ij} \) está dado por \( C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij} \)

\( C_{11} = (-1)^{1+1} M_{11} = -23 ,\quad C_{12} = (-1)^{1+2} M_{12} = -47 ,\quad C_{13} = (-1)^{1+3} M_{13} = -18 \)
\( C_{21} = (-1)^{2+1} M_{21} = -19 ,\quad C_{22} = (-1)^{2+2} M_{22} = -13 ,\quad C_{23} = (-1)^{2+3} M_{23} = -12 \)
\( C_{31} = (-1)^{3+1} M_{31} = 11 ,\quad C_{32} = (-1)^{3+2} M_{32} = 11 ,\quad C_{33} = (-1)^{3+3} M_{33} = 0 \)

y la matriz de cofactores está dada por

\[ \begin{bmatrix} -23 & -47 & -18 \\ -19 & -13 & -12 \\ 11 & 11 & 0 \end{bmatrix} \]

Encontrar el Determinante Usando Cofactores

Conociendo los cofactores, el determinante de una matriz cuadrada se puede calcular sumando el producto de las entradas y sus cofactores correspondientes en cualquier fila o columna.
Usando el ejemplo anterior, el determinante se puede calcular usando:
fila (1)
\( \text{Det}(A) = (A)_{11} C_{11} + (A)_{12} C_{12} + (A)_{13} C_{13} = (-2)(-23) + (2)(-47) + (1)(-18) = -66 \)

o fila (2)
\( \text{Det}(A) = (A)_{12} C_{12} + (A)_{22} C_{22} + (A)_{32} C_{32} = (2)(-47) + (-3)(-13) + (-1)(11) = -66 \)

Note que \( C_{33} = 0 \) y por lo tanto es más eficiente calcular el determinante usando la fila (3) o la columna (3).

o fila (3)
\( \text{Det}(A) = (A)_{31} C_{31} + (A)_{32} C_{32} + (A)_{33} C_{33} = (-5)(11) + (-1)(11) + (9)(0) = -66 \)

o columna (3)
\( \text{Det}(A) = (A)_{13} C_{13} + (A)_{23} C_{23} + (A)_{33} C_{33} = (1)(-18) + (4)(-12) + (9)(0) = -66 \)

Notas
1) Al calcular el determinante de una matriz cuadrada, es más eficiente usar una columna o fila con la mayor cantidad de ceros.
2) El método de cofactores para calcular el determinante no es muy eficiente para matrices con grandes dimensiones. Sin embargo, se incluye otro método basado en operaciones de fila para encontrar determinantes.

Propiedades de los Determinantes

  1. \( \text{Det}(I_n) = 1 \), el determinante de la matriz identidad de cualquier orden es igual a 1.
  2. El determinante de una matriz cuadrada con una fila o una columna de ceros es igual a cero.
  3. El determinante de cualquier matriz triangular es igual al producto de las entradas en la diagonal principal (de arriba a la izquierda a abajo a la derecha).
  4. \( \text{Det}(A B) = \text{Det}(A) \text{Det}(B) \)
  5. \( \text{Det}(A^T) = \text{Det}(A) \), donde \( A^T \) es la transpuesta de \( A \).
  6. \( \text{Det}(A^{-1}) = \dfrac{1}{\text{Det}(A)} \), donde \( A^{-1} \) es la inversa de \( A \).
  7. \( \text{Det}(k A) = k^n \text{Det}(A) \), donde \( A \) es una matriz n × n y k es una constante.
  8. Si la matriz B se obtiene de la matriz A multiplicando una fila o una columna de A por una constante k, entonces Det(B) = k Det(A).
  9. Si dos filas o dos columnas de una matriz cuadrada son iguales, el determinante de esa matriz es igual a cero.
  10. Si se intercambian dos filas o dos columnas de una matriz cuadrada, el determinante de esa matriz cambia de signo.
  11. Si se suma un múltiplo de una fila a otra fila, el determinante no cambia.

Preguntas sobre Determinantes

  1. Parte 1
    Calcule la matriz de menores y la matriz de cofactores de cada una de las siguientes matrices.
    \( a) A = \begin{bmatrix} -1 & 23 \\ 2 & -2 \end{bmatrix} ,\quad b) B = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 3 \\ 2 & -4 & -2 \\ -5 & 2 & -9 \end{bmatrix} \)

  2. Parte 2
    Encuentre, si está definido, el determinante de cada una de las siguientes matrices.
    a) \( A = \begin{bmatrix} -1 & 23 & 10 \\ 0 & -2 & -11 \end{bmatrix} ,\quad \) b) \( B = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 3 & -3 & -1 \\ -5 & -1 & 2 \end{bmatrix} ,\quad \) c) \( C = \begin{bmatrix} -3 \end{bmatrix} ,\quad \) d) \( D = \begin{bmatrix} -6 & -4 & 2 \\ 0 & -3 & 23 \\ 0 & 4 & 9 \end{bmatrix} ,\quad \) e) \( E = \begin{bmatrix} -3 & -3 & -4 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} \)

  3. Parte 3
    Resuelva para x cada una de las siguientes ecuaciones.
    a) \( \begin{vmatrix} x & 8 \\ 2 & x \end{vmatrix} = 0 ,\quad \) b) \( \begin{vmatrix} x - 6 & -2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = -3 ,\quad \) c) \( \begin{vmatrix} x - 6 & -2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & -2x \\ -2 & 6 \end{vmatrix} \)

  4. Parte 4
    Encuentre el determinante de las matrices A y B dadas a continuación.
    a) \( A = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 4 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} ,\qquad \) b) \( B = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 7 \\ -4 & 4 & 8 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & 9 & 0 \\ -3 & 1 & 0 \\ 7 & 11 & -6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -7 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 7 & 2 & -6 \end{bmatrix} \)

  5. Parte 5
    Dado que \( \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = K \)
    Encuentre lo siguiente:
    a) \( \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ -4g & -4h & -4i \end{vmatrix} \) , b) \( \begin{vmatrix} d & e & f \\ a & b & c \\ g & h & i \end{vmatrix} \) , c) \( \begin{vmatrix} 3d & 3e & 3f \\ -4a & -4b & -4c \\ 7g & 7h & 7i \end{vmatrix} \) , d) \( \begin{vmatrix} a & b & c \\ d - 8a & e - 8b & f - 8c \\ g & h & i \end{vmatrix} \)

Soluciones a las Preguntas Anteriores
  1. Parte 1
    a) Matriz dada \( A = \begin{bmatrix} -1 & 23 \\ 2 & -2 \end{bmatrix} \), primero calculamos la matriz de menores.

    \( M_{11} = Det \begin{bmatrix} . & . \\ . & -2 \end{bmatrix} = -2 \), \( \quad M_{12} = Det \begin{bmatrix} . & . \\ 2 & . \end{bmatrix} = 2 \)

    \( M_{21} = Det \begin{bmatrix} . & 23 \\ . & . \end{bmatrix} = 23 \), \( \quad M_{22} = Det \begin{bmatrix} -1 & . \\ . & . \end{bmatrix} = -1 \)
    Por lo tanto, la matriz M de menores está dada por
    \[ M = \begin{bmatrix} -2 & 2 \\ 23 & -1 \end{bmatrix} \]
    Los cofactores están dados por \( C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij} \). Por lo tanto, la matriz C de cofactores está dada por
    \[ C = \begin{bmatrix} (-1)^{1+1}(-2) & (-1)^{1+2}(2) \\ (-1)^{2+1}(23) & (-1)^{2+2}(-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & -2 \\ -23 & -1 \end{bmatrix} \]

    b) Matriz dada \( B = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 3 \\ 2 & -4 & -2 \\ -5 & 2 & -9 \end{bmatrix} \), primero calculamos la matriz de menores.

    \( M_{11} = Det \begin{bmatrix} -4 & -2 \\ 2 & -9 \end{bmatrix} = (-4)(-9) - (-2)(2) = 40 \)
    \( M_{12} = Det \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ -5 & -9 \end{bmatrix} = (2)(-9) - (-2)(-5) = -28 \)
    \( M_{13} = Det \begin{bmatrix} 2 & -4 \\ -5 & 2 \end{bmatrix} = (2)(2) - (-4)(-5) = -16 \)
    \( M_{21} = Det \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 2 & -9 \end{bmatrix} = (0)(-9) - (3)(2) = -6 \)
    \( M_{22} = Det \begin{bmatrix} -1 & 3 \\ -5 & -9 \end{bmatrix} = (-1)(-9) - (3)(-5) = 24 \)
    \( M_{23} = Det \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ -5 & 2 \end{bmatrix} = (-1)(2) - (0)(-5) = -2 \)
    \( M_{31} = Det \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ -4 & -2 \end{bmatrix} = (0)(-2) - (3)(-4) = 12 \)
    \( M_{32} = Det \begin{bmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -2 \end{bmatrix} = (-1)(-2) - (3)(2) = -4 \)
    \( M_{33} = Det \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 2 & -4 \end{bmatrix} = (-1)(-4) - (0)(2) = 4 \)
    Por lo tanto, la matriz M de menores está dada por
    \[ M = \begin{bmatrix} 40 & -28 & -16 \\ -6 & 24 & -2 \\ 12 & -4 & 4 \end{bmatrix} \]
    Los cofactores están dados por \( C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij} \). Por lo tanto, la matriz C de cofactores está dada por
    \[ C = \begin{bmatrix} 40 & 28 & -16 \\ 6 & 24 & 2 \\ 12 & 4 & 4 \end{bmatrix} \]

  2. Parte 2
    a) La matriz A no es cuadrada, por lo tanto, su determinante no está definido.

    b) El determinante de la matriz B se calcula eficientemente usando la primera fila.
    \( Det(B) = 2 \begin{vmatrix} -3 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 3 & -3 \\ -5 & -1 \end{vmatrix} = 2(-6 - 1) + (-3 - 15) = -32 \)

    c) La matriz C tiene una entrada y su determinante es igual a esa entrada; por lo tanto, \( Det(C) = -3 \)

    d) La columna 1 de la matriz D tiene dos ceros y puede usarse eficientemente para evaluar el determinante.
    \( Det(D) = -6( (-3)(9) - (23)(4) ) = -6(-27 - 92) = -6(-119) = 714 \)

    e) La matriz E es triangular y su determinante es el producto de los elementos en la diagonal principal; por lo tanto, \( Det(E) = (-3)(4)(5) = -60 \)

  3. Parte 3
    a) \( \begin{vmatrix} x & 8 \\ 2 & x \end{vmatrix} = (x)(x) - (8)(2) = x^2 - 16 \). Resuelva \( x^2 - 16 = 0 \). Las soluciones son \( x = 4 \) y \( x = -4 \).

    b) Evalúe el determinante: \( \begin{vmatrix} x - 6 & -2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = (x-6)(3) - (-2)(1) = 3x - 16 \). Resuelva \( 3x - 16 = -3 \). La solución es \( x = 13/3 \).

    c) Evalúe los determinantes: \( \begin{vmatrix} x - 6 & -2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 3x - 16 \) y \( \begin{vmatrix} 2 & -2x \\ -2 & 6 \end{vmatrix} = (2)(6) - (-2x)(-2) = 12 - 4x \). Resuelva \( 3x - 16 = 12 - 4x \). La solución es \( x = 4 \).

  4. Parte 4
    Use la propiedad (4) que da el determinante del producto de matrices.
    a) \( Det(A) = Det\begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} Det\begin{bmatrix} 0 & 4 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} = (20)(-8) = -160 \)

    b) \( Det(B) = Det\begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 7 \\ -4 & 4 & 8 \end{bmatrix} Det\begin{bmatrix} 5 & 9 & 0 \\ -3 & 1 & 0 \\ 7 & 11 & -6 \end{bmatrix} Det\begin{bmatrix} -7 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 7 & 2 & -6 \end{bmatrix} \)
    \( = (4) ((-1)(8) - (7)(4)) \times (-6) ((5)(1) - (9)(-3)) \times (1) ((-7)(-6) - (2)(7)) \)
    \( = (4)(-8 - 28) \times (-6)(5 + 27) \times (42 - 14) = (4)(-36) \times (-6)(32) \times (28) = (-144) \times (-192) \times 28 = 774144 \)

  5. Parte 5
    a) La última fila se multiplica por -4, usando la propiedad 8, la respuesta es \( -4K \).
    b) Se intercambian dos filas, usando la propiedad 10, la respuesta es \( -K \).
    c) La primera fila se multiplica por 3, la segunda fila por -4 y la tercera fila por 7, usando la propiedad 8 tres veces, la respuesta es \( (3)(-4)(7)K = -84K \).
    d) Se suma un múltiplo de la primera fila a la segunda fila, usando la propiedad 11, la respuesta es \( K \).

Más Referencias y Enlaces